Выворот сферы

Morin поверхность видно «сверху»

Воспроизвести медиа

Процесс выворота сферы, описанный в ^[1]

выворот бумажной сферы и поверхность Морина

бумажная поверхность Морина (выворот сферы на полпути) с гексагональной симметрией

В дифференциальной топологии , сфера выворот это процесс превращения сферы наизнанку в трехмерном пространстве (слово выворот означает «выворачивание»). Примечательно то, что таким образом можно плавно и непрерывно выворачивать сферу наизнанку (с возможными самопересечениями ), не разрезая, не разрывая ее и не создавая складок . Это удивительно как для нематематиков , так и для тех, кто понимает регулярную гомотопию , и может рассматриваться как достоверный парадокс ; это то, что, хотя и верно, на первый взгляд кажется ложным.

Точнее, пусть

${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

стандартное вложение ; то есть регулярная гомотопия из погружений

${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

такие, что ƒ ₀  =  ƒ и ƒ ₁  = - ƒ .

История [ править ]

Доказательство существования для складка свободной сферы выворачивания было сначала создано Смэйлом  ( 1957 ). Трудно представить себе конкретный пример такого поворота, хотя были созданы некоторые цифровые анимации , которые несколько упрощают его. Первый пример был продемонстрирован усилиями нескольких математиков, в том числе Арнольда С. Шапиро и Бернарда Морена , который был слепым. С другой стороны, гораздо легче доказать, что такой «поворот» существует, и это то, что Смейл и сделал.

Советник Смейла Рауль Ботт сначала сказал Смейлу, что результат явно неверен ( Levy 1995 ). Его рассуждения в том , что степень на карте Гаусс должны быть сохранены в таких «поворот» -в частности, следует , что не существует такого поворота из S ¹ в R ² . Но степени отображения Гаусса для вложений f и - f в R ³ оба равны 1 и не имеют противоположных знаков, как можно было бы ошибочно предположить. Степень отображения Гаусса всех погружений S ² в R ³равно 1, поэтому нет никаких препятствий. Термин «правдоподобный парадокс», возможно, более уместен на этом уровне: до работы Смейла не было документально подтвержденных попыток аргументировать за или против выворота S ² , а более поздние попытки являются ретроспективным, поэтому никогда не было исторического парадокса, связанного с выворот сферы, только понимание тонкостей ее визуализации теми, кто впервые сталкивается с этой идеей.

См. H -principle для дальнейших обобщений.

Доказательство [ править ]

Первоначальное доказательство Смейла было косвенным: он отождествил (регулярные гомотопические) классы погружений сфер с гомотопической группой многообразия Штифеля . Поскольку гомотопическая группа, соответствующая погружениям в, равна нулю, стандартное вложение и вложение наизнанку должны быть регулярными гомотопными. В принципе, доказательство можно развернуть, чтобы получить явную регулярную гомотопию, но сделать это непросто.${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Есть несколько способов создания наглядных примеров и красивой математической визуализации :

• Модели на полпути : они состоят из очень особых гомотопий. Это оригинальный метод, впервые примененный Шапиро и Филлипсом с помощью поверхности Боя , а затем усовершенствованный многими другими. Первоначальные гомотопии половинчатых моделей были построены вручную и работали топологически, но не были минимальными. Фильм, созданный Нельсоном Максом за семилетний период и основанный на проволочных моделях Чарльза Пью (впоследствии украденных из математического факультета в Беркли), был для своего времени `` туром по компьютерной графике ''. эталон компьютерной анимации на многие годы. Более недавнее и окончательное усовершенствование графики (1980-е годы) - это минимаксные вывороты , которые являются вариационными.метод, и состоят из специальных гомотопий (они являются кратчайшими путями по отношению к энергии Уиллмора ). В свою очередь, понимание поведения энергии Уиллмора требует понимания решений уравнений с частными производными четвертого порядка, и поэтому визуально красивые и вызывающие воспоминания изображения опровергают некоторые очень глубокие математические представления, выходящие за рамки первоначального абстрактного доказательства Смейла.
• Гофры Терстона : это топологический и общий метод; он принимает гомотопию и возмущает ее так, что она становится регулярной гомотопией. Это иллюстрируется компьютерной графикой Outside In, разработанной в Центре геометрии под руководством Сильвио Леви, Делле Максвелла и Тамары Мунзнер . ^[2]
• «Вселенная» Эйтчисона (2010): здесь используется комбинация топологических и геометрических методов и характерна для фактической регулярной гомотопии между стандартно встроенной 2-сферой и вложением с обратной ориентацией. Это обеспечивает концептуальное понимание процесса, возникающего из конкретной структуры трехмерной проективной плоскости и лежащей в основе геометрии расслоения Хопфа. Понимание деталей этих математических концепций не требуется, чтобы концептуально оценить возникающий конкретный выворот, который, по сути, требует только понимания конкретного вложенного круга, нарисованного на торе в 3-м пространстве. Джордж Фрэнсис предложил название «вселенная», производное от слова «холистический»,поскольку (после некоторого размышления) полный выворот можно концептуально охватить от начала до конца без наглядных пособий, предоставляемых анимацией. По духу это ближе к идеям, первоначально предложенным Шапиро, и на практике обеспечивает конкретное доказательство эверсии, не требующее абстракции, лежащей в основе доказательства Смейла. Частично это показано вАнимация компьютерной графики Povray , снова легко найденная с помощью поиска на YouTube.
• Комбинируя вышеупомянутые методы, полный выворот сферы может быть описан системой замкнутых уравнений, дающих минимальную топологическую сложность ^[1]

Варианты [ править ]

• Шестимерная сфера в семимерном евклидовом пространстве допускает выворот. С очевидным случаем 0-мерной сферы (две различные точки) на действительной прямой и описанным выше случаем двумерной сферы в, есть только три случая, когда сфера, вложенная в евклидово пространство, допускает выворот.${\displaystyle S^{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$${\displaystyle S^{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Галерея ступеней выворота [ править ]

См. Также [ править ]

• Сфера
• Теорема Уитни – Граустейна.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Иэн Р. Эйчисон (2010) "Вселенная": целостный выворот 2-сферы в R ^ 3 , препринт. arXiv: 1008.0916.
• Джон Б. Этнир (2004) Обзор «h-принципов и гибкости в геометрии», MR 1982875 .
• Фрэнсис, Джордж К. (2007), Топологическая книга с картинками , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-34542-0, Руководство по ремонту  2265679
• Джордж К. Фрэнсис и Бернард Морин (1980) "Вырождение сферы Арнольдом Шапиро", Mathematical Intelligencer 2 (4): 200–3.
• Леви, Сильвио (1995), «Краткая история выворотов сфер» , « Создание волн» , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2, Руководство по ремонту  1357900
• Макс, Нельсон (1977) «Поворачивая сферу наизнанку», https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941
• Энтони Филлипс (май 1966 г.) «Вывернув поверхность наизнанку», Scientific American , стр. 112–120.
• Smale, Стивен (1958), "Классификация погружениях двумерной сферы", Труды Американского математического общества , 90 (2): 281-290, DOI : 10,2307 / 1993205 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1993205 , MR  0104227

Внешние ссылки [ править ]

• Outside In , полное видео (короткий клип здесь )
• История эверсий сфер
• «Выворачивая сферу наизнанку»
• Программное обеспечение для визуализации выворота сфер
• Математическая визуализация: топология. Выворот сферы целостности (анимация Povray)
• Эверсия сферы деНев / Хиллс: видео и интерактивная модель
• Проект Патрика Массо по формализации доказательства в программе Lean Theorem Prover
• Интерактивное исследование Адам Беднорц и Витольд Беднорц метода выворачивания сферы