Карта Гаусса

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Карта Гаусса обеспечивает отображение каждой точки кривой или поверхности в соответствующую точку на единичной сфере.

В дифференциальной геометрии , то отображение Гаусса ( по имени Carl F. Гаусс ) отображает поверхность в евклидовом пространстве R ³ к единичной сфере ˙s ² . А именно, для поверхности X, лежащей в R ³ , отображение Гаусса является непрерывным отображением N : X → S ^2, такое что N ( p ) является единичным вектором, ортогональным X в точке p , а именно вектор нормали к X в точке p .

Отображение Гаусса может быть определено (глобально) тогда и только тогда, когда поверхность ориентируема , и в этом случае ее степень равна половине эйлеровой характеристики . Карта Гаусса всегда может быть определена локально (то есть на небольшом участке поверхности). Якобиан определитель гауссова отображения равен гауссовой кривизны , и дифференциальное гауссова отображения называется оператором формы .

Гаусс впервые написал черновик по этой теме в 1825 году и опубликовал в 1827 году.

Также существует карта Гаусса для ссылки , которая вычисляет номер ссылки .

Обобщения [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Отображение Гаусса может быть определено для гиперповерхностей в R ⁿ как отображение гиперповерхности на единичную сферу S ^{n - 1}  ⊆  R ⁿ .

Для общего ориентированных к - подмногообразие из R ^п гауссова отображения также может быть определены, и его цель пространством является ориентированным грассманианом , то есть множество всех ориентированных K -плоскостей в R ^н . В этом случае точка на подмногообразии отображается в его ориентированное касательное подпространство. Можно также отобразить в его ориентированное нормальное подпространство; они эквивалентны через ортогональное дополнение. В евклидовом 3-пространстве это означает, что ориентированная 2-плоскость характеризуется ориентированной 1-линией, что эквивалентно единичному вектору нормали (as ), следовательно, это согласуется с определением выше.${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n} \ cong {\ tilde {G}} _ {nk, n}}$${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {1, n} \ cong S ^ {n-1}}$

Наконец, понятие отображения Гаусса может быть обобщено на ориентированное подмногообразие X размерности k в ориентированном объемлющем римановом многообразии M размерности n . В этом случае отображение Гаусса переходит из X в множество касательных k -плоскостей в касательном расслоении TM . Целевое пространство для отображения Гаусса N - это расслоение Грассмана, построенное на касательном расслоении TM . В случае , когда касательное расслоение тривиализовано (так что грассманово расслоение становится отображением в грассманиан), мы восстанавливаем предыдущее определение.${\ Displaystyle M = \ mathbf {R} ^ {n}}$

Полная кривизна [ править ]

Площадь изображения карты Гаусса называется полной кривизной и эквивалентна поверхностному интегралу от гауссовой кривизны . Это оригинальная интерпретация Гаусса. Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее топологическими свойствами.

${\ Displaystyle \ iint _ {R} \ pm | N_ {u} \ times N_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {R} K | X_ {u} \ times X_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {S} K \ dA}$

Куспиды карты Гаусса [ править ]

Карта Гаусса отражает многие свойства поверхности: когда поверхность имеет нулевую гауссову кривизну (то есть вдоль параболической линии ), карта Гаусса будет иметь катастрофу складок . Эта складка может содержать бугры, и эти бугорки были подробно изучены Томасом Банчоффом , Теренсом Гаффни и Клинтом МакКрори . И параболические линии, и куспид - устойчивые явления, которые остаются при небольших деформациях поверхности. Куспиды возникают при:

1. Поверхность имеет двустороннюю плоскость.
2. Хребет пересекает параболическую линию
3. при замыкании множества точек перегиба асимптотических кривых поверхности.

Есть два типа куспидов: эллиптические и гиперболические .

Ссылки [ править ]

• Гаусс, К.Ф., Disquisitiones generales около superficies curvas (1827 г.)
• Гаусс, К.Ф., Общие исследования криволинейных поверхностей , английский перевод. Хьюлетт, Нью-Йорк: Raven Press (1965).
• Банчофф Т., Гаффни Т., МакКрори К., Куспиды отображений Гаусса , (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, London. онлайн-версия
• Кендеринк, Дж. Дж., Твердая форма , MIT Press (1990)

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Карта Гаусса» . MathWorld .
• Томас Банчофф; Теренс Гаффни; Клинт МакКрори; Даниэль Драйбелбис (1982). Куспиды отображений Гаусса . Исследования по математике. 55 . Лондон: ISBN Pitman Publisher Ltd. 0-273-08536-0. Проверено 4 марта 2016 года .