Ссылочный номер

Две кривые этой (2,8) - ссылки Jtorus имеют номер связи четыре.

В математике число связи - это числовой инвариант, который описывает соединение двух замкнутых кривых в трехмерном пространстве . Интуитивно понятно, что число связи представляет, сколько раз каждая кривая наматывается вокруг другой. Номер связи всегда является целым числом , но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентации двух кривых. (Это неверно для кривых в большинстве 3-многообразий, где числа зацепления также могут быть дробями или просто не существовать вообще.)

Число зацепления было введено Гауссом в виде интеграла зацепления . Это важный объект изучения теории узлов , алгебраической топологии и дифференциальной геометрии , и он имеет множество приложений в математике и науке , включая квантовую механику , электромагнетизм и изучение сверхспирали ДНК .

Определение [ править ]

Любые две замкнутые кривые в пространстве, если они могут проходить через себя, но не друг друга, могут быть перемещены точно в одно из следующих стандартных положений. Это определяет номер ссылки:

${\displaystyle \cdots }$
	связующее число −2	связующее число -1	номер ссылки 0
					${\displaystyle \cdots }$
		ссылка номер 1	ссылка номер 2	ссылка номер 3

Каждая кривая может проходить через себя во время этого движения, но две кривые должны оставаться разделенными на всем протяжении. Это формализовано как регулярная гомотопия , которая дополнительно требует, чтобы каждая кривая была погружением , а не просто какой-либо картой. Тем не менее, это добавляется условие не изменить определение связывания номера (это не имеет значения , если кривые должны быть всегда иммерсия или нет), который является примером ч -принципа (гомотопический принцип), а это означает , что геометрия уменьшает топологии.

Доказательство [ править ]

Этот факт (что связующее число является единственным инвариантом) легче всего доказать, поместив один круг в стандартное положение, а затем показывая, что связующее число является единственным инвариантом другого круга. В деталях:

• Одиночная кривая является правильной гомотопной стандартной окружности (любой узел может быть развязан, если кривой разрешено проходить через себя). Тот факт, что оно гомотопно, очевиден , поскольку 3-пространство стягиваемо и, следовательно, все отображения в него гомотопны, хотя тот факт, что это может быть сделано посредством погружений, требует некоторого геометрического аргумента.
• Дополнение к стандартной окружности гомеоморфно полноторию с удаленной точкой (это можно увидеть, интерпретируя 3-пространство как 3-сферу с удаленной бесконечно удаленной точкой, а 3-сферу как два полнотория, склеенных вдоль граница), или дополнение может быть проанализировано напрямую.
• Фундаментальная группа 3-пространства минус окружности целые числа, соответствующие ссылки число. Это можно увидеть с помощью теоремы Зейферта – Ван Кампена (добавление бесконечно удаленной точки для получения полнотория или добавление окружности для получения 3-мерного пространства позволяет вычислить фундаментальную группу искомого пространства).
• Таким образом, гомотопические классы кривой в 3-м пространстве без круга определяются числом зацеплений.
• Верно также и то, что обычные гомотопические классы определяются числом зацеплений, что требует дополнительных геометрических аргументов.

Вычисление номера связи [ править ]

Эти кривые с шестью положительными пересечениями и двумя отрицательными пересечениями имеют номер связи два.

Существует алгоритм для вычисления связующего числа двух кривых из схемы связей . Обозначьте каждое пересечение как положительное или отрицательное в соответствии со следующим правилом: ^[1]

Общее количество положительных пересечений минус общее количество отрицательных пересечений равно удвоенному числу связей. То есть:

${\displaystyle {\text{linking number}}={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}}}$

где n ₁ , n ₂ , n ₃ , n ₄ представляют количество переходов каждого из четырех типов. Две суммы и всегда равны, ^[2] что приводит к следующей альтернативной формуле${\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!}$${\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!}$

${\displaystyle {\text{linking number}}\,=\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.}$

Формула включает только пересечение синей кривой красной и только пересечение синей кривой .${\displaystyle n_{1}-n_{4}}$${\displaystyle n_{2}-n_{3}}$

Свойства и примеры [ править ]

• Любые две несвязанные кривые имеют нулевой номер связи. Однако две кривые с нулевым номером связи все еще могут быть связаны (например, связь Уайтхеда ).
• Изменение ориентации любой из кривых на противоположное отменяет номер связи, в то время как изменение ориентации обеих кривых оставляет его неизменным.
• Номер ссылки является хиральным : получение зеркального отображения ссылки отрицает номер ссылки. Соглашение о положительном числе ссылок основано на правиле правой руки .
• Число витков ориентированной кривой в плоскости x - y равно ее соединительному числу с осью z ( ось z рассматривается как замкнутая кривая в 3-сфере ).
• В более общем смысле , если любой из кривых простой , то первая группа гомологии его дополнения является изоморфной к Z . В этом случае число зацеплений определяется классом гомологии другой кривой.
• В физике число зацепления является примером топологического квантового числа . Это связано с квантовой запутанностью ^{[ необходима цитата ]} .

Интегральное определение Гаусса [ править ]

Для двух непересекающихся дифференцируемых кривых определим отображение Гаусса из тора в сферу следующим образом:${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}}$

Выберите точку на единичной сфере v , чтобы ортогональная проекция звена на плоскость, перпендикулярную v, давала диаграмму звена. Заметьте, что точка (s, t), которая переходит в v под отображением Гаусса, соответствует пересечению на диаграмме связей, где конец . Кроме того, окрестность (s, t) отображается под отображением Гаусса в окрестность v, сохраняя или меняя ориентацию в зависимости от знака пересечения. Таким образом , для того , чтобы вычислить связывающий номер диаграммы , соответствующую V достаточно подсчитать подписанное количество раз Карты охватывает Gauss v . С${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$v - регулярное значение , это в точности степень отображения Гаусса (т.е. количество раз со знаком, которое изображение Γ покрывает сферу). Изотопическая инвариантность зацепляющего числа получается автоматически, поскольку степень инвариантна относительно гомотопических отображений. Любое другое обычное значение даст тот же номер, поэтому номер ссылки не зависит от какой-либо конкретной схемы ссылок.

Этот состав связывающего числа γ ₁ и γ ₂ дает явную формулу в виде двойного интеграла линии , то Гаусс связывающую интеграл :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {link} (\gamma _{1},\gamma _{2})&=\,{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2})\\[4pt]&={\frac {1}{4\pi }}\int _{S^{1}\times S^{1}}{\frac {\det({\dot {\gamma }}_{1}(s),{\dot {\gamma }}_{2}(t),\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t))}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|^{3}}}\,ds\,dt\end{aligned}}}$

Этот интеграл вычисляет полную знаковую площадь изображения карты Гаусса (подынтегральное выражение является якобианом Γ), а затем делится на площадь сферы (которая равна 4 π ).

В квантовой теории поля [ править ]

В квантовой теории поля интегральное определение Гаусса возникает при вычислении среднего значения петли Вильсона, наблюдаемой в калибровочной теории Черна – Саймонса . В явном виде абелево действие Черна – Саймонса для одной формы калибровочного потенциала на трехмерном многообразии имеет вид${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S_{CS}={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}A\wedge dA}$

Мы заинтересованы в вычислении интеграла по путям Фейнмана для Черна – Саймонса в : ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\int {\mathcal {D}}A_{\mu }\exp \left({\frac {ik}{4\pi }}\int d^{3}x\varepsilon ^{\lambda \mu \nu }A_{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }+i\int _{\gamma _{1}}dx^{\mu }\,A_{\mu }+i\int _{\gamma _{2}}dx^{\mu }\,A_{\mu }\right)}$

Вот антисимметричный символ. Поскольку теория является просто гауссовой, никакой ультрафиолетовой регуляризации или перенормировки не требуется. Следовательно, топологическая инвариантность правой части гарантирует, что результат интеграла по путям будет топологическим инвариантом. Остается только предоставить общий коэффициент нормализации, и появится естественный выбор. Поскольку теория гауссова и абелева, интеграл по путям может быть получен просто путем классического решения теории и замены на . ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle A}$

Классические уравнения движения:

${\displaystyle \varepsilon ^{\lambda \mu \nu }\partial _{\mu }A_{\nu }={\frac {2\pi }{k}}J^{\lambda }}$

Здесь мы соединили поле Черна – Саймонса с источником с членом в лагранжиане. Очевидно, что, подставив соответствующие , мы можем вернуть петли Вильсона. Поскольку мы находимся в трехмерном пространстве, мы можем переписать уравнения движения в более привычных обозначениях:${\displaystyle -J_{\mu }A^{\mu }}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {2\pi }{k}}{\vec {J}}}$

Взяв ротор с обеих сторон и выбрав калибровку Лоренца , уравнения принимают вид ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}=-{\frac {2\pi }{k}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}$

Из электростатики решение

${\displaystyle A_{\lambda }({\vec {x}})={\frac {1}{2k}}\int d^{3}{\vec {y}}\,{\frac {\varepsilon _{\lambda \mu \nu }\partial ^{\mu }J^{\nu }({\vec {y}})}{|{\vec {x}}-{\vec {y}}|}}}$

Интеграл по путям для произвольного теперь легко сделать, подставив его в действие Черна – Саймонса, чтобы получить эффективное действие для поля. Чтобы получить интеграл по путям для петель Вильсона, мы заменяем источник, описывающий две частицы, движущиеся по замкнутым петлям, т. Е. С ${\displaystyle J}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=J_{1}+J_{2}}$

${\displaystyle J_{i}^{\mu }(x)=\int _{\gamma _{i}}dx_{i}^{\mu }\delta ^{3}(x-x_{i}(t))}$

Поскольку эффективное действие квадратично по , ясно, что будут термины, описывающие самовзаимодействие частиц, и это неинтересно, так как они были бы там даже при наличии только одной петли. Следовательно, мы нормализуем интеграл по путям на коэффициент, в точности сокращающий эти члены. Просматривая алгебру, получаем ${\displaystyle J}$

${\displaystyle Z[\gamma _{1},\gamma _{2}]=\exp {{\Big (}{\frac {2\pi i}{k}}\Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]{\Big )}},}$

куда

${\displaystyle \Phi [\gamma _{1},\gamma _{2}]={\frac {1}{4\pi }}\int _{\gamma _{1}}dx^{\lambda }\int _{\gamma _{2}}dy^{\mu }\,{\frac {(x-y)^{\nu }}{|x-y|^{3}}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu },}$

который является просто интегралом зацепления Гаусса. Это простейший пример топологической квантовой теории поля , где интеграл по путям вычисляет топологические инварианты. Это также послужило намеком на то, что неабелев вариант теории Черна – Саймонса вычисляет другие инварианты узлов, и Эдвард Виттен явно показал, что неабелева теория дает инвариант, известный как полином Джонса. ^[3]

Калибровочная теория Черна-Саймонса живет в трех измерениях пространства-времени. В более общем плане существуют топологические квантовые теории поля более высоких измерений. Существуют более сложные многопетлевые / переплетенные статистики 4-мерных калибровочных теорий, захваченные инвариантами связей экзотических топологических квантовых теорий поля в 4-х пространственно-временных измерениях. ^[4]

Обобщения [ править ]

• Так же, как замкнутые кривые могут быть связаны в трех измерениях, любые два замкнутых многообразия размерностей m и n могут быть связаны в евклидовом пространстве измерения . Любая такая связь имеет ассоциированное отображение Гаусса, степень которого является обобщением числа связей.${\displaystyle m+n+1}$
• Любой оснащенный узел имеет номер самосвязи, полученный путем вычисления номера связи узла C с новой кривой, полученной путем небольшого перемещения точек C вдоль векторов обрамления. Число самосвязывания, полученное при вертикальном перемещении (по обрамлению доски), известно как число самосвязывания Кауфмана .
• Номер связи определяется для двух связанных кругов; учитывая три или более окружностей, можно определить инварианты Милнора , которые являются числовым инвариантом, обобщающим число зацепления.
• В алгебраической топологии , то продукт чашка представляет собой далеко идущие алгебраическое обобщение зацепления, с произведения Масси быть алгебраические аналоги для инвариантов Милнора .
• Linkless вложения из неориентированного графа является вложением в трехмерное пространство таким образом, что каждые два цикла имеет нулевое зацепление. Графы, которые имеют вложение без ссылок, имеют запрещенную второстепенную характеристику как графы без младшего семейства Петерсенов .

См. Также [ править ]

• Дифференциальная геометрия кривых
• Инвариант Хопфа
• Проблема с поцелуями
• Писать

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• А. В. Чернавский (2001) [1994], "Коэффициент связи" , Энциклопедия математики , EMS Press
• - (2001) [1994], "Извивающееся число" , Энциклопедия математики , EMS PressCS1 maint: numeric names: authors list (link)