Узел тора

A (3, −7) - трехмерный торический узел.

Премия EureleA с изображением (2,3) -торного узла.

(2,8) торическое звено

В теории узлов , тор узел представляет собой особый вид узла , который лежит на поверхности незаузленного тора в R ³ . Точно так же торическое звено - это звено, которое таким же образом лежит на поверхности тора. Каждый торический узел задается парой взаимно простых целых чисел p и q . Торическое зацепление возникает, если p и q не взаимно просты (в этом случае количество компонентов равно gcd ( p, q )). Торический узел тривиален (эквивалентен безузлу) тогда и только тогда, когдалибо p, либо q равно 1 или -1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3) -торный узел, также известный как узел-трилистник .

(2, −3) -торный узел, также известный как левый узел - трилистник

Геометрическое изображение [ править ]

Торический узел можно визуализировать геометрически несколькими способами, которые топологически эквивалентны (см. Свойства ниже), но геометрически различны. Условные обозначения, использованные в этой статье и на рисунках, следующие.

( P , q ) -торный узел наматывается q раз по окружности внутри тора и p раз вокруг своей оси вращательной симметрии . {Обратите внимание, такое использование ролей p и q противоречит тому, что показано на: http://mathworld.wolfram.com/TorusKnot.html. Это также несовместимо со «Списком» торических узлов ниже и с изображениями, которые появляются в: "36 Torus Knots", The Knot Atlas.} Если p и q не являются взаимно простыми, то у нас есть торическое зацепление с более чем одним компонентом.

Направление, в котором нити узла обвиваются вокруг тора, также подлежит различным соглашениям. Чаще всего нити образуют винт с правой резьбой при pq> 0 . ^{[1] [2] [3]}

( P , q ) -торный узел может быть задан параметризацией

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}}$

где и . Он лежит на поверхности тора, задаваемой (в цилиндрических координатах ).${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Иллюстрации для (2,3) - и (3,8) -торных узлов можно получить, взяв , а в случае (2,3) -торного узла, кроме того, вычитая соответственно и из приведенных выше параметризаций x и у . Последнее гладко обобщается на любые взаимно простые p, q, удовлетворяющие .${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$${\displaystyle 3\cos((p-q)\phi )}$${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$${\displaystyle p<q<2p}$

Свойства [ править ]

Схема (3, −8) -торного узла.

Торический узел тривиален тогда и только тогда, когда либо p, либо q равны 1 или −1. ^{[2] [3]}

Каждый нетривиальный торический узел первичен ^[4] и кирален . ^[2]

Торический узел ( p , q ) эквивалентен торическому узлу ( q , p ). ^{[1] [3]} Это можно доказать, перемещая нити по поверхности тора. ^[5] Торический узел ( p , - q ) является лицевой стороной (зеркальным отображением ) торического узла ( p , q ). ^[3] Торический узел (- p , - q ) эквивалентен торическому узлу ( p , q ), за исключением обратной ориентации.

Любой ( p , q ) -торический узел можно сделать из закрытой косы с p прядями. Подходящее слово для косы : ^[6]

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}$

(Эта формула предполагает общепринятое соглашение о том, что образующие косы являются прямыми скручиваниями ^{[2] [6] [7] [8], за} которым не следует страница Википедии о косах.)

Число пересечений ( p , q ) торического узла с p , q > 0 равно

c = min (( p −1) q , ( q −1) p ).

Род тора узла с р , д > 0

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

Многочлен Александера тора узла является ^{[1] [6]}

${\displaystyle {\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}.}$

Полином Джонса а (правой рукой) тора узла задается

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}$

Дополнением к торическому узлу в 3-сфере является расслоенное по Зейферту многообразие , расслоенное над диском двумя особыми слоями.

Пусть Y будет p- кратной шляпкой с диском, удаленным изнутри, Z будет q- кратной шляпкой с удаленной внутренней частью, а X будет фактор-пространством, полученным отождествлением Y и Z вдоль их граничной окружности. Узел дополнение к ( р , д ) -тор узел деформация втягивается в пространстве X . Следовательно, группа узлов торического узла имеет представление

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

Торические узлы - единственные узлы, группы узлов которых имеют нетривиальный центр (который является бесконечным циклическим, порожденным элементом в приведенном выше представлении).${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$

Коэффициент растяжения в ( р , д ) торического узла, как кривую в евклидовом пространстве , является Ω (мин ( р , д )), так что тор узлов имеют неограниченные факторы растяжения. Студент-исследователь Джон Пардон получил в 2012 году премию Моргана за свое исследование, доказывающее этот результат, который решил проблему, первоначально поставленную Михаилом Громовым . ^{[9] [10]}

Подключение к сложным гиперповерхностям [ править ]

( P , q ) -торные узлы возникают при рассмотрении зацепления изолированной комплексной особенности гиперповерхности. Одна пересекает сложную гиперповерхность с гиперсферой с центром в изолированной особой точке и с достаточно малым радиусом, чтобы она не охватывала и не сталкивалась с какими-либо другими особыми точками. Пересечение дает подмногообразие гиперсферы.

Пусть p и q взаимно простые целые числа, большие или равные двум. Рассмотрим голоморфную функцию, задаваемую Let будет набором таких, что для данного действительного числа мы определяем реальную трехмерную сферу как заданную функцией Функция имеет изолированную критическую точку в, поскольку тогда и только тогда , когда Таким образом, мы рассматриваем структуру, близкую к In Для этого мы рассматриваем пересечение. Это пересечение является так называемым звеном особенности . Звено , где p и q${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle f(w,z)=0.}$${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}$${\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$${\displaystyle w=z=0.}$${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}$${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}$${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$взаимно просты и оба больше или равны двум, это в точности ( p , q ) -торный узел. ^[11]

Список [ править ]

Рисунок справа - торическое звено (72,4).

• Без узла , 3 1 узел (3,2), 5 1 узел (5,2), 7 1 узел (7,2), 8 ₁₉ узлов (4,3), 9 ₁ узел (9,2), 10 ₁₂₄ узла (5,3)

g -torus knot [ править ]

Узел g-тора - это замкнутая кривая, проведенная на g-торе . С технической точки зрения, это гомеоморфный образ круга в S³, который может быть реализован как подмножество ручек рода g в S³ . Если звено является подмножеством ручек второго рода, оно является двойным торическим звеном . ^[12]

Для второго рода простейшим примером двойного торического узла, не являющегося торическим узлом, является узел « восьмерка» . ^{[13] [14]}

См. Также [ править ]

• Переменный узел
• Иррациональная намотка тора
• Топополис

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• " 36 торовых узлов ", Атлас узлов .
• Вайсштейн, Эрик В. "Торусский узел" . MathWorld .
• Рендерер узлов Torus в ActionScript
• Развлечение с узлом PQ-Torus