 | Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
|
В математике , А положительно ориентированная кривая является плоской простой замкнутой кривой (то есть, кривая в плоскости, начальная точка также является конечной точкой и который не имеет других самопересечений) таким образом, что при движении по нему всегда имеет кривую внутренняя слева (и, следовательно, кривая, внешняя справа). Если в приведенном выше определении поменять местами влево и вправо, получится отрицательно ориентированная кривая .
Решающим для этого определения является тот факт, что каждая простая замкнутая кривая допускает четко определенную внутренность; что следует из теоремы о жордановой кривой .
Все простые замкнутые кривые можно классифицировать как отрицательно ориентированные (по часовой стрелке ), положительно ориентированные ( против часовой стрелки ) или неориентируемые . Внутренний цикл из Beltway дороги в Соединенных Штатах (или в других странах , где люди ездят на правой стороне дороги) будет примером отрицательно ориентированной ( по часовой стрелке) кривой. Круг ориентированный против часовой стрелки является примером положительно ориентированным кривым. Тот же круг, ориентированный по часовой стрелке, будет отрицательно ориентированной кривой.
Концепция ориентации кривой является лишь частным случаем понятия ориентации в виде коллектора (то есть, к тому же ориентации кривой один также можно говорить о ориентации поверхности , гиперповерхности и т.д.). Здесь внутренняя и внешняя части кривой наследуют обычную ориентацию плоскости. Положительная ориентация кривой - это ориентация, которую она наследует как границу ее внутренней части; негативная ориентация унаследована от экстерьера.
Ориентация простого многоугольника [ править ]
В двух измерениях, учитывая упорядоченный набор из трех или более связанных вершин (точек) (например, в соединении точек ), который образует простой многоугольник , ориентация результирующего многоугольника напрямую связана со знаком угла в любом вершина из выпуклой оболочки многоугольника, например, угла ABC в картине. В вычислениях знак меньшего угла, образованного парой векторов, обычно определяется знаком перекрестного произведения векторов. Последний может быть вычислен как знак определителя их матрицы ориентации. В частном случае, когда два вектора определяются двумяДля отрезков с общей конечной точкой, таких как стороны BA и BC угла ABC в нашем примере, матрица ориентации может быть определена следующим образом:
Формулу для его определителя можно получить, например, используя метод расширения сомножителя :
Если определитель отрицательный, то многоугольник ориентирован по часовой стрелке. Если определитель положительный, многоугольник ориентирован против часовой стрелки. Определитель отличен от нуля, если точки A, B и C неколлинеарны . В приведенном выше примере с точками, расположенными в порядке A, B, C и т. Д., Определитель отрицательный, и поэтому многоугольник повернут по часовой стрелке.
Практические соображения [ править ]
В практических приложениях обычно учитываются следующие соображения.
Чтобы найти подходящую вершину, не нужно строить выпуклую оболочку многоугольника. Обычно выбирают вершину многоугольника с наименьшей X-координатой. Если их несколько, выбирается тот, у которого наименьшая координата Y. Гарантируется, что это вершина выпуклой оболочки многоугольника. В качестве альтернативы, вершина с наименьшей координатой Y среди вершин с наибольшими координатами X или вершина с наименьшей координатой X среди вершин с наибольшими координатами Y (или любая другая из 8 "наименьших, наибольших" X / Y комбинации) также подойдут. После выбора вершины выпуклой оболочки можно применить формулу, используя предыдущую и следующую вершины, даже если они не находятся на выпуклой оболочке, поскольку на этой вершине не может быть локальной вогнутости.
Если искать ориентацию выпуклого многоугольника , то, конечно, можно выбрать любую вершину.
По числовым причинам обычно используется следующая эквивалентная формула для определителя:
Последняя формула имеет на четыре умножения меньше. Что более важно в компьютерных вычислениях, используемых в большинстве практических приложений, таких как компьютерная графика или САПР , абсолютные значения множителей обычно меньше (например, когда A, B, C находятся в одном квадранте ), что дает меньшие числовые значения. ошибка или, в крайнем случае, избежание арифметического переполнения .
Если заранее неизвестно, что последовательность точек определяет простой многоугольник, следует иметь в виду следующее.
Для самопересекающегося многоугольника ( сложного многоугольника ) (или для любой самопересекающейся кривой) нет естественного понятия «внутренность», поэтому ориентация не определена. В то же время в геометрии и компьютерной графике существует ряд концепций, заменяющих понятие «интерьер» для замкнутых непростых кривых; см., например, « заливка » и « число намотки ».
В «мягких» случаях самопересечения с вырожденными вершинами, когда разрешено три последовательных точки находиться на одной прямой и образовывать угол в ноль градусов, концепция «внутреннего» все еще имеет смысл, но необходимо проявлять особую осторожность. в выборе проверяемого угла. В данном примере представьте, что точка A лежит на отрезке BC. В этой ситуации угол ABC и его определитель будут равны 0, следовательно, бесполезны. Решение состоит в том, чтобы проверить последовательные углы вдоль многоугольника (BCD, DEF, ...), пока не будет найден ненулевой определитель (если все точки не лежат на одной прямой ). (Обратите внимание, что точки C, D, E находятся на одной прямой и образуют угол 180 градусов с нулевым определителем.)
Местная вогнутость [ править ]
Как только ориентация многоугольника, сформированного из упорядоченного набора вершин, известна, вогнутость локальной области многоугольника может быть определена с использованием второй матрицы ориентации. Эта матрица состоит из трех последовательных вершин, которые проверяются на вогнутость. Например, в многоугольнике, изображенном выше, если мы хотим знать, является ли последовательность точек FGH вогнутой , выпуклой или коллинеарной (плоской), мы строим матрицу
Если определитель этой матрицы равен 0, то последовательность коллинеарна - не вогнутая и не выпуклая. Если определитель имеет тот же знак, что и матрица ориентации для всего многоугольника, то последовательность выпуклая. Если знаки различаются, то последовательность вогнутая. В этом примере многоугольник ориентирован отрицательно, но определитель для точек FGH положительный, и поэтому последовательность FGH вогнута.
В следующей таблице показаны правила определения того, является ли последовательность точек выпуклой, вогнутой или плоской:
| Отрицательно ориентированный многоугольник (по часовой стрелке) | Положительно ориентированный многоугольник (против часовой стрелки) | |
|---|---|---|
| определитель матрицы ориентации для локальных точек отрицателен | выпуклая последовательность точек | вогнутая последовательность точек |
| определитель матрицы ориентации для локальных точек положителен | вогнутая последовательность точек | выпуклая последовательность точек |
| определитель матрицы ориентации для локальных точек равен 0 | коллинеарная последовательность точек | коллинеарная последовательность точек |
См. Также [ править ]
- Дифференциальная геометрия кривых
- Ориентируемость
- Выпуклый корпус
Ссылки [ править ]
Внешние ссылки [ править ]
- http://www.math.hmc.edu/faculty/gu/curves_and_surfaces/curves/_topology.html
- Ориентация кривой в MathWorld
