Дифференцируемая кривая

Дифференциальная геометрия кривых - это раздел геометрии, который имеет дело с гладкими кривыми на плоскости и в евклидовом пространстве методами дифференциального и интегрального исчисления .

Многие конкретные кривые были тщательно исследованы с использованием синтетического подхода . Дифференциальная геометрия идет другим путем: кривые представлены в параметризованной форме , а их геометрические свойства и различные связанные с ними величины, такие как кривизна и длина дуги , выражаются через производные и интегралы с использованием векторного исчисления . Одним из наиболее важных инструментов, используемых для анализа кривой, является рамка Френе , подвижная рамка, которая обеспечивает систему координат в каждой точке кривой, которая «лучше всего адаптирована» к кривой около этой точки.

Теория кривых намного проще и уже по своему охвату, чем теория поверхностей и ее многомерные обобщения, потому что регулярная кривая в евклидовом пространстве не имеет внутренней геометрии. Любая регулярная кривая может быть параметризована длиной дуги ( естественная параметризация ). С точки зрения теоретической точечной частицы на кривой, которая ничего не знает об окружающем пространстве, все кривые выглядят одинаково. Различные пространственные кривые различаются только тем, как они изгибаются и скручиваются. Количественно это измеряется дифференциально-геометрическими инвариантами, называемыми кривизной и кручением кривой. Основная теорема кривых утверждает, что знание этих инвариантов полностью определяет кривую.

Определения [ править ]

Параметрический С ^г - кривой или С ^г - параметризация является вектор-функцией

${\ displaystyle \ gamma: I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

то есть r- раз непрерывно дифференцируемо (то есть составляющие функции γ непрерывно дифференцируемы), где n ∈ ℕ , r ∈ ℕ {∞} , а I - непустой интервал действительных чисел. Изображение параметрической кривой γ [ I ] ⊆ ℝ ^н . Параметрическая кривая γ и ее образ γ [ I ] должны различаться, поскольку заданное подмножество ℝ ⁿможет быть изображением нескольких различных параметрических кривых. Параметр t в γ ( t ) можно представить как представление времени, а γ - как траекторию движущейся точки в пространстве. Когда I - замкнутый интервал [ a , b ] , γ ( a ) называется начальной точкой, а γ ( b ) - конечной точкой γ . Если начальная и конечная точки совпадают (то есть γ ( a ) = γ ( b )), то γ - замкнутая кривая или петля . Чтобы быть C ^r -петлей, функция γ должна быть r- кратно непрерывно дифференцируемой и удовлетворять условию γ ^{( k )} ( a ) = γ ^{( k )} ( b ) для 0 ≤ k ≤ r .

Параметрическая кривая проста, если

${\ displaystyle \ gamma | _ {(a, b)} :( a, b) \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$

является инъективным . Он является аналитическим, если каждая компонентная функция γ является аналитической функцией , то есть принадлежит классу C ^ω .

Кривая γ является регулярным порядка т (где т ≤ г ) , если для каждого т ∈ I ,

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma '(t), \ gamma' '(t), \ ldots, {\ gamma ^ {(m)}} (t) \ right \}}$

является линейно независимым подмножеством ℝ ⁿ . В частности, параметрический С ¹ -кривой γ является регулярным тогда и только тогда , когда γ '( т ) ≠ 0 для любого т ∈ I .

Повторная параметризация и отношение эквивалентности [ править ]

Для изображения параметрической кривой существует несколько различных параметризаций параметрической кривой. Дифференциальная геометрия направлена ​​на описание свойств параметрических кривых, инвариантных при определенных репараметризациях. Необходимо определить подходящее отношение эквивалентности на множестве всех параметрических кривых. Дифференциально-геометрические свойства параметрической кривой (такие как ее длина, ее система отсчета Френе и ее обобщенная кривизна) инвариантны относительно репараметризации и, следовательно, свойства самого класса эквивалентности . Классы эквивалентности называются C ^r -кривыми и являются центральными объектами, изучаемыми в дифференциальной геометрии кривых.

Две параметрические C ^r -кривые, γ ₁  : I ₁ → ℝ ⁿ и γ ₂  : I ₂ → ℝ ⁿ , называются эквивалентными тогда и только тогда, когда существует биективное C ^r -отображение φ  : I ₁ → I ₂ такое, что который

${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad \ varphi '(t) \ neq 0}$

и

${\ displaystyle \ forall t \ in I_ {1}: \ quad \ gamma _ {2} {\ bigl (} \ varphi (t) {\ bigr)} = \ gamma _ {1} (t).}$

γ _- затем называется повторно параметризация из гаммы ₁ .

Повторная параметризация определяет отношение эквивалентности на множестве всех параметрических C ^r -кривых класса C ^r . Класс эквивалентности этого отношения просто C ^r -кривая.

Еще более тонкое отношение эквивалентности ориентированных параметрических C ^r -кривых можно определить, потребовав от φ, чтобы φ ′ ( t )> 0 .

Эквивалентные параметрические C ^r -кривые имеют одно и то же изображение, а эквивалентные ориентированные параметрические C ^r -кривые даже пересекают изображение в одном и том же направлении.

Длина и естественная параметризация[ редактировать ]

Длина l параметрической C ¹ -кривой γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ определяется как

${\displaystyle l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.}$

Длина параметрической кривой инвариантна при повторной параметризации и, следовательно, является дифференциально-геометрическим свойством параметрической кривой.

Для каждой регулярной параметрической C ^r -кривой γ  : [ a , b ] → ℝ ⁿ , где r ≥ 1 , функция определяется

${\displaystyle \forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.}$

Запись γ (s) = γ ( t ( s )) , где t ( s ) - функция, обратная s ( t ) . Это повторная параметризация γ для γ, которая называется параметризацией длины дуги , естественной параметризацией , параметризацией единичной скорости . Параметр сек ( т ) называется естественный параметром из гаммы .

Эта параметризация является предпочтительной, потому что естественный параметр s ( t ) пересекает изображение γ с единичной скоростью, так что

${\displaystyle \forall t\in I:\quad \left\|{\overline {\gamma }}'{\bigl (}s(t){\bigr )}\right\|=1.}$

На практике часто очень сложно вычислить естественную параметризацию параметрической кривой, но это полезно для теоретических рассуждений.

Для данной параметрической кривой γ естественная параметризация единственна с точностью до сдвига параметра.

Количество

${\displaystyle E(\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|^{2}~\mathrm {d} {t}}$

иногда называют энергией или действием кривой; это название оправдано, поскольку уравнения геодезических являются уравнениями движения Эйлера – Лагранжа для этого действия.

Фрейм Френета [ править ]

Система Френе - это подвижная система отсчета из n ортонормированных векторов e _i ( t ), которые используются для локального описания кривой в каждой точке γ ( t ) . Это основной инструмент дифференциально-геометрической обработки кривых, потому что гораздо проще и естественнее описывать локальные свойства (например, кривизну, кручение) в терминах локальной системы отсчета, чем с использованием глобальной системы, такой как евклидовы координаты.

Учитывая C ^{п +-} -кривый Г в ℝ ^п , регулярные порядка п репера Френа для кривого множества ортогональных векторов

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

называемые векторами Френе . Они построены из производных γ ( t ) с использованием алгоритма ортогонализации Грама – Шмидта с

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}(t)&={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}\\[8px]\mathbf {e} _{j}(t)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\right\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\left\langle {\boldsymbol {\gamma }}^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\right\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)\end{aligned}}}$

Действительные функции χ _i ( t ) называются обобщенными кривизнами и определяются как

${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}^{'}(t)\right\|}}}$

Система отсчета Френе и обобщенные кривизны инвариантны относительно репараметризации и, следовательно, являются дифференциально-геометрическими свойствами кривой.

Кривая Бертрана [ править ]

Бертрана кривой является кривым Френом в с дополнительным свойством , что существует вторая кривой таким образом, что главные нормальные векторы для этих двух кривых одинаковы в каждой соответствующей точке. Другими словами, если r → ₁ ( t ) и r → ₂ ( t ) - две кривые в таких, что для любого t , N → ₁ = N → ₂ , то r → ₁ и r → ₂${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$- кривые Бертрана. По этой причине принято говорить о паре кривых Бертрана (например, r → ₁ и r → ₂ в предыдущем примере). Согласно задаче 25 Кюнеля «Кривые дифференциальной геометрии - поверхности - многообразия» также верно, что две кривые Бертрана, не лежащие в одной двумерной плоскости, характеризуются существованием линейной зависимости aκ + bτ = 1, где a и b - действительные константы и a ≠ 0 . ^[1] Кроме того, произведение кручений пары кривых Бертрана постоянно. ^[2]

Специальные векторы Френе и обобщенные кривизны [ править ]

Первые три вектора Френе и обобщенные кривизны могут быть визуализированы в трехмерном пространстве. К ним прикреплены дополнительные имена и дополнительная семантическая информация.

Касательный вектор [ править ]

Если кривая γ представляет путь частицы, то мгновенное значение скорости частицы в данной точке P выражается вектором , называется касательный вектор к кривой в точке P . Математически, учитывая параметризованную кривую C ¹ γ = γ ( t ) , для каждого значения t = t ₀ параметра вектор

${\displaystyle \gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}{\boldsymbol {\gamma }}(t)\ {\text{at}}\ t=t_{0}}$

- касательный вектор в точке P = γ ( t ₀ ) . Вообще говоря, касательный вектор может быть нулевым . Величина касательного вектора

${\displaystyle \left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t_{0})\right\|}$

скорость в момент времени t ₀ .

Первый вектор Френе e ₁ ( t ) является единичным касательным вектором в том же направлении, определенным в каждой регулярной точке γ :

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {{\boldsymbol {\gamma }}'(t)}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$

Если t = s - естественный параметр, то касательный вектор имеет единичную длину. Формула упрощается:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)}$.

Единичный касательный вектор определяет ориентацию кривой или прямое направление, соответствующее возрастающим значениям параметра. Единичный касательный вектор, взятый как кривая, отслеживает сферическое изображение исходной кривой.

Вектор нормали или кривизны [ править ]

Вектор нормали, иногда называемый вектором кривизны, указывает отклонение кривой от прямой линии.

Он определяется как

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}''(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t).}$

Его нормализованная форма, единичный вектор нормали, является вторым вектором Френе e ₂ ( t ) и определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\left\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\right\|}}.}$

Касательная и вектор нормали в точке t определяют соприкасающуюся плоскость в точке t .

Можно показать, что ē ₂ ( t ) ∝ e ′ ₁ ( t ) . Следовательно,

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {\mathbf {e} _{1}'(t)}{\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}}.}$

Кривизна [ править ]

Первая обобщенная кривизна χ ₁ ( t ) называется кривизной и измеряет отклонение γ от прямой линии относительно соприкасающейся плоскости. Он определяется как

${\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$

и называется кривизной из Г в точке т . Можно показать, что

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {\left\|\mathbf {e} _{1}'(t)\right\|}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}.}$

Обратная кривизна

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}$

называется радиусом кривизны .

Окружность радиуса r имеет постоянную кривизну

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}}$

тогда как линия имеет кривизну 0.

Бинормальный вектор [ править ]

Единичный бинормальный вектор - это третий вектор Френе e ₃ ( t ) . Он всегда ортогонален единичным касательным и нормальным векторам в точке t . Он определяется как

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}},\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)={\boldsymbol {\gamma }}'''(t)-{\bigr \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{1}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{1}(t)-{\bigl \langle }{\boldsymbol {\gamma }}'''(t),\mathbf {e} _{2}(t){\bigr \rangle }\,\mathbf {e} _{2}(t)}$

В трехмерном пространстве уравнение упрощается до

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t)}$

или чтобы

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=-\mathbf {e} _{1}(t)\times \mathbf {e} _{2}(t),}$

То, что может иметь место любой знак, иллюстрируется примерами правой спирали и левой спирали.

Кручение [ править ]

Вторая обобщенная кривизна χ ₂ ( t ) называется кручением и измеряет отклонение кривой γ от плоской кривой. Другими словами, если кручение равно нулю, кривая полностью лежит в одной и той же соприкасающейся плоскости (для каждой точки t существует только одна соприкасающаяся плоскость ). Он определяется как

${\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {{\bigl \langle }\mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t){\bigr \rangle }}{\left\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right\|}}}$

и называются кручение от гаммы в точке т .

Аберранси [ править ]

Третья производная может быть использована для определения аберрация , метрика Некруглость кривой. ^{[3] [4] [5]}

Основная теорема теории кривых [ править ]

Даны n - 1 функция:

${\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b],\mathbb {R} ^{n}),\quad \chi _{i}(t)>0,\quad 1\leq i\leq n-1}$

то существует единственная (с точностью до преобразований с использованием евклидовой группы ) C ^{n + 1} -кривая γ, регулярная порядка n и обладающая следующими свойствами:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\gamma '(t)\|&=1&t\in [a,b]\\\chi _{i}(t)&={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\|}}\end{aligned}}}$

где набор

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

- рамка Френе для кривой.

Путем дополнительного обеспечения начала t ₀ в I , начальной точки p ₀ в ℝ ⁿ и начального положительного ортонормированного фрейма Френе { e ₁ ,…, e _{n - 1} } с

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\gamma }}(t_{0})&=\mathbf {p} _{0}\\\mathbf {e} _{i}(t_{0})&=\mathbf {e} _{i},\quad 1\leq i\leq n-1\end{aligned}}}$

Евклидовы преобразования исключаются, чтобы получить единственную кривую γ .

Формулы Френе – Серре [ править ]

Формулы Френе – Серре представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решение представляет собой набор векторов Френе, описывающих кривую, заданную обобщенными функциями кривизны χ _i .

2 измерения [ править ]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}}$

3 измерения [ править ]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

n размеров (общая формула) [ править ]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}'(t)\\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}=\left\Vert \gamma '\left(t\right)\right\Vert {\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&\cdots &0&0\\-\chi _{1}(t)&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&0&\cdots &-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n-1}(t)\\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}$

См. Также [ править ]

• Список тем кривых

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Крейсциг, Эрвин (1991). Дифференциальная геометрия . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-66721-9.Глава II представляет собой классическое рассмотрение теории кривых в трехмерном пространстве.