Дифференциальная геометрия поверхностей

Карл Фридрих Гаусс в 1828 году

В математике , то дифференциальная геометрия поверхностей имеют дело с дифференциальной геометрией из гладких поверхностей с различными дополнительными структурами, Чаще всего, риманов метрика . Поверхности широко изучались с различных точек зрения: внешне , в связи с их включением в евклидово пространство, и по сути , отражая их свойства, определяемые исключительно расстоянием внутри поверхности, измеренным по кривым на поверхности. Одним из фундаментальных исследованных понятий является гауссова кривизна , впервые подробно изученнаяГаусс , ^[1] , который показал , что кривизна была внутренним свойством поверхности, зависит от его изометрического вложения в евклидовом пространстве.

Поверхности естественно возникают как графики из функций пары переменных , а иногда появляются в параметрической форме или в виде локусов , ассоциированных с пространственными кривыми . Важная роль в исследовании сыграли группы Ли (в духе программы Эрлангена ), а именно группы симметрии в евклидовой плоскости , в сфере и гиперболической плоскость . Эти группы Ли можно использовать для описания поверхностей постоянной гауссовой кривизны; они также являются важным компонентом современного подхода к внутренней дифференциальной геометрии через соединения.. С другой стороны, внешние свойства, основанные на вложении поверхности в евклидово пространство, также широко изучаются. Это хорошо иллюстрируется нелинейными уравнениями Эйлера – Лагранжа в вариационном исчислении : хотя Эйлер разработал уравнения с одной переменной для понимания геодезических , определенных независимо от вложения, одно из основных приложений Лагранжа уравнений с двумя переменными было к минимальным поверхностям , концепция, которая может быть определена только в терминах вложения.

История [ править ]

Объемы некоторых поверхностей второго порядка от вращения были вычислены Архимедом . ^[2] Развитие исчисления в семнадцатом веке предоставило более систематический способ их вычисления. ^[3] Кривизну общих поверхностей впервые изучил Эйлер . В 1760 г. ^[4] он доказал формулу кривизны плоского сечения поверхности, а в 1771 г. ^[5] он рассмотрел поверхности, представленные в параметрической форме. Монж заложил основы их теории в своих классических мемуарах L'application de l'analyse à la géometrie.который появился в 1795 году. Определяющий вклад в теорию поверхностей был сделан Гауссом в двух замечательных статьях, написанных в 1825 и 1827 годах. ^[1] Это ознаменовало новый отход от традиции, поскольку впервые Гаусс рассмотрел внутреннюю геометрию поверхности , свойства, которые определяются только геодезическими расстояниями между точками на поверхности независимо от того, каким образом поверхность расположена в окружающем евклидовом пространстве. Главный результат, Теорема Egregium Гаусса, установила, что гауссова кривизна является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий.. Эта точка зрения была распространена Риманом на многомерные пространства и привела к тому, что сегодня известно как риманова геометрия . Девятнадцатый век был золотым веком теории поверхностей как с топологической, так и с дифференциально-геометрической точки зрения, и большинство ведущих геометров посвятили себя их изучению. ^{[ необходимая цитата ]} Дарбу собрал множество результатов в своем четырехтомном трактате « Теория поверхностей» (1887–1896).

Обзор [ править ]

Интуитивно довольно знакомо сказать, что лист растения, поверхность стекла или форма лица имеют определенные изгибы, и что все эти формы, даже без учета каких-либо отличительных знаков, имеют определенные геометрические формы. особенности, которые отличают одно от другого. Дифференциальная геометрия поверхностей занимается математическим пониманием таких явлений. Изучение этой области, которое в современной форме было начато в 1700-х годах, привело к развитию многомерной и абстрактной геометрии, такой как риманова геометрия и общая теория относительности . ^{[ оригинальное исследование? ]}

Существенный математический объект - это правильная поверхность. Хотя конвенции различаются по их точному определению, они образуют общий класс подмножеств трехмерного евклидова пространства ( ℝ ³ ) , которые захватывают часть привычного понятия «поверхность» . Анализируя класс кривых, лежащих на такой поверхности, и степень, в которой поверхности заставляют их искривляться в ℝ ³ , можно сопоставить каждой точке поверхности два числа, называемых главными кривизнами. Их среднее значение называется средней кривизной поверхности, а их произведение - гауссовой кривизной.

Есть много классических примеров регулярных поверхностей, в том числе:

• знакомые примеры, такие как плоскости, цилиндры и сферы
• минимальные поверхности , которые определяются тем свойством, что их средняя кривизна равна нулю в каждой точке. Самыми известными примерами являются катеноиды и геликоиды , хотя обнаружено гораздо больше. Минимальные поверхности также могут быть определены с помощью свойств, связанных с площадью поверхности , в результате чего они обеспечивают математическую модель формы мыльных пленок при растяжении через проволочный каркас.
• линейчатые поверхности , которые представляют собой поверхности, в каждой точке которой проходит по крайней мере одна прямая линия; примеры включают цилиндр и гиперболоид одного листа.

Удивительный результат Карла Фридриха Гаусса , известный как теорема эгрегиум , показал, что гауссова кривизна поверхности, которая по своему определению связана с тем, как кривые на поверхности меняют направление в трехмерном пространстве, на самом деле может быть измерена длинами кривых, лежащих на поверхностях, вместе с углами, образованными при пересечении двух кривых на поверхности. Терминологически это говорит о том, что гауссова кривизна может быть вычислена по первой фундаментальной форме (также называемой метрическим тензором ) поверхности. Вторая фундаментальная форма , напротив, представляет собой объект , который кодирует , как длины и углы кривых на поверхности искажены , когда кривые выталкиваются с поверхностью.

Несмотря на измерение различных аспектов длины и угла, первая и вторая фундаментальные формы не являются независимыми друг от друга и удовлетворяют определенным ограничениям, называемым уравнениями Гаусса-Кодацци . Основная теорема, часто называемая фундаментальной теоремой дифференциальной геометрии поверхностей, утверждает, что всякий раз, когда два объекта удовлетворяют ограничениям Гаусса-Кодацци, они возникают как первая и вторая фундаментальные формы регулярной поверхности.

Используя первую фундаментальную форму, можно определять новые объекты на регулярной поверхности. Геодезические - это кривые на поверхности, которые удовлетворяют определенному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, которое задается первой фундаментальной формой. Они очень напрямую связаны с изучением длин кривых; геодезическая достаточно короткой длины всегда будет кривой самой короткой длины на поверхности, соединяющей два ее конца. Таким образом, геодезические являются фундаментальными для задачи оптимизации определения кратчайшего пути между двумя заданными точками на регулярной поверхности.

Можно также определить параллельный перенос вдоль любой заданной кривой, что дает рецепт, как деформировать касательный вектор к поверхности в одной точке кривой до касательных векторов во всех других точках кривой. Рецепт определяется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, которое задается первой фундаментальной формой.

Вышеупомянутые концепции, по сути, все связаны с многомерным исчислением. Теорема Гаусса-Бонне - более глобальный результат, который связывает гауссову кривизну поверхности с ее топологическим типом. Утверждается, что среднее значение гауссовой кривизны полностью определяется эйлеровой характеристикой поверхности вместе с площадью ее поверхности.

Понятия риманова многообразия и римановой поверхности являются двумя обобщениями регулярных поверхностей, обсуждаемых выше. В частности, практически вся обсуждаемая здесь теория регулярных поверхностей имеет обобщение в теории римановых многообразий. Это не относится к римановым поверхностям, хотя каждая регулярная поверхность дает пример римановой поверхности.

Регулярные поверхности в евклидовом пространстве [ править ]

Определение [ править ]

Интуитивно понятно, что сфера гладкая, а конус или пирамида из-за их вершины или ребер - нет. Понятие «регулярная поверхность» является формализацией понятия гладкой поверхности. Определение использует локальное представление поверхности через карты между евклидовыми пространствами . Для таких отображений существует стандартное понятие гладкости; отображение между двумя открытыми подмножествами евклидова пространства является гладким, если его частные производные любого порядка существуют в каждой точке области. ^{[6] [7] [8]}

Ниже приведены три эквивалентных способа представления определения; середина определение является , возможно , наиболее визуально интуитивно, так как она , по существу , говорит о том , что регулярная поверхность является подмножеством ℝ ³ , локально график гладкой функции (будь то по области в уг плоскости, в хг плоскости, или ху самолет).

Гомеоморфизмы , фигурирующие в первом определении, известны как местные параметризации или локальные системы координат и локальные карты на S . ^[13] Эквивалентность первых двух определений утверждает, что вокруг любой точки на регулярной поверхности всегда существуют локальные параметризации вида ( u , v ) ↦ ( h ( u , v ), u , v ) , ( u , v ) ↦ ( u , h ( u , v), v ) или ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , известные как патчи Монжа. Функции F, как в третьем определении, называются локальными определяющими функциями . Эквивалентность всех трех определений следует из теоремы о неявной функции . ^{[14] [15] [16]}

Для любых двух локальных параметризаций f  : V → U и f ′: V ′ → U ′ регулярной поверхности композиция f ⁻¹ ∘ f ′ обязательно гладкая как отображение между открытыми подмножествами ℝ ² . ^[17] Это показывает, что любая регулярная поверхность естественным образом имеет структуру гладкого многообразия , причем гладкий атлас задается обратными локальными параметризациями.

В классической теории дифференциальной геометрии поверхности обычно изучаются только в регулярном случае. ^{[7] [18]} Однако также распространено изучение нерегулярных поверхностей, в которых две частные производные ∂ _u f и ∂ _v f локальной параметризации могут не быть линейно независимыми . В этом случае S может иметь особенности, например ребра возврата . Такие поверхности обычно изучаются в теории особенностей . Другие ослабленные формы правильных поверхностей встречаются в автоматизированном проектировании., где поверхность разбита на непересекающиеся части, а производные от локальных параметризаций не могут быть даже непрерывными по границам. ^{[ необходима цитата ]}

Простые примеры. Простой пример регулярной поверхности - 2-сфера {( x , y , z ) | х ² + у ² + z ² = 1 }; эта поверхность может быть покрыта шестью пятнами Монжа (по два каждого из трех типов, указанных выше), принимая h ( u , v ) = ± (1 - u ² - v ² ) ^1/2 . Его также можно покрыть двумя локальными параметризациями с использованием стереографической проекции . Множество {( x , y, Г ): (( х ² + у ² ) ^1/2 - г ) ² + г ² = R ² } является тор вращения с радиусами г и R . Это обычная поверхность; локальные параметризации можно представить в виде

${\displaystyle f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.}$

Гиперболоид на двух листах {( х , у , г ): г ² = 1 + х ² + у ² } является регулярной поверхностью; он может быть покрыт двумя пятнами Монжа с h ( u , v ) = ± (1 + u ² + v ² ) ^1/2 . Геликоида появляется в теории минимальных поверхностей . Он покрывается единственной локальной параметризацией, f ( u , v ) = ( usin v , u cos v , v ) .

Касательные векторы и нормальные векторы [ править ]

Пусть S регулярная поверхность в ℝ ³ , и пусть р элемент из S . Использование любого из приведенных выше определений, можно выделить определенные векторы в ℝ ³ , как являющаяся касательная к S в р и некоторые векторы в ℝ ³ , как быть ортогональна S на р .

Объекты, используемые в определении	Вектор X в ℝ 3 касается S в точке p, если ...	Вектор n в ℝ 3 нормален к S в точке p, если ...
Локальные параметризации	... для любой локальной параметризации f  : V → S с p ∈ f ( V ) , X является линейной комбинацией и${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial u}}{\big |}_{f^{-1}(p)}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big |}_{f^{-1}(p)}}$	... он ортогонален каждому касательному вектору к S в точке p
Патчи Monge	... для любого патча Монжа ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , диапазон которого включает p , один имеет ${\displaystyle X^{1}{\frac {\partial h}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial h}{\partial v}}-X^{3}=0,}$ с частными производными, вычисленными в точке ( p 1 , p 2 ) . Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.	... для любого патча Монжа ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , диапазон которого включает p , n кратно (∂ h/∂ u, ∂ h/∂ v, −1), вычисленные в точке ( p 1 , p 2 ) . Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.
Неявные функции	... для любой локальной определяющей функции F , область определения которой содержит p , X ортогонален ∇ F ( p )	... для любой локальной определяющей функции F , область определения которой содержит p , n делится на ∇ F ( p )

Видно , что касательное пространство к S в р , которая определяется состоять из всех касательных векторов к S в р , является двумерный линейным подпространством ℝ ³ ; он часто обозначается через Т _р S . Нормальное пространство к S в р , которая определяется состоять из всех векторов нормали к S в р , является одномерным линейным подпространством ℝ ³ , который ортогонален касательного пространства Т _р S . Таким образом, в каждой точке pиз S , существуют два нормальных векторов единичной длины, называемые единичные нормальные векторы. Полезно отметить, что единичные векторы нормалей в p могут быть заданы в терминах локальной параметризации, патчей Монжа или локальных определяющих функций с помощью формул

${\displaystyle \pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{{\big \|}{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big \|}}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1{\big )}}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}}{\big )}^{2}+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial v}}{\big )}^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{or}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},}$

используя те же обозначения, что и в предыдущих определениях.

Также полезно отметить «внутреннее» определение касательных векторов, которое типично для обобщения теории регулярных поверхностей на случай гладких многообразий . Он определяет касательное пространство как абстрактное двумерное вещественное векторное пространство, а не как линейное подпространство ℝ ³ . В этом определении говорится, что касательный вектор к S в точке p является присвоением каждой локальной параметризации f  : V → S с p ∈ f ( V ) двух чисел X ¹ и X ², такая, что для любой другой локальной параметризации f ′: V → S с p ∈ f ( V ) (и с соответствующими числами ( X ′) ¹ и ( X ′) ² ), выполняется

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},}$

где A _{f ′ ( p )} - матрица Якоби отображения f ⁻¹ ∘ f ′ , вычисленная в точке f ′ ( p ) . Набор касательных векторов к S в точке p естественным образом имеет структуру двумерного векторного пространства. Касательный вектор в этом смысле соответствует касательному вектору в предыдущем смысле при рассмотрении вектора

${\displaystyle X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.}$

в ℝ ³ . Условие якобиана на X ¹ и X ² по цепному правилу гарантирует , что этот вектор не зависит от f .

Для гладких функций на поверхности векторные поля (то есть касательные векторные поля) имеют важную интерпретацию как операторы или производные первого порядка. Пусть будет регулярная поверхность, открытое подмножество плоскости и координатная карта. Если , то пространство можно идентифицировать с помощью . Аналогичным образом идентифицирует векторные поля на включенных векторных полях . Взяв стандартные переменные u и v , векторное поле имеет вид с гладкими функциями a и b . Если - векторное поле и является гладкой функцией, то также является гладкой функцией. Дифференциальный оператор первого порядка - это${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\rightarrow S}$${\displaystyle V=f(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$${\displaystyle C^{\infty }(V)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X=a\partial _{u}+b\partial _{v}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Xg}$${\displaystyle X}$вывод , т. е. удовлетворяет правилу Лейбница ^[19]${\displaystyle X(gh)=(Xg)h+g(Xh).}$

Для векторных полей X и Y просто проверить, что оператор является производным, соответствующим векторному полю. Она называется скобкой Ли . Он кососимметричен и удовлетворяет тождеству Якоби:${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle [X,Y]}$${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.}$

Таким образом, векторные поля на или образуют алгебру Ли под скобкой Ли. ^[20]${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Первая и вторая основные формы, оператор формы и кривизна [ править ]

Пусть S регулярная поверхность в ℝ ³ . Принимая во внимание локальной параметризации п  : V → S и нормального векторного поле единичного п к е ( V ) , один определяет следующие объекты как вещественные или матрицы-функции на V . Первая фундаментальная форма зависит только от f , а не от n . В четвертом столбце записано, как эти функции зависят от f , связывая функции E ′, F ′, G ′, L ′,и т.д., возникающие при другом выборе локальной параметризации, f ′: V ′ → S , по сравнению с теми, которые возникают для f . Здесь A обозначает матрицу Якоби функции f ^–1 ∘ f ′ . Ключевое соотношение в установлении формул четвертого столбца тогда

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},}$

как следует по цепному правилу .

Терминология	Обозначение	Определение	Зависимость от локальной параметризации
Первая фундаментальная форма	E	${\displaystyle E={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial u}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}A^{T}}$
	F	${\displaystyle F={\frac {\partial f}{\partial u}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}}$
	грамм	${\displaystyle G={\frac {\partial f}{\partial v}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial v}}}$
Вторая фундаментальная форма	L	${\displaystyle L={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}\cdot n}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L'&M'\\M'&N'\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}A^{T}}$
	M	${\displaystyle M={\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}\cdot n}$
	N	${\displaystyle N={\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}\cdot n}$
Оператор формы [21]	п	${\displaystyle P={\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}}$	${\displaystyle P'=APA^{-1}}$
Гауссова кривизна	K	${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}}$	${\displaystyle K'=K}$
Средняя кривизна	ЧАС	${\displaystyle H={\frac {GL-2FM+EN}{EG-F^{2}}}}$	${\displaystyle H'=H}$
Основные искривления	${\displaystyle \kappa _{\pm }}$	${\displaystyle {\frac {H\pm {\sqrt {H^{2}-4K}}}{2}}}$	${\displaystyle \kappa _{\pm }'=\kappa _{\pm }}$

Путем прямого вычисления с матрицей, определяющей оператор формы, можно проверить, что гауссова кривизна является определителем оператора формы, средняя кривизна является следом оператора формы, а основные кривизны являются собственными значениями оператора формы. ; кроме того, гауссова кривизна - это произведение главных кривизн, а средняя кривизна - их сумма. Эти наблюдения также можно сформулировать как определения этих объектов. Эти наблюдения также показывают, что последние три строки четвертого столбца следуют сразу за предыдущей строкой, поскольку аналогичные матрицы имеют идентичные определитель, след и собственные значения. Важно отметить E , G, и EG - F ² обязательно положительны. Это гарантирует, что матрица, обратная в определении оператора формы, хорошо определена, и что главные кривизны являются действительными числами.

Также обратите внимание, что отрицание выбора единичного нормального векторного поля отрицает вторую фундаментальную форму, оператор формы, среднюю кривизну и основные кривизны, но оставит гауссову кривизну неизменной. Таким образом, это показало, что для регулярной поверхности S гауссова кривизна S может рассматриваться как действительная функция на S ; по отношению к выбору единичного нормального векторного поля на всех S , две главных кривизны и средняя кривизна также вещественные функции на S .

Геометрически, первый и второй основные формы можно рассматривать как предоставление информации о том , как F ( U , V ) движется вокруг в ℝ ³ как ( ¯u , v ) движется вокруг в V . В частности, первая основная форма кодирует, насколько быстро движется f , а вторая основная форма кодирует степень, в которой ее движение происходит в направлении вектора нормали n . Другими словами, вторая фундаментальная форма в точке p кодирует длину ортогональной проекции от S на касательную плоскость к S в точкеp ; в частности, он дает квадратичную функцию, которая наилучшим образом приближает эту длину. Это мышление можно уточнить с помощью формул

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}}$

как следует непосредственно из определений фундаментальных форм и теоремы Тейлора в двух измерениях. Основные кривизны можно увидеть следующим образом. В данной точке р из S , рассмотрим совокупность всех плоскостей, содержащих ортогональную линию S . Каждая такая плоскость имеет кривую пересечения с S , которую можно рассматривать как плоскую кривую внутри самой плоскости. Две главные кривизны в точке p - это максимальное и минимальное возможные значения кривизны этой плоской кривой в точке p , поскольку рассматриваемая плоскость вращается вокруг нормали.

Ниже приводится сводка расчетов вышеуказанных величин относительно участка Монжа f ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v )) . Здесь h _u и h _v обозначают две частные производные от h с аналогичными обозначениями для вторых частных производных. Вторая фундаментальная форма и все последующие величины вычисляются относительно данного выбора единичного нормального векторного поля.

Количество	Формула
Единичное нормальное векторное поле	${\displaystyle n={\frac {(-h_{u},-h_{v},1)}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}}$
Первая фундаментальная форма	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+h_{u}^{2}&h_{u}h_{v}\\h_{u}h_{v}&1+h_{v}^{2}\end{pmatrix}}}$
Вторая фундаментальная форма	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2}}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}&h_{uv}\\h_{uv}&h_{vv}\end{pmatrix}}}$
Оператор формы	${\displaystyle P={\frac {1}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}{\begin{pmatrix}h_{uu}(1+h_{v}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}&h_{uv}(1+h_{u}^{2})-h_{uu}h_{u}h_{v}\\h_{uv}(1+h_{v}^{2})-h_{vv}h_{u}h_{v}&h_{vv}(1+h_{u}^{2})-h_{uv}h_{u}h_{v}\end{pmatrix}}}$
Гауссова кривизна	${\displaystyle K={\frac {h_{uu}h_{vv}-h_{uv}^{2}}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{2}}}}$
Средняя кривизна	${\displaystyle H={\frac {(1+h_{v}^{2})h_{uu}-2h_{u}h_{v}h_{uv}+(1+h_{u}^{2})h_{vv}}{(1+h_{u}^{2}+h_{v}^{2})^{3/2}}}}$

Символы Кристоффеля, уравнения Гаусса – Кодацци и теорема Egregium [ править ]

Пусть S регулярная поверхность в ℝ ³ . Кристоффель символы правопреемник, к каждой локальной параметризации F  : V → S , восемь функций на V , определяется ^[22]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.}$

Их также можно определить с помощью следующих формул, в которых n - единичное нормальное векторное поле вдоль f ( V ), а L , M , N - соответствующие компоненты второй фундаментальной формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}}$

Ключ к этому определению заключается в том, что ∂ f/∂ u, ∂ f/∂ v, и n образуют основу ℝ ³ в каждой точке, относительно которой каждое из трех уравнений однозначно определяет символы Кристоффеля как координаты вторых частных производных f . Выбор единичной нормали не влияет на символы Кристоффеля, поскольку если n заменяется на его отрицание, то компоненты второй фундаментальной формы также инвертируются, и поэтому знаки Ln , Mn , Nn остаются неизменными.

Второе определение показывает, в контексте локальной параметризации, что символы Кристоффеля геометрически естественны. Хотя формулы в первом определении кажутся менее естественными, они важны для демонстрации того, что символы Кристоффеля могут быть вычислены из первой фундаментальной формы, что не сразу видно из второго определения. Эквивалентность определений можно проверить, непосредственно заменяя первое определение в секунду, и используя определения Е , F , G .

Уравнения Кодацци утверждают, что ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}}$

Эти уравнения могут быть непосредственно выведены из второго определения символов Кристоффеля, приведенного выше; например, первое уравнение Кодацци получается дифференцированием первого уравнения по v , второго уравнения по u , вычитания двух и взятия скалярного произведения с n . Уравнение Гаусса утверждает, что ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Их можно вывести аналогично уравнениям Кодацци, причем в одном из них используются уравнения Вейнгартена вместо скалярного произведения с n . Хотя они записаны как три отдельных уравнения, они идентичны, если подставить определения символов Кристоффеля в терминах первой фундаментальной формы. Есть много способов записать получившееся выражение, один из которых был получен в 1852 году Бриоши с умелым использованием детерминант: ^{[25] [26]}

${\displaystyle K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.}$

Когда символы Кристоффеля рассматриваются как определяемые первой фундаментальной формой, уравнения Гаусса и Кодацци представляют определенные ограничения между первой и второй фундаментальными формами. Уравнение Гаусса заслуживает особого внимания, поскольку оно показывает, что кривизна Гаусса может быть вычислена непосредственно из первой фундаментальной формы без необходимости в какой-либо другой информации; эквивалентно, это говорит о том, что LN - M ^{2 на} самом деле может быть записано как функция от E , F , G , даже если отдельные компоненты L , M , N не могут. Это известно как теорема эгрегиум., и было крупным открытием Карла Фридриха Гаусса . Это особенно поразительно, если вспомнить геометрическое определение гауссовой кривизны S как определяемого максимальным и минимальным радиусами соприкасающихся окружностей; они , похоже, в основном определяется геометрией , как S изгибы в пределах ℝ ³ . Тем не менее, теорема показывает, что их произведение может быть определено из «внутренней» геометрии S , имея дело только с длинами кривых вдоль S и углами, образованными на их пересечении. Как сказал Марсель Бергер : ^[27]

Эта теорема сбивает с толку. [...] Это такая теорема, которая могла бы подождать еще несколько десятков лет, прежде чем ее обнаружит другой математик, поскольку, в отличие от значительной части интеллектуальной истории, она абсолютно не витала в воздухе. [...] Насколько нам известно, сегодня не существует простого геометрического доказательства теоремы эгрегиум.

Уравнения Гаусса-Кодацци также могут быть кратко выражены и выведены на языке форм связи благодаря Эли Картану . ^[28] На языке тензорного исчисления , используя естественные метрики и связи на тензорных расслоениях , уравнение Гаусса может быть записано как H ² - | h | ² = R и два уравнения Кодацци можно записать в виде ∇ ₁ ч ₁₂ = ∇ ₂ ч ₁₁ и ∇ ₁ ч ₂₂ = ∇ ₂ ч₁₂ ; эти сложные выражениячтобы сделать с символами Кристоффеля и первой фундаментальной формой полностью поглощаются в определения ковариантного тензор производной ∇ ч и скалярной кривизна R . Пьер Бонне доказал, что две квадратичные формы, удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Кодацци, всегда однозначно определяют вложенную поверхность локально. ^[29] По этой причине уравнения Гаусса-Кодацци часто называют фундаментальными уравнениями для вложенных поверхностей, точно определяя, откуда берутся внутренняя и внешняя кривизна. Они допускают обобщения на поверхности, вложенные в более общие римановы многообразия .

Изометрии [ править ]

Диффеоморфизм между открытыми множествами и на регулярной поверхности называется изометрией, если он сохраняет метрику, т.е. первую фундаментальную форму. ^{[30] [31] [32]} Таким образом, для каждой точки в и касательных векторов в , существуют равенства${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle w_{1},\,\,w_{2}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).}$

С точки зрения внутреннего продукта, происходящего из первой фундаментальной формы, это можно переписать как

${\displaystyle (w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}}$.

С другой стороны, длину параметризованной кривой можно рассчитать как${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt}$

и, если кривая лежит в , правила замены переменных показывают, что${\displaystyle U}$

${\displaystyle L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).}$

И наоборот, если сохраняет длины всех параметризованных кривых, то это изометрия. Действительно, при подходящем выборе касательные векторы и задают произвольные касательные векторы и . Равенства должны выполняться для все выбора касательных векторов и , а также и , так что . ^[33]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\dot {x}}}$${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{1})}$${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{2})}$${\displaystyle (\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}}$

Простой пример изометрии дается двумя параметризациями и открытым множеством в регулярные поверхности и . Если , и , то это изометрия на .^[34]${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$${\displaystyle \varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}}$${\displaystyle f_{1}(U)}$${\displaystyle f_{2}(U)}$

Цилиндр и плоскость являются примерами поверхностей, которые являются локально изометрическими, но которые не могут быть расширены до изометрии по топологическим причинам. ^[35] В качестве другого примера катеноид и геликоид локально изометричны. ^[36]

Ковариантные производные [ править ]

Тангенциальное векторное поле Х на S правопреемников, к каждому р в S , касательного вектора X _р к S в р . Согласно «внутреннему» определению касательных векторов, данному выше, касательное векторное поле X затем назначает каждой локальной параметризации f  : V → S две вещественнозначные функции X ¹ и X ² на V , так что

${\displaystyle X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}}$

для каждого р в S . Говорят, что X гладко, если функции X ¹ и X ² гладкие при любом выборе f . ^[37] Согласно другим определениям касательных векторов, данным выше, можно также рассматривать касательное векторное поле X на S как отображение X  : S → ℝ ³ такое, что X ( p ) содержится в касательном пространстве T _p S ⊂ ℝ ³ для каждого p в S. Как обычно в более общей ситуации гладких многообразий , касательные векторные поля также могут быть определены как некоторые дифференциальные операторы на пространстве гладких функций на S .

В ковариантные производные (также называемые «тангенциальные производные») из Леви-Чивита и Риччи-Курбастро обеспечивают средства дифференциации гладких касательных векторных полей. Учитывая касательное векторное поле X и касательный вектор Y к S в точке p , ковариантная производная ∇ _Y X является некоторым касательным вектором к S в точке p . Следовательно, если X и Y оба являются касательными векторными полями, то ∇ _Y X также можно рассматривать как касательное векторное поле; итеративно, еслиX , Y и Z - тангенциальные векторные поля, одно может вычислить ∇ _Z ∇ _Y X , которое будет другим касательным векторным полем. Есть несколько способов определить ковариантную производную; в первом ниже используются символы Кристоффеля и «внутреннее» определение касательных векторов, а во втором - более явно геометрическая форма.

Учитывая касательное векторное поле X и касательный вектор Y к S в точке p , можно определить ∇ _Y X как касательный вектор к p, который присваивает локальной параметризации f  : V → S два числа

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)}$

где D _{( Y ¹ , Y ² )} - производная по направлению . ^[38] Это часто сокращается в менее громоздкой форме (∇ _Y X ) ^k = ∂ _Y ( X ^k ) + Y ⁱ Γ ^k
_ijX ^j , используя нотацию Эйнштейна и неявно понимая места вычисления функций. Это следует стандартному рецепту в римановой геометрии для получения соединения из римановой метрики . Это фундаментальный факт, что вектор

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}}$

в ℝ ³ не зависит от выбора локального parametization е , хотя это довольно утомительно , чтобы проверить.

Также можно определить ковариантную производную с помощью следующего геометрического подхода, который не использует символы Кристоффеля или локальные параметризации. ^{[39] [40] [41]} Пусть X - векторное поле на S , рассматриваемое как функция S → ℝ ³ . Для любой кривой c  : ( a , b ) → S можно рассмотреть композицию X ∘ c  : ( a , b ) → ℝ ³ . Как карта между евклидовыми пространствами, его можно дифференцировать при любом входном значении, чтобы получить элемент ( X ∘с ) '( т ) из ℝ ³ . Ортогональная проекция этого вектора на Т _{с ( т )} S определяет ковариантную производную ∇ _{C '( т )} X . Хотя это очень геометрически чистое определение, необходимо показать, что результат зависит только от c ′ ( t ) и X , а не от c и X ; Для этого небольшого технического аргумента можно использовать локальные параметризации.

Из второго определения не сразу видно, что ковариантное дифференцирование зависит только от первой фундаментальной формы S ; однако это непосредственно следует из первого определения, поскольку символы Кристоффеля могут быть определены непосредственно из первой фундаментальной формы. Несложно проверить эквивалентность этих двух определений. Ключ в том, что когда мы рассматриваем X ¹∂ f/∂ u+ X ²∂ f/∂ vкак ℝ ³ -значная функция, ее дифференцирование по кривой приводит к вторым частным производным ∂ ² f ; символы Кристоффеля входят с ортогональной проекцией в касательное пространство из-за формулировки символов Кристоффеля как тангенциальных компонентов вторых производных f относительно базиса∂ f/∂ u, ∂ f/∂ v, п . ^[38] Это обсуждается в предыдущем разделе.

Правая часть трех уравнений Гаусса может быть выражена с помощью ковариантного дифференцирования. Например, правая часть

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}}$

можно распознать как вторую координату

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}}$

относительно основы ∂ f/∂ u, ∂ f/∂ v, в чем можно непосредственно убедиться, используя определение ковариантного дифференцирования по символам Кристоффеля. На языке римановой геометрии это наблюдение можно также сформулировать как утверждение, что правые части уравнений Гаусса являются различными компонентами кривизны Риччи связи Леви-Чивиты первой фундаментальной формы при интерпретации как римановой метрики. .

Примеры [ править ]

Поверхности революции [ править ]

Поверхность вращения получается вращением кривой в плоскости xz вокруг оси z . К таким поверхностям относятся сферы, цилиндры, конусы, торы и катеноид . Обычные эллипсоиды , гиперболоиды и параболоиды - нет. Предположим, что кривая параметризована

${\displaystyle x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)}$

с s, взятым из интервала ( a , b ) . Если c ₁ никогда не равно нулю, если c ₁ ' и c ₂ ' оба никогда не равны нулю, и если оба c ₁ и c ₂ гладкие, то соответствующая поверхность вращения

${\displaystyle S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(t){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}}$

будет регулярная поверхность в ℝ ³ . Локальная параметризация f  : ( a , b ) × (0, 2π) → S задается формулой

${\displaystyle f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.}$

Относительно этой параметризации геометрические данные: ^[42]

Количество	Формула
Единичное нормальное векторное поле	${\displaystyle n={\frac {{\big (}-c_{2}'(s)\cos t,-c_{2}'(s)\sin t,c_{1}'(s){\big )}}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}$
Первая фундаментальная форма	${\displaystyle {\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}&0\\0&c_{1}(s)^{2}\end{pmatrix}}}$
Вторая фундаментальная форма	${\displaystyle {\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}&0\\0&{\frac {c_{1}(s)c_{2}'(s)}{\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}\end{pmatrix}}}$
Основные искривления	${\displaystyle {\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}}$
Гауссова кривизна	${\displaystyle K={\frac {c_{2}'(s){\big (}c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s){\big )}}{c_{1}(s){\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{2}}}}$
Средняя кривизна	${\displaystyle H={\frac {c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)}{{\big (}c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}{\big )}^{3/2}}}+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s){\sqrt {c_{1}'(s)^{2}+c_{2}'(s)^{2}}}}}.}$

В частном случае, когда исходная кривая параметризована длиной дуги, то есть ( c ₁ ′ ( s )) ² + ( c ₁ ′ ( s )) ² = 1 , можно дифференцировать, чтобы найти c ₁ ′ ( s ) c ₁ ′ ′ ( S ) + c ₂ ′ ( s ) c ₂ ′ ′ ( s ) = 0 . При подстановке в гауссову кривизну получаем упрощенный

${\displaystyle K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.}$

Простота этой формулы позволяет особенно легко изучить класс вращательно-симметричных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной. ^[43] Сведением к альтернативному случаю, когда c ₂ (s) = s , можно изучать вращательно-симметричные минимальные поверхности, в результате чего любая такая поверхность является частью плоскости или масштабированного катеноида. ^[44]

Каждую кривую постоянного t на S можно параметризовать как геодезическую; кривая постоянной s на S может быть параметризована как геодезическая тогда и только тогда, когда c ₁ ′ (s) равно нулю. Как правило, геодезические на S регулируются соотношением Клеро .

Квадрические поверхности [ править ]

Рассмотрим квадратичную поверхность, определенную формулой ^[45]

${\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}$

Эта поверхность допускает параметризацию

${\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}$

Гауссова кривизна и средняя кривизна задаются формулами

${\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}$

Линейчатые поверхности [ править ]

Линейчатая поверхность - это поверхность, которая может быть создана движением прямой линии в E ³ . ^[46] Выбор направляющей на поверхности, то есть гладкой кривой единичной скорости c ( t ), ортогональной прямым линиям, а затем выбор u ( t ) в качестве единичных векторов вдоль кривой в направлении линий, вектор скорости v = c _t и u удовлетворяют

${\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}$

Поверхность состоит из точек

${\displaystyle c(t)+s\cdot u(t)}$

поскольку s и t меняются.

Тогда, если

${\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},}$

гауссова и средняя кривизны даются как

${\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.}$

Гауссова кривизна линейчатой ​​поверхности равна нулю тогда и только тогда, когда u _t и v пропорциональны ^[47]. Это условие эквивалентно тому, что поверхность является огибающей плоскостей вдоль кривой, содержащей касательный вектор v и ортогональный вектор u , т.е. к поверхности, развивающейся по кривой. ^{[48] ​​В} более общем случае поверхность в E ³ имеет исчезающую гауссову кривизну вблизи точки тогда и только тогда, когда она может разворачиваться около этой точки. ^[49] (Эквивалентное условие дается ниже в терминах метрики.)

Минимальные поверхности [ править ]

В 1760 году Лагранж расширил результаты Эйлера по вариационному исчислению, включающему интегралы от одной переменной, до двух переменных. ^[50] Он имел в виду следующую проблему:

Для данной замкнутой кривой в E ³ найдите поверхность с кривой в качестве границы с минимальной площадью.

Такая поверхность называется минимальной .

В 1776 году Жан Батист Мюзнье показал, что дифференциальное уравнение, полученное Лагранжем, эквивалентно обращению в нуль средней кривизны поверхности:

Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю.

Минимальные поверхности имеют простую интерпретацию в реальной жизни: они представляют собой форму, которую примет мыльная пленка, если проволочный каркас в форме кривой окунуть в мыльный раствор, а затем осторожно вынуть. Вопрос о том, существует ли минимальная поверхность с заданной границей, называется проблемой Плато в честь бельгийского физика Джозефа Плато, который проводил эксперименты с мыльными пленками в середине девятнадцатого века. В 1930 году Джесси Дуглас и Тибор Радо дали утвердительный ответ на проблему Плато (Дуглас был награжден одной из первых медалей Филдса за эту работу в 1936 году). ^[51]

Многие явные примеры минимальной поверхности известны в явном виде, например , как катеноид , в геликоиде , на Шерка поверхность и поверхность Эннепер . В этой области были проведены обширные исследования, обобщенные в Osserman (2002) . В частности, результат Оссермана показывает, что если минимальная поверхность неплоская, то ее образ при отображении Гаусса плотен в S ² .

Поверхности постоянной гауссовой кривизны [ править ]

Если поверхность имеет постоянную гауссову кривизну, она называется поверхностью постоянной кривизны . ^[52]

• Единичная сфера в E ³ имеет постоянную гауссову кривизну +1.
• Евклидова плоскость и цилиндр имеют постоянную гауссову кривизну 0.
• Поверхности вращения с φ _tt = φ имеют постоянную гауссову кривизну –1. Частные случаи получаются, если взять φ ( t ) = C ch t , C sh t и C e ^t . ^[53] Последний случай представляет собой классическую псевдосферу, генерируемую вращением трактрисы вокруг центральной оси. В 1868 году Эухенио Бельтрами показал, что геометрия псевдосферы напрямую связана с геометрией гиперболической плоскости , независимо открытой Лобачевским.(1830 г.) и Бойяи (1832 г.). Уже в 1840 г. ученик Гаусса Ф. Миндинг получил тригонометрические формулы для псевдосферы, идентичные формулам для гиперболической плоскости. ^[54] Внутренняя геометрия этой поверхности теперь лучше понимается в терминах метрики Пуанкаре на верхней полуплоскости или единичном круге и описывается другими моделями, такими как модель Клейна или модель гиперболоида , полученная с учетом двулистный гиперболоид q ( x , y , z ) = −1 в трехмерном пространстве Минковского , гдед ( х , у , г ) знак равно х ² + у ² - г ² . ^[55]

Каждая из этих поверхностей постоянной кривизны имеет транзитивную группу симметрий Ли . Этот теоретико-групповой факт имеет далеко идущие последствия, особенно из-за центральной роли, которую эти специальные поверхности играют в геометрии поверхностей, в силу теоремы Пуанкаре об униформизации (см. Ниже).

Другие примеры поверхностей с гауссовой кривизной 0 включают конусы , касательные развертки и вообще любую развертывающуюся поверхность.

Локальная метрическая структура [ править ]

Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство размерности 3 или выше, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура бесконечно малой степени кодируется в римановой метрике на поверхности посредством линейных элементов и элементов площади . Классически в девятнадцатом и начале двадцатого веков рассматривались только поверхности, вложенные в R ^3, а метрика была задана как положительно определенная матрица 2 × 2, плавно меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Идея локальной параметризации и изменения координаты была позже формализована через современное абстрактное понятиемногообразие , топологическое пространство, в котором гладкая структура задается локальными картами на многообразии, точно так же, как планета Земля отображается сегодня в атласах . Изменения координат между разными картами одного и того же региона должны быть плавными. Подобно тому, как контурные линии на реальных картах кодируют изменения высоты с учетом локальных искажений поверхности Земли для расчета истинных расстояний, так и риманова метрика описывает расстояния и площади «в малом» на каждой локальной карте. В каждой локальной карте риманова метрика задается гладким сопоставлением положительно определенной матрицы 2 × 2 каждой точке; когда берется другая карта, матрица преобразуется в соответствии с матрицей Якобиизменения координаты. Тогда многообразие имеет структуру 2-мерного риманова многообразия .

Оператор формы [ править ]

Дифференциала дп из Гаусс отображения п может быть использована для определения типа внешней кривизны, известный как оператор формы ^[56] или Weingarten карта. Этот оператор впервые косвенно появился в работе Вильгельма Блашке, а затем явно в трактате Бурали-Форти и Бургати. ^[57] Поскольку в каждой точке x поверхности касательное пространство является внутренним пространством продукта , оператор формы S _x может быть определен как линейный оператор в этом пространстве по формуле

${\displaystyle (S_{x}v,w)=(dn(v),w)}$

для касательных векторов v , w (внутреннее произведение имеет смысл, потому что dn ( v ) и w оба лежат в E ³ ). ^[a] Правая часть симметрична по v и w , поэтому оператор формы самосопряжен на касательном пространстве. Собственные значения S _x - это просто главные кривизны k ₁ и k ₂ в точке x . В частности, определительоператора формы в точке - это гауссова кривизна, но она также содержит другую информацию, поскольку средняя кривизна составляет половину следа оператора формы. Средняя кривизна - внешний инвариант. Во внутренней геометрии цилиндр является разворачивающимся, что означает, что каждый его элемент неотличим от части плоскости, поскольку его кривизна Гаусса одинаково равна нулю. Однако его средняя кривизна не равна нулю; следовательно, внешне он отличается от самолета.

Эквивалентно, оператор форма может быть определена как линейный оператор на касательных пространствах, S _р :  Т _р М → Т _р М . Если n - единичное нормальное поле к M, а v - касательный вектор, то

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(нет стандартного соглашения, использовать ли + или - в определении).

В общем, собственные векторы и собственные значения оператора формы в каждой точке определяют направления, в которых поверхность изгибается в каждой точке. Собственные значения соответствуют главным кривизнам поверхности, а собственные векторы - соответствующим главным направлениям. Основные направления определяют направления, по которым кривизна, встроенная в поверхность, должна двигаться, чтобы иметь максимальную и минимальную кривизну, которые задаются главными кривизнами.

Геодезические кривые на поверхности [ править ]

Кривые на поверхности, которые минимизируют длину между конечными точками, называются геодезическими ; это форма, которую примет резинка, натянутая между двумя точками. Математически они описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений и вариационного исчисления . Дифференциальная геометрия поверхностей вращается вокруг изучения геодезических. До сих пор остается открытым вопрос, возникает ли каждая риманова метрика на 2-мерной локальной карте из вложения в 3-мерное евклидово пространство: теория геодезических использовалась, чтобы показать, что это верно в важном случае, когда компоненты метрики являются аналитическими .

Геодезические [ править ]

Для кусочно гладкого пути c ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) в карте для t в [ a , b ] его длина определяется равенством

${\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt}$

и энергии по

${\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.}$

Длина не зависит от параметризации пути. Согласно уравнениям Эйлера – Лагранжа , если c ( t ) - это путь, минимизирующий длину, параметризованный длиной дуги , он должен удовлетворять уравнениям Эйлера

${\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0}$

где символы Кристоффеля Γ^k
_ij даны

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\sum _{m}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}$

где g ₁₁ = E , g ₁₂ = F , g ₂₂ = G и g ^ij - матрица, обратная к g _ij . Путь, удовлетворяющий уравнениям Эйлера, называется геодезической . Согласно неравенству Коши – Шварца путь, минимизирующий энергию, - это просто геодезическая, параметризованная длиной дуги; и для любой геодезической параметр t пропорционален длине дуги. ^[58]

Геодезическая кривизна [ править ]

Геодезическая кривизна к _г в точке кривой с ( т ) , параметрирован длиной дуги, на ориентированной поверхности определяется как ^[59]

${\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).}$

где n ( t ) - «главная» единичная нормаль к кривой на поверхности, построенная путем поворота единичного касательного вектора ċ ( t ) на угол + 90 °.

• Геодезическая кривизна в точке - это внутренний инвариант, зависящий только от метрики вблизи точки.
• Кривая единичной скорости на поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее геодезическая кривизна равна нулю во всех точках кривой.
• Кривая единичной скорости c ( t ) во вложенной поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее вектор ускорения c̈ ( t ) нормален к поверхности.

Геодезическая кривизна точно определяет, насколько кривая на поверхности отличается от геодезической.

Ортогональные координаты [ править ]

Когда F = 0 на всей координатной карте, например, с геодезическими полярными координатами, обсуждаемыми ниже, изображения линий, параллельных осям x и y , ортогональны и обеспечивают ортогональные координаты . Если Н = ( ЭГ ) ^{1 / ₂} , то кривизна гауссова задается ^[60]

${\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].}$

Если при этом Е = 1 , так что Н = G ^{1 / ₂} , то угол φ в точке пересечения между геодезических ( х ( т ), у ( т )) и линии у = константа задается уравнением

${\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}$

Производная φ определяется классической формулой Гаусса для производных: ^[61]

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.}$

Геодезические полярные координаты [ править ]

Если на поверхности задана метрика и зафиксирована базовая точка, появляется уникальная геодезическая, соединяющая базовую точку с каждой достаточно близкой точкой. Направление геодезической в ​​базовой точке и расстояние однозначно определяют другую конечную точку. Эти два бита данных, направление и величина, таким образом, определяют касательный вектор в базовой точке. Карта от касательных векторов к конечным точкам плавно сметает окрестности базовой точки и определяет то, что называется «экспоненциальной картой», определяя локальную карту координат в этой базовой точке. Выметанная окрестность имеет те же свойства, что и шары в евклидовом пространстве, а именно любые две точки в ней соединены единственной геодезической. Это свойство называется «геодезической выпуклостью», а координаты - «нормальными координатами».Явное вычисление нормальных координат может быть выполнено путем рассмотрения дифференциального уравнения, которому удовлетворяют геодезические. Свойства выпуклости являются следствиемЛемма Гаусса и ее обобщения. Грубо говоря, эта лемма утверждает, что геодезические, начинающиеся в базовой точке, должны разрезать сферы фиксированного радиуса с центром в базовой точке под прямым углом. Геодезические полярные координаты получаются путем объединения экспоненциальной карты с полярными координатами касательных векторов в базовой точке. Тогда гауссова кривизна поверхности определяется отклонением метрики в точке второго порядка от евклидовой метрики. В частности, гауссова кривизна является инвариантом метрики, знаменитой теоремы Гаусса Egregium. Удобный способ понять кривизну - это обычное дифференциальное уравнение, сначала рассмотренное Гауссом, а затем обобщенное Якоби, возникающее в результате изменения нормальных координат в двух разных точках. Уравнение Гаусса – Якоби предоставляет другой способ вычисления гауссовой кривизны. Геометрически он объясняет, что происходит с геодезическими от фиксированной базовой точки, когда конечная точка изменяется вдоль небольшого сегмента кривой через данные, записанные в поле Якоби , векторное поле вдоль геодезической. ^[62] Через полтора века после Гаусса и Якоби Марстон Морс дал более концептуальную интерпретацию поля Якоби в терминах вторых производных функции энергии на бесконечномерномГильбертово многообразие путей. ^[63]

Экспоненциальная карта [ править ]

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений показывает, что если f ( t , v ) гладкая, то дифференциальное уравнениеdv/dt= f ( t , v ) с начальным условием v (0) = v ₀ имеет единственное решение для | т | достаточно мало и решение гладко зависит от t и v ₀ . Отсюда следует, что для достаточно малых касательных векторов v в данной точке p = ( x ₀ , y ₀ ) существует геодезическая c _v ( t ), определенная на (−2,2) с c _v (0) = ( x ₀, y ₀ ) и ċ _v (0) = v . Более того, если | s | ≤ 1 , то c _sv = c _v ( st ) . Экспоненциальное отображение определяется

ехр _p ( v ) = c _v (1)

и задает диффеоморфизм между диском ‖ v ‖ < δ и окрестностью точки p ; в более общем смысле отображение, отправляющее ( p , v ) в exp _p ( v ), дает локальный диффеоморфизм на окрестность ( p , p ) . Экспоненциальное отображение дает геодезические нормальные координаты около p . ^[64]

Вычисление нормальных координат [ править ]

Существует стандартный метод (см., Например, Berger (2004) ) для вычисления замены переменных к нормальным координатам u , v в точке в виде формального разложения в ряд Тейлора. Если координаты x , y в точке (0,0) локально ортогональны, напишите

x ( u , v ) = αu + L ( u , v ) + λ ( u , v ) +…

y ( u , v ) = βv + M ( u , v ) + μ ( u , v ) +…

где L , М являются квадратичными и Л , μ кубических однородные многочлены в U и V . Если u и v фиксированы, x ( t ) = x ( tu , tv ) и y ( t ) = y ( tu , tv ) можно рассматривать как решения формального степенного ряда уравнений Эйлера: это однозначно определяет α , β ,L , M , λ и μ .

Лемма Гаусса [ править ]

В этих координатах матрица g ( x ) удовлетворяет условию g (0) = I, а прямые t ↦ tv являются геодезическими через 0. Из уравнений Эйлера следует матричное уравнение

g ( v ) v = v ,

ключевой результат, обычно называемый леммой Гаусса . Геометрически это утверждает, что

геодезические, проходящие через 0, перпендикулярно разрезают окружности с центром в 0 .

Взяв полярные координаты ( r , θ ) , следует, что метрика имеет вид

DS ² = DR ² + G ( г , θ ) dθ ² .

В геодезических координатах легко проверить, что геодезические до нуля минимизируют длину. Тогда топология на римановом многообразии задается функцией расстояния d ( p , q ) , а именно точной гранью длин кусочно гладких путей между p и q . Это расстояние реализуется локально геодезическими, так что в нормальных координатах d (0, v ) = ‖ v ‖ . Если радиус δ выбран достаточно малым, небольшое уточнение леммы Гаусса показывает, что изображение U диска ‖ v ‖ < δпод экспоненциальное отображение является геодезически выпуклым , т.е. любые две точки U соединены единственной геодезической , целиком лежащей внутри U . ^{[65] [66]}

Теорема Egregium [ править ]

Гаусс Theorema Egregium , то «Замечательная теорема», показывает , что гауссова кривизну поверхности можно вычислить только в терминах метрики и, таким образом , внутренняя инвариант поверхности, независимо от любого изометрического вложения в Й ³ и неизменных при преобразовании координат . В частности, изометрии поверхностей сохраняют гауссову кривизну. ^[67]

Эта теорема может быть выражена в терминах разложения метрики ds в степенной ряд , заданной в нормальных координатах ( u , v ) как

DS ² = ди ² + DV ² - К ( у Dv - против его ) ² /12 + ... .

Уравнение Гаусса – Якоби [ править ]

Принимая координат изменение от нормальных координат при р к нормальным координатам в соседней точке д , получаем уравнение Штурма-Лиувилля удовлетворяет Н ( г , & thetas ; ) = G ( г , & thetas ; ) ^{1 / ₂} , обнаруженный Гаусс и позже обобщена по Якоби ,