Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике программа Erlangen - это метод описания геометрии, основанный на теории групп и проективной геометрии . Он был опубликован Феликсом Кляйном в 1872 году как Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Он назван в честь университета Эрланген-Нюрнберг , где работал Кляйн.

К 1872 году появились неевклидовы геометрии , но без возможности определить их иерархию и отношения. Метод Кляйна был принципиально новаторским по трем направлениям:

  • Проективная геометрия подчеркивалась как объединяющая рамка для всех других рассматриваемых им геометрий. В частности, евклидова геометрия была более строгой, чем аффинная геометрия , которая, в свою очередь, более строгая, чем проективная геометрия.
  • Кляйн предположил, что теория групп , раздел математики, использующий алгебраические методы для абстрагирования идеи симметрии , является наиболее полезным способом организации геометрических знаний; в то время он уже был введен в теорию уравнений в форме теории Галуа .

Позже Эли Картан обобщил однородные модельные пространства Клейна на связности Картана на некоторых главных расслоениях , которые обобщили риманову геометрию .

Проблемы геометрии XIX века [ править ]

Со времен Евклида геометрия означала геометрию евклидова пространства двух измерений ( плоская геометрия ) или трех измерений ( твердотельная геометрия ). В первой половине девятнадцатого века произошло несколько событий, усложняющих картину. Математические приложения требовали геометрии четырех или более измерений ; Тщательное изучение основ традиционной евклидовой геометрии выявило независимость параллельного постулата от других, и родилась неевклидова геометрия . Кляйн предложил идею, что все эти новые геометрии являются лишь частными случаями проективной геометрии , как это уже было развитоПонселе , Мебиус , Кэли и другие. Кляйн также настоятельно рекомендовал физикам- математикам, что даже умеренное развитие проективного воззрения может принести им существенную пользу.

С каждой геометрией Клейн ассоциировал базовую группу симметрий . Таким образом, иерархия геометрий математически представлена ​​как иерархия этих групп и иерархия их инвариантов . Например, длины, углы и площади сохраняются относительно евклидовой группы симметрий, в то время как только структура инцидентности и поперечное отношение сохраняются при наиболее общих проективных преобразованиях . Концепция параллелизма , сохраняющаяся в аффинной геометрии , не имеет смысла в проективной геометрии . Затем, абстрагируя лежащие в основегруппы симметрий из геометрий, отношения между ними могут быть восстановлены на уровне группы. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой группы проективной геометрии, любое понятие, инвариантное в проективной геометрии, имеет априорный смысл в аффинной геометрии; но не наоборот. Если вы удалите необходимые симметрии, у вас будет более мощная теория, но меньше понятий и теорем (которые будут более глубокими и общими).

Однородные пространства [ править ]

Другими словами, «традиционные пространства» - это однородные пространства ; но не для однозначно определенной группы. При изменении группы изменяется соответствующий геометрический язык.

На современном языке все группы, относящиеся к классической геометрии, очень хорошо известны как группы Ли : классические группы . Конкретные отношения описываются довольно просто, используя технический язык.

Примеры [ править ]

Например, группа проективной геометрии в n действительных измерениях - это группа симметрии n- мерного действительного проективного пространства ( общая линейная группа степени n + 1 , дискретизированная по скалярным матрицам ). Аффинная группа будет подгруппа соблюдения (отображение на себе, не фиксируя точечно) выбранная гиперплоскость на бесконечности . Эта подгруппа имеет известную структуру ( полупрямое произведение от общей линейной группы степени п с подгруппой сдвигов). Затем это описание сообщает нам, какие свойства являются «аффинными». С точки зрения геометрии евклидовой плоскости, параллелограмм является аффинным, поскольку аффинные преобразования всегда переводят один параллелограмм в другой. Круг не аффинен, поскольку аффинный сдвиг превратит круг в эллипс.

Чтобы точно объяснить взаимосвязь между аффинной и евклидовой геометрией, нам теперь нужно определить группу евклидовой геометрии внутри аффинной группы. Евклидово группы фактически ( с использованием предыдущего описания аффинной группы) пол-прямое произведения ортогональных (вращений и отражения группы) с переводами. (Подробнее см. Геометрию Клейна .)

Влияние на более позднюю работу [ править ]

Долгосрочные эффекты программы Erlangen можно увидеть во всей чистой математике (см. , Например, неявное использование при конгруэнтности (геометрия) ); а идея преобразований и синтеза с использованием групп симметрии стала стандартной в физике .

Когда топология обычно описывается в терминах свойств, инвариантных относительно гомеоморфизма , можно увидеть основную идею в действии. Вовлеченные группы будут бесконечномерными почти во всех случаях - и не группы Ли - но философия та же. Конечно, это в основном говорит о педагогическом влиянии Кляйна. В таких книгах, как книги HSM Coxeter, обычно использовался программный подход Эрлангена, чтобы помочь «разместить» геометрии. С педагогической точки зрения программа превратилась в геометрию трансформации , смешанное благо в том смысле, что она основана на более сильной интуиции, чем стиль Евклида , но ее труднее преобразовать в логическую систему..

В своей книге « Структурализм» (1970) Жан Пиаже говорит: «В глазах современных математиков-структуралистов, таких как Бурбаки , программа Эрлангена представляет собой лишь частичную победу структурализма, поскольку они хотят подчинить этой идее всю математику, а не только геометрию. из структуры «.

Для геометрии и ее группы элемент группы иногда называют движением геометрии. Например, можно узнать о полуплоскости модели Пуанкаре в гиперболической геометрии через развитие на основе гиперболических движений . Такое развитие событий позволяет методически доказывать теорему ультрапараллельности последовательными движениями.

Резюме возвратов из программы Erlangen [ править ]

Довольно часто оказывается, что существует две или более различных геометрий с изоморфными группами автоморфизмов . Возникает вопрос о чтении программы на Эрлангене от абстрактной группы к геометрии.

Один пример: ориентированная (т.е. без отражений ) эллиптическая геометрия (т.е. поверхность n- сферы с идентифицированными противоположными точками) и ориентированная сферическая геометрия (та же неевклидова геометрия , но с неидентифицированными противоположными точками) имеют изоморфный автоморфизм группа , SO ( n +1) для четного n . Они могут казаться разными. Однако оказывается, что геометрии очень тесно связаны между собой, и это можно уточнить.

Другой пример: эллиптические геометрии с разными радиусами кривизны имеют изоморфные группы автоморфизмов. На самом деле это не считается критикой, поскольку все такие геометрии изоморфны. Общая риманова геометрия выходит за рамки программы.

Комплексные , двойственные и двойные (также известные как расщепленные комплексные) числа появляются как однородные пространства SL (2, R ) / H для группы SL (2, R ) и ее подгрупп H = A, N, K. [1] Группа SL (2, R ) действует на эти однородные пространства посредством дробно-линейных преобразований, и большая часть соответствующих геометрий может быть получена единообразным образом из программы Erlangen.

Еще несколько ярких примеров появились в физике.

Во-первых, n -мерная гиперболическая геометрия , n -мерное пространство де Ситтера и ( n - 1) -мерная инверсивная геометрия имеют изоморфные группы автоморфизмов,

ортохронная группа Лоренца , для п ≥ 3 . Но это явно разные геометрии. Сюда входят некоторые интересные результаты из физики. Было показано, что физические модели в каждой из трех геометрий «двойственны» для некоторых моделей.

Опять же, n- мерное пространство анти-де Ситтера и ( n - 1) -мерное конформное пространство с «лоренцевой» сигнатурой (в отличие от конформного пространства с «евклидовой» сигнатурой, которая идентична инверсивной геометрии , для трех или более измерений) имеют изоморфные группы автоморфизмов, но являются различными геометриями. И снова в физике есть модели с «двойственностью» между двумя пространствами . См. Дополнительную информацию в AdS / CFT .

Накрывающая группа SU (2,2) изоморфна накрывающей группе SO (4,2), которая является группой симметрии 4D конформного пространства Минковского, 5D пространства анти-де Ситтера и комплексного четырехмерного твистора пространство .

Поэтому программу Эрлангена можно по-прежнему считать плодотворной в отношении двойственности в физике.

В основополагающей статье, в которой были введены категории , Сондерс Мак Лейн и Сэмюэл Эйленберг заявили: «Это можно рассматривать как продолжение программы Клейна Эрлангера в том смысле, что геометрическое пространство с его группой преобразований обобщается до категории с его алгеброй. отображений » [2]

Связь программы Эрлангена с работой Чарльза Эресмана по группоидам в геометрии рассматривается в статье Прадинеса ниже. [3]

В математической логике программа Эрлангена также послужила источником вдохновения для Альфреда Тарского в его анализе логических понятий . [4]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Кисиль, Владимир (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптическое, параболическое и гиперболическое действия SL (2, R) . Лондон: Imperial College Press. п. xiv + 192. DOI : 10,1142 / P835 . ISBN 978-1-84816-858-9.
  2. ^ С. Эйленберг и С. Мак Лейн, Общая теория естественных эквивалентностей , Пер. Амер. Математика. Soc., 58: 231–294, 1945. (стр. 237); эта точка зрения подробно описана в работе Жан-Пьера Маркиза (2009), « С геометрической точки зрения: исследование истории теории категорий» , Springer, ISBN 978-1-4020-9383-8. 
  3. ^ Жан Прадинес, По следам Эресмана : от групповой геометрии к группоидной геометрии (английское резюме) Геометрия и топология многообразий, 87–157, Banach Center Publ., 76, Polish Acad. Наук, Варшава, 2007.
  4. ^ Luca Белотти~d, Тарский на логических понятиях , синтезированный, 404-413, 2003.
  • Клейн, Феликс (1872) "Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии". Полный английский перевод находится здесь https://arxiv.org/abs/0807.3161 .
  • Шарп, Ричард В. (1997) Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Кляйна Vol. 166. Springer.
  • Генрих Гуггенхаймер (1977) Дифференциальная геометрия , Дувр, Нью-Йорк, ISBN 0-486-63433-7 . 
Охватывает работы Ли, Кляйна и Картана. На стр. 139 Гуггенхаймер резюмирует эту область, отмечая: «Геометрия Клейна - это теория геометрических инвариантов транзитивной группы преобразований (программа Эрлангена, 1872 г.)».
  • Томас Хокинс (1984) "Программа Эрлангера Феликса Клейна: размышления о ее месте в истории математики", Historia Mathematica 11: 442–70.
  • "Программа Эрлангена" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Личен Джи и Атанас Пападопулос (редакторы) (2015) Софус Ли и Феликс Кляйн: Программа Эрлангена и ее влияние на математику и физику , Лекции IRMA по математике и теоретической физике 23, Издательство Европейского математического общества, Цюрих.
  • Феликс Кляйн (1872) «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» («Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии»), Mathematische Annalen, 43 (1893), стр. 63–100 (Также: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, стр. 460–497).
Английский перевод Меллена Хаскелла появился в Bull. NY Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249.
Оригинальный немецкий текст программы Erlangen можно просмотреть в онлайн-коллекции Мичиганского университета по адресу [1] , а также по адресу [2] в формате HTML.
Центральная информационная страница программы Erlangen, которую поддерживает Джон Баез, находится по адресу [3] .
  • Феликс Кляйн (2004) Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , Довер, Нью-Йорк, ISBN 0-486-43481-8 
(перевод Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus , Teil II: Geometrie, pub. 1924, автор Springer). Имеет раздел по программе Эрланген.