Основной пакет

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А главное расслоение ^{[1] [2] [3] [4]} представляет собой математический объект , который формализует некоторые из существенных признаков декартово произведение X × G из пространства X с группой G . Как и в случае с декартовым произведением, главный пучок P снабжен

1. Действие из G на Р , аналогично ( х , г ) ч = ( х , GH ) для пространства продукта .
2. Проекция на X . Для пространства продукта это просто проекция на первый фактор, ( x , g ) ↦ x .

В отличие от пространства продукта, у основных пакетов отсутствует предпочтительный выбор поперечного сечения идентичности; у них нет предпочтительного аналога ( x , e ) . Аналогично, обычно не существует проекции на G, обобщающей проекцию на второй множитель, X × G → G, которая существует для декартова произведения. Они также могут иметь сложную топологию, которая не позволяет реализовать их как пространство продукта, даже если был сделан ряд произвольных выборов, чтобы попытаться определить такую ​​структуру, определяя ее на меньших участках пространства.

Типичный примером главного расслоения является рамой расслоения F ( E ) из векторного расслоения Е , который состоит из всех упорядоченных баз векторного пространства , прикрепленного к каждой точке. Группа G в этом случае является общей линейной группой , которая действует справа обычным образом : заменой базиса . Поскольку нет естественного способа выбрать упорядоченный базис векторного пространства, в расслоении фреймов отсутствует канонический выбор единичного сечения.

Главные расслоения , имеют важное применение в топологии и дифференциальной геометрии и математической калибровочной теории . Они также нашли применение в физике, где они составляют часть фундаментальной основы физических калибровочных теорий .

Формальное определение [ править ]

Главное G -расслоение, где G обозначает любую топологическую группу , - это расслоение π : P → X вместе с непрерывным правым действием P × G → P такое, что G сохраняет слои P (т. Е. Если y ∈ P _x, то yg ∈ P _x для всех g ∈ G ) и действует на них свободно и транзитивно (т. Е. Регулярно) таким образом, что для каждогоx ∈X и y ∈P _x отображение G → P _x, переводящее g в yg, является гомеоморфизмом. В частностикаждый слой расслоения гомеоморфно группы G самсебе. Часто требуется, чтобы базовое пространство X было хаусдорфовым и, возможно, паракомпактным .

Поскольку действие группы сохраняет слои П : Р → Х и действует транзитивно, то отсюда следует , что орбиты этого G -action являются именно этими волокнами и пространство орбит P / G является гомеоморфным к базовому пространству X . Поскольку действие свободное, волокна имеют структуру G- торсоров . G торсора это пространство , которое гомеоморфно G , но не имеет групповую структуру , так как не существует предпочтительный выбор из единичного элемента .

Эквивалентное определение главного G- расслоения - это G- расслоение π : P → X со слоем G, где структурная группа действует на слой левым умножением. Так как умножение на правой G на волокне коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на G на P . Тогда слои π становятся правыми G -торсорами для этого действия.

Приведенные выше определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Можно также определить главный G -расслоений в категории из гладких многообразий . Здесь требуется, чтобы π : P → X было гладким отображением между гладкими многообразиями, G - группой Ли , и соответствующее действие на P должно быть гладким.

Примеры [ править ]

• Прототипным примером гладкого главного расслоения является расслоение реперов гладкого многообразия M , часто обозначаемое F M или GL ( M ) . Здесь слой над точкой х ∈ M является множеством всех кадров (т.е. упорядоченных базисы) для касательного пространства Т _х М . Линейная группа GL ( п , ℝ) свободно и транзитивно действует на этих кадрах. Эти волокна могут быть склеены естественным образом так, чтобы получить основную GL ( п , ℝ) -расслоение над M .
• Вариации на приведенном выше примере , включают ортонормальный кадр пучок из в риманов многообразия . Здесь требуется, чтобы фреймы были ортонормированы относительно метрики . Структурная группа - это ортогональная группа O ( n ) . Пример также работает для связок, отличных от касательной; если E - любое векторное расслоение ранга k над M , то расслоение фреймов E является главным GL ( k , ℝ) -расслоением, иногда обозначаемым F ( E ) .
• Нормальное (регулярное) накрывающее пространство p : C → X - это главное расслоение, в котором структурная группа

${\ Displaystyle G = \ pi _ {1} (X) / p _ {*} (\ pi _ {1} (C))}$

действует на слои p посредством действия монодромии . В частности, универсальная крышка из X является главным расслоением над X со структурной группой π ₁ ( X ) (так как универсальная крышка просто соединена и , таким образом π ₁ ( C ) тривиально).

• Пусть G - группа Ли и пусть H - замкнутая подгруппа (не обязательно нормальная ). Тогда G является главным Н -расслоением над (слева) пространством смежных классов G / H . Здесь действие H на G - это правое умножение. Слои являются левыми смежными классами H (в этом случае есть выделенный слой, содержащий единицу, который естественно изоморфен H ).
• Рассмотрим проекцию π : S ¹ → S ^1, заданную как z ↦ z ² . Этот принцип ℤ ₂ -расслоением является ассоциированным расслоением на Мёбиусе . Помимо тривиального расслоения, это единственное главное ℤ ₂ -расслоение над S ¹ .
• Проективные пространства дают еще несколько интересных примеров главных расслоений. Напомним, что n - сфера S ⁿ является двумерным накрывающим пространством вещественного проективного пространства ℝℙ ⁿ . Естественное действие O (1) на S ⁿ дает ему структуру главного O (1) -расслоения над ℝℙ ⁿ . Точно так же S ^{2 n +1} является главным U (1) -расслоением над комплексным проективным пространством ℂℙ ^n, а S ^{4 n +3} является главнымSp (1) -расслоение над кватернионным проективным пространством ℍℙ ⁿ . Тогда у нас есть серия главных расслоений для каждого положительного n :

${\ Displaystyle {\ mbox {O}} (1) \ к S (\ mathbb {R} ^ {n + 1}) \ к \ mathbb {RP} ^ {n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Здесь S ( V ) обозначает единичную сферу в V (снабженную евклидовой метрикой). Для всех этих примеров n = 1 случай дает так называемые расслоения Хопфа .

Основные свойства [ править ]

Тривиализации и сечения [ править ]

Один из наиболее важных вопросов, касающихся любого расслоения, заключается в том, является ли оно тривиальным , т. Е. Изоморфным пучку продуктов. Для главных расслоений есть удобная характеристика тривиальности:

Предложение . Главное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальное сечение .

То же самое не относится к другим пучкам волокон. Например, векторные расслоения всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, тривиальны они или нет, а сферические расслоения могут допускать множество глобальных сечений, не будучи тривиальными.

То же самое относится и к локальной тривиализации главных расслоений. Пусть π  : P → X - главное G- расслоение. Открытое множество U в X допускает локальную тривиализацию тогда и только тогда , когда существует локальный участок на U . Учитывая локальную тривиализацию

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

можно определить связанный локальный раздел

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

где е является тождество в G . Наоборот, для данного сечения s определяется тривиализация Φ формулой

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

Простая транзитивность действия G на слоях P гарантирует, что это отображение является биекцией , а также гомеоморфизмом . Местные тривиализации , определенные местными параграфов G - эквивариантная в следующем смысле. Если мы напишем

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

в виде

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

тогда карта

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

удовлетворяет

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Таким образом, эквивариантные тривиализации сохраняют G -торсорную структуру слоев. В терминах соответствующего локального сечения s отображение φ задается формулой

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

Локальная версия теоремы о сечении затем утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными сечениями.

Учитывая эквивариантную локальную тривиализацию ({ U _я }, {Φ _я }) из P , мы имеем локальные участки ева _I на каждом U _я . На наложений они должны быть связаны действием структурной группы G . Фактически связь обеспечивается функциями перехода

${\displaystyle t_{ij}=U_{i}\cap U_{j}\to G\,}$

Для любого x ∈ U _i ∩ U _j имеем

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Характеристика гладких главных расслоений [ править ]

Если π  : P → X является гладким основной G -расслоение то G свободно и действует должным образом на Р так , что пространство орбит P / G является диффеоморфен к базовой космической X . Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если P - гладкое многообразие, G - группа Ли и μ  : P × G → P - гладкое, свободное и собственное правое действие, то

• P / G - гладкое многообразие,
• естественная проекция π  : P → P / G является гладкой субмерсией и
• P является гладким главным G расслоением над P / G .

Использование понятия [ править ]

Сокращение структурной группы [ править ]

Для подгруппы H группы G можно рассмотреть расслоение , слои которого гомеоморфны пространству смежных классов . Если новый пакет допускает глобальное сечение, то один говорит , что раздел является уменьшение структурной группы от G до H . Причина этого названия в том, что (послойно) прообразы значений этого раздела образуют подрасслоение P, которое является основным H- расслоением. Если H - это тождество, то часть самой P представляет собой сокращение структурной группы до идентичности. Редукций структурной группы вообще не существует.${\displaystyle P/H}$ ${\displaystyle G/H}$

Многие топологические вопросы о строении многообразия или о структуре расслоений над ним, связанных с главным G -расслоением, можно перефразировать как вопросы о допустимости редукции структурной группы (с G на H ). Например:

• 2 n -мерное вещественное многообразие допускает почти комплексную структуру, если расслоение реперов на многообразии, слои которого состоят из слоев , сводится к группе .${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$
• П - мерное вещественное многообразие допускает K -плоскость поле , если расслоение кадра может быть сведена к структурной группе .${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Многообразие является ориентируемым тогда и только тогда , когда его рама расслоение может быть сведено к специальной ортогональной группе , .${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Многообразие имеет спиновую структуру тогда и только тогда , когда его рама пучок может быть дополнительно снижен с к в спиновой группе , которая отображается на как двойной крышкой.${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

Также обратите внимание: n -мерное многообразие допускает n векторных полей, которые линейно независимы в каждой точке тогда и только тогда, когда его расслоение фреймов допускает глобальное сечение. В этом случае многообразие называется параллелизуемым .

Связанные векторные пучки и рамки [ править ]

Если Р является главным О -расслоении и V представляет собой линейное представление из G , то можно построить векторное расслоение со слоем V , как частное от деления произведения P × V по диагонали действия G . Это особый случай , связанное расслоение строительства и Е называются связанным векторное расслоение на P . Если представление G на V является верным , так что G${\displaystyle E=P\times _{G}V}$является подгруппой общей линейной группы GL ( V ), то Е является G -расслоением и Р обеспечивает снижение структурной группы кадров пучка Е из GL ( V ) к G . В этом смысле главные расслоения дают абстрактную формулировку теории расслоений реперов.

Классификация основных пакетов [ править ]

Любая топологическая группа G допускает классифицирующее пространство BG : факторпространство по действию группы G некоторого слабо стягиваемого пространства EG , т. Е. Топологического пространства с исчезающими гомотопическими группами . Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любое главное расслоение G над паракомпактным многообразием B изоморфно образу главного расслоения EG → BG . ^[5] На самом деле, верно больше, поскольку множество классов изоморфизма главных G- расслоений над базойB отождествляется с множеством гомотопических классов отображений B → BG .

См. Также [ править ]

• Связанный пакет
• Векторный набор
• G-структура
• Сокращение структурной группы
• Калибровочная теория
• Подключение (основной комплект)
• G-расслоение

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Эддисон-Уэсли Паблишинг. ISBN 0-486-44546-1.
• Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ ((4-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-25907-4.
• Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.
• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00548-6.