Калибровочная теория (математика)

В математике , и в особенности дифференциальной геометрии и математической физики , калибровочной теории является общее исследование соединений на векторных расслоений , главных расслоений и пучков волокон . Калибровочную теорию в математике не следует путать с тесно связанной концепцией калибровочной теории в физике , которая представляет собой теорию поля, допускающую калибровочную симметрию . В математике теория означает математическую теорию, заключающий в себе общее изучение совокупности понятий или явлений, тогда как в физическом смысле калибровочная теория - это физическая модель некоторого природного явления.

Калибровочная теория в математике обычно связана с изучением теоретико-калибровочных уравнений. Это дифференциальные уравнения, включающие связи на векторных расслоениях или главных расслоениях или включающие сечения векторных расслоений, и поэтому между калибровочной теорией и геометрическим анализом существует сильная связь . Эти уравнения часто имеют физический смысл, соответствуют важным концепциям квантовой теории поля или теории струн , но также имеют важное математическое значение. Например, уравнения Янга – Миллса представляют собой систему уравнений в частных производных для связи на главном расслоении, и в физике решения этих уравнений соответствуютвакуумные решения уравнений движения классической теории поля , частицы, известные как инстантоны .

Калибровочная теория нашла применение в строительстве новых инвариантов из гладких многообразий , построение экзотических геометрических структур , такие как гиперкэлеровое многообразие , а также давать альтернативные описания важных структур в алгебраической геометрии , такие как пространства модулей векторных расслоений и когерентных пучков .

История [ править ]

Калибровочная теория берет свое начало еще в формулировке уравнений Максвелла, описывающих классический электромагнетизм, которые можно сформулировать как калибровочную теорию со структурной группой круговая группа . Работа Поля Дирака над магнитными монополями и релятивистской квантовой механикой подтолкнула к идее, что связки и соединения были правильным способом формулирования многих проблем квантовой механики. Калибровочная теория в математической физике возникла как важная область исследований в результате плодотворной работы Роберта Миллса и Чен-Нин Янга по так называемой калибровочной теории Янга – Миллса, которая теперь является фундаментальной моделью, лежащей в основе стандартной модели физики элементарных частиц.. ^[1]

Математическое исследование калибровочной теории берет свое начало в работах Майкла Атьи , Исадора Сингера и Найджела Хитчина по уравнениям самодуальности на римановом многообразии в четырех измерениях. ^{[2] [3]} В этой работе было изучено пространство модулей самодвойственных связей (инстантонов) на евклидовом пространстве, и было показано, что оно имеет размерность, где - положительный целочисленный параметр. Это связано с открытием инстантонов BPST , вакуумных решений уравнений Янга – Миллса в четырех измерениях. Примерно в то же время Атия и Ричард Уорд${\ displaystyle 8k-3}$${\ displaystyle k}$обнаружил связь между решениями уравнений автодуальности и алгебраическими расслоениями над комплексным проективным пространством . ^[4] Другим значительным ранним открытием стала разработка конструкции ADHM Атьей, Владимиром Дринфельдом , Хитчином и Юрием Маниным . ^[5] Эта конструкция позволила решить уравнения антиавтодуальности на евклидовом пространстве на основе чисто линейных алгебраических данных.${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Значительный прорыв, способствовавший развитию математической калибровочной теории, произошел в начале 1980-х годов. В это время важная работа Атьи и Рауля Ботта об уравнениях Янга – Миллса над римановыми поверхностями показала, что калибровочные теоретические задачи могут привести к интересным геометрическим структурам, стимулируя развитие бесконечномерных отображений момента , эквивариантной теории Морса и соотношений между калибровочная теория и алгебраическая геометрия. ^[6] Важные аналитические инструменты в геометрическом анализе были разработаны в это время Карен Уленбек , которая изучила аналитические свойства соединений и кривизны, доказав важные результаты компактности. ^[7]Наиболее значительные достижения в этой области произошли благодаря работе Саймона Дональдсона и Эдварда Виттена .

Дональдсон использовали комбинацию алгебраических методов геометрии и геометрического анализа строить новые инварианты из четырех коллекторов , известных в настоящее время , как Дональдсона инвариантов . ^{[8] [9]} С помощью этих инвариантов можно было доказать новые результаты, такие как существование топологических многообразий, не допускающих гладких структур, или существование множества различных гладких структур на евклидовом пространстве . За эту работу Дональдсон был награжден медалью Филдса в 1986 году.${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Виттен аналогичным образом наблюдал силу калибровочной теории в описании топологических инвариантов, связывая величины, возникающие из теории Черна – Саймонса в трех измерениях, с полиномом Джонса , инвариантом узлов . ^[10] Эта работа и открытие инвариантов Дональдсона, а также новая работа Андреаса Флоера о гомологиях Флоера вдохновили на изучение топологической квантовой теории поля .

После открытия способности калибровочной теории определять инварианты многообразий популярность математической калибровочной теории расширилась. Дальнейшие инварианты были обнаружены, такими как Зайберг-Виттен инварианты и Вафа-Виттен инварианты . ^{[11] [12]} Сильные связи с алгебраической геометрией были реализованы в работе Дональдсона, Уленбека и Шинг-Тунга Яу о соответствии Кобаяши – Хитчина, связывающем связности Янга – Миллса со стабильными векторными расслоениями . ^{[13] [14]} Работа Найджела Хитчина и Карлоса Симпсона о связках Хиггсапродемонстрировал, что пространства модулей, возникающие из калибровочной теории, могут иметь экзотические геометрические структуры, такие как структура гиперкэлеровых многообразий , а также связи с интегрируемыми системами через систему Хитчина . ^{[15] [16]} Были реализованы связи с теорией струн и зеркальной симметрией , где калибровочная теория важна для формулировки гипотезы о гомологической зеркальной симметрии и соответствия AdS / CFT .

Основные объекты интереса [ править ]

Фундаментальные объекты, представляющие интерес в калибровочной теории, - это связности на векторных расслоениях и главных расслоениях . В этом разделе мы кратко напоминаем об этих конструкциях и отсылаем к основным статьям о них для подробностей. Описанные здесь структуры являются стандартными в литературе по дифференциальной геометрии, а введение в тему с теоретико-калибровочной точки зрения можно найти в книге Дональдсона и Питера Кронхеймера . ^[17]

Основные пакеты [ править ]

Центральными объектами изучения калибровочной теории являются главные расслоения и векторные расслоения. Выбор того, что изучать, по существу произвольный, так как можно переходить между ними, но главные расслоения являются естественными объектами с физической точки зрения для описания калибровочных полей , и математически они более элегантно кодируют соответствующую теорию связей и кривизны для связанных векторных расслоений. им.

Главное расслоение со структурной группой${\displaystyle G}$ , или основным -расслоением${\displaystyle G}$ , состоит из пятиэлементных , где является гладким расслоением со слоем пространства изоморфно группой Ли , и представляет собой свободные и переходные правую группу действия из на который сохраняет волокна, в чувство это для всех , для всех . Вот это общее пространство , и базовое пространство . Использование правильного группового действия для каждого и любого выбора карты${\displaystyle (P,X,\pi ,G,\rho )}$${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle \pi (pg)=\pi (p)}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle p\in P_{x}}$${\displaystyle g\mapsto pg}$определяет диффеоморфизм между слоем над и группой Ли как гладкими многообразиями. Обратите внимание, однако, что нет естественного способа снабдить слои структурой групп Ли естественным образом, так как нет естественного выбора такого элемента для каждого .${\displaystyle P_{x}\cong G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p\in P_{x}}$${\displaystyle x\in X}$

Приведены простейшие примеры главных расслоений, когда - круговая группа . В этом случае главное расслоение имеет размерность где . Другой естественный пример происходит , когда это рама расслоение на касательном расслоении многообразия , или в более общем случае раме пучок векторного расслоения над . В этом случае слой задается общей линейной группой .${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$${\displaystyle \dim P=n+1}$${\displaystyle \dim X=n}$${\displaystyle P={\mathcal {F}}(TX)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Поскольку основное расслоение является расслоением, оно локально имеет структуру продукта. То есть, существует открытое покрытие из и диффеоморфизмов коммутирующих с выступами и , таким образом, что функции перехода , определенные удовлетворяют условие Коцикла${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }:P_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times G}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,g)=(x,g_{\alpha \beta }(x)g)}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x)g_{\beta \gamma }(x)=g_{\alpha \gamma }(x)}$

на любом тройном перекрытии . Чтобы определить главное расслоение, достаточно указать такой выбор функций перехода. Затем расслоение определяется путем склеивания тривиальных расслоений вдоль пересечений с использованием функций перехода. Условие коцикла в точности гарантирует, что оно определяет отношение эквивалентности на дизъюнктном объединении и, следовательно, корректно определено фактор-пространство .${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$${\displaystyle U_{\alpha }\times G}$${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$${\displaystyle \bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G}$ ${\displaystyle P=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }\times G/{\sim }}$

Обратите внимание на то, что выбор удовлетворяющей локальной секции является эквивалентным методом определения локальной карты тривиализации. А именно, можно определить, где находится уникальный элемент группы, такой что .${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$${\displaystyle \pi \circ s_{\alpha }=\operatorname {Id} }$${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=(\pi (p),{\tilde {s}}_{\alpha }(p))}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{\alpha }(p)\in G}$${\displaystyle p{\tilde {s}}_{\alpha }(p)^{-1}=s_{\alpha }(\pi (p))}$

Наборы векторных изображений [ править ]

Векторное расслоение является тройной , где это расслоение со слоем заданной векторного пространства , где это поле. Число - это ранг векторного расслоения. Опять же, имеется локальное описание векторного расслоения в терминах тривиализирующего открытого покрытия. Если такое покрытие, то при изоморфизме${\displaystyle (E,X,\pi )}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }:E_{U_{\alpha }}\to U_{\alpha }\times \mathbb {K} ^{r}}$

Получаю отличают локальные участки соответствующих координат базисных векторы из , обозначаемых . Они определяются уравнением${\displaystyle r}$${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{r}}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{r}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }({\boldsymbol {e}}_{i}(x))=(x,e_{i}).}$

Таким образом, определение тривиализации эквивалентно заданию набора локальных секций, которые всюду линейно независимы, и использованию этого выражения для определения соответствующего изоморфизма. Такой набор локальных секций называется рамой .${\displaystyle r}$

Как и в случае с главными расслоениями, получаются функции перехода для векторного расслоения, определяемые формулой${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x,v)=(x,g_{\alpha \beta }(x)v).}$

Если взять эти функции перехода и использовать их для построения локальной тривиализации для главного расслоения со слоем, равным структурной группе , то получится в точности расслоение фреймов главного- расслоения.${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

Связанные пакеты [ править ]

Учитывая главное -расслоение и представление о на векторном пространстве , можно построить ассоциированное векторное расслоение со слоем векторного пространства . Чтобы определить это векторное расслоение, нужно рассматривать правильное действие на продукте, определенном и определяемое как фактор-пространство по отношению к этому действию.${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle P\times V}$${\displaystyle (p,v)g=(pg,\rho (g^{-1})v)}$${\displaystyle P\times _{\rho }V=(P\times V)/G}$

С точки зрения функций перехода связанный пакет можно понять более просто. Если главное расслоение имеет функции перехода по отношению к локальной тривиализации , то можно построить ассоциированное векторное расслоение, используя функции перехода .${\displaystyle P}$${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$${\displaystyle \rho \circ g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \operatorname {GL} (V)}$

Построение ассоциированного расслоения может быть выполнено для любого расслоения , а не только для векторного пространства, при условии наличия гомоморфизма групп. Одним из ключевых примеров является сопряженное пучок A со слоем , построенное с использованием гомоморфизма групп, определяемого сопряжением . Обратите внимание, что, несмотря на наличие слоя , присоединенное расслоение не является ни главным расслоением, ни изоморфным самому себе как расслоение слоев . Например, если является абелевым, то действие сопряжения тривиально и будет тривиальным расслоением -волокон над независимо от того, является ли оно тривиальным как расслоение слоев. Другой ключевой пример - это сопряженный набор строчных букв${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (G)}$${\displaystyle g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$построено с использованием присоединенного представления , где является алгеброй Ли из .${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

Калибровочные преобразования [ править ]

Калибровочное преобразование векторного расслоения или главного расслоения является автоморфизмом этого объекта. Для главного расслоения калибровочное преобразование состоит из диффеоморфизма, коммутирующего с оператором проектирования и правым действием . Для векторного расслоения калибровочное преобразование аналогично определяется диффеоморфизмом, коммутирующим с оператором проектирования, который является линейным изоморфизмом векторных пространств на каждом слое.${\displaystyle \varphi :P\to P}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \varphi :E\to E}$${\displaystyle \pi }$

Калибровочные преобразования ( или ) образуют группу по композиции, называемую калибровочной группой , обычно обозначаемой . Эту группу можно охарактеризовать как пространство глобальных сечений присоединенного расслоения или, в случае векторного расслоения, где обозначает расслоение реперов.${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} (P))}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E)))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Можно также определить локальное калибровочное преобразование как изоморфизм локального расслоения над тривиализирующим открытым подмножеством . Это может быть однозначно задано как отображение ( в случае векторных расслоений), где индуцированный изоморфизм расслоений определяется формулой${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle g_{\alpha }:U_{\alpha }\to G}$${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r,\mathbb {K} )}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(p)=pg_{\alpha }(\pi (p))}$

и аналогично для векторных расслоений.

Обратите внимание, что для двух локальных тривиализаций главного расслоения над одним и тем же открытым подмножеством функция перехода является в точности локальным калибровочным преобразованием . То есть локальные калибровочные преобразования - это замены локальной тривиализации для главных расслоений или векторных расслоений.${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle g_{\alpha \alpha }:U_{\alpha }\to G}$

Подключения к основным пакетам [ править ]

Соединение на главном расслоении представляет собой способ соединения близлежащих волокон таким образом , чтобы захватить понятие раздела являющееся постоянная или по горизонтали . Поскольку слои абстрактного главного расслоения не отождествляются естественным образом друг с другом или с самим пространством слоев , нет канонического способа указать, какие сечения являются постоянными. Выбор локальной тривиализации приводит к одному возможному выбору, где если тривиально над множеством , то локальное сечение можно назвать горизонтальным, если оно константно по отношению к этой тривиализации в том смысле, что для всех и одного . В частности, тривиальное главное расслоение снабжено тривиальной связностью${\displaystyle s:X\to P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle \varphi _{\alpha }(s(x))=(x,g)}$${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle P=X\times G}$.

В общем случае связь задается выбором горизонтальных подпространств касательных пространств в каждой точке , так что в каждой точке есть где - вертикальное расслоение, определяемое посредством . Эти горизонтальные подпространства должны быть совместимы со структурой главного расслоения, требуя, чтобы горизонтальное распределение было инвариантным относительно действия правой группы: где означает правое умножение на . Сечение называется горизонтальным, если где отождествляется со своим изображением внутри , которое является подмногообразием с касательным расслоением . Учитывая векторное поле${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle T_{p}P=H_{p}\oplus V_{p}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\ker d\pi }$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{pg}=d(R_{g})(H_{p})}$${\displaystyle R_{g}:P\to P}$${\displaystyle g}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{p}s\subset H_{p}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Ts}$${\displaystyle v\in \Gamma (TX)}$, есть уникальный горизонтальный лифт . Кривизны соединения задается два-формой со значениями в присоединенном расслоении определяется ${\displaystyle v^{\#}\in \Gamma (H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$

${\displaystyle F(v_{1},v_{2})=[v_{1}^{\#},v_{2}^{\#}]-[v_{1},v_{2}]^{\#}}$

где - скобка Ли векторных полей . Поскольку вертикальное расслоение состоит из касательных пространств к слоям, и эти слои изоморфны группе Ли , касательное расслоение которой канонически отождествлено с , существует единственная алгебразначная двумерная форма Ли, соответствующая кривизне. С точки зрения теоремы Фробениуса об интегрируемости , кривизна точно измеряет степень, в которой горизонтальное распределение не может быть интегрируемым, и, следовательно, степень, в которой не удается локально встроиться внутрь как горизонтальное подмногообразие.${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle TG=G\times {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$

Выбор горизонтальных подпространств может быть эквивалентно выражен оператором проекции, который эквивариантен в правильном смысле, называемый одной формой связи . Для горизонтального распределения это определяется как где обозначает разложение касательного вектора относительно разложения прямой суммы . Благодаря эквивариантности, эта проекционная одноформа может считаться алгебраозначной Ли, что дает некоторые из них .${\displaystyle \nu :TP\to V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \nu _{H}(h+v)=v}$${\displaystyle h+v}$${\displaystyle TP=H\oplus V}$${\displaystyle \nu \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$

Локальная тривиализация для эквивалентно задается локальным сечением, и однообразная форма соединения и кривизна могут быть возвращены вдоль этого гладкого отображения. Это дает локальному соединению одну форму, которая принимает значения в сопряженном связке из . Структурное уравнение Картана гласит, что кривизна может быть выражена в терминах локальной единичной формы выражением${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{\alpha }:U_{\alpha }\to P_{U_{\alpha }}}$ ${\displaystyle A_{\alpha }=s_{\alpha }^{*}\nu \in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle F=dA_{\alpha }+{\frac {1}{2}}[A_{\alpha },A_{\alpha }]}$

где мы используем скобку Ли на расслоении алгебр Ли, которая отождествляется с локальной тривиализацией .${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$${\displaystyle U_{\alpha }\times {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U_{\alpha }}$

При локальном калибровочном преобразовании, так что одна форма локальной связи преобразуется выражением${\displaystyle g:U_{\alpha }\to G}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=(g\circ s)^{*}\nu }$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=\operatorname {ad} (g)\circ A_{\alpha }+(g^{-1})^{*}\theta }$

где обозначает форму Маурера – Картана группы Ли . В случае, когда - матричная группа Ли , имеет место более простое выражение${\displaystyle \theta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}.}$

Связи на векторных расслоениях [ править ]

Связность на векторном расслоении может быть определена аналогично случаю для главных расслоений выше, известному как связность Эресмана . Однако связи векторных расслоений допускают более сильное описание в терминах дифференциального оператора. Связь на векторном расслоении является выбор -линейного дифференциального оператора${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}X\otimes E)=\Omega ^{1}(E)}$

такой, что

${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$

для всех и разделов . Ковариантная производная сечения в направлении векторного поля определяются${\displaystyle f\in C^{\infty }(X)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \nabla _{v}(s)=\nabla s(v)}$

где справа мы используем естественное сочетание между и . Это новый раздел векторного расслоения , рассматриваемый как производная от в направлении . Оператор является оператором ковариантной производной в направлении . Кривизны от задаются оператором со значениями в эндоморфизмах расслоения , определяются${\displaystyle \Omega ^{1}(X)}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle E}$${\displaystyle s}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \nabla _{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle F_{\nabla }(v_{1},v_{2})=\nabla _{v_{1}}\nabla _{v_{2}}-\nabla _{v_{2}}\nabla _{v_{1}}-\nabla _{[v_{1},v_{2}]}.}$

При локальной тривиализации внешняя производная действует как тривиальная связность (соответствующая на изображении главного расслоения тривиальной связности, обсужденной выше). А именно для локального фрейма определяют${\displaystyle d}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {e}}_{r}}$

${\displaystyle d(s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i})=ds^{i}\otimes {\boldsymbol {e}}_{i}}$

где здесь мы использовали обозначение Эйнштейна для локального сечения .${\displaystyle s=s^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$

Любые два соединения различаются -значной однозначной формой . Чтобы убедиться в этом, заметьте, что разница между двумя соединениями является линейной:${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C^{\infty }(X)}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}-\nabla _{2})(s).}$

В частности, поскольку каждое векторное расслоение допускает связь (с использованием разбиений единицы и локальных тривиальных связей), множество связей на векторном расслоении имеет структуру бесконечномерного аффинного пространства, смоделированного на векторном пространстве . Это пространство обычно обозначается .${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Применяя это наблюдение локально, каждое соединение над тривиализирующим подмножеством отличается от тривиального соединения некоторой локальной формой соединения , имеющей свойство on . В терминах этой формы локального соединения кривизна может быть записана как${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle d}$${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle \nabla =d+A_{\alpha }}$${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle F_{A}=dA_{\alpha }+A_{\alpha }\wedge A_{\alpha }}$

где произведение клина встречается на компоненте одной формы, а одно составляет эндоморфизмы на компоненте эндоморфизма. Чтобы вернуться к теории главных расслоений, обратите внимание, что там , где справа мы теперь выполняем клин одноформ и коммутатор эндоморфизмов.${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$

При калибровочном преобразовании векторного расслоения связность переходит в связность сопряжением . Разница, где здесь действует на эндоморфизмы . При локальном калибровочном преобразовании получается то же выражение${\displaystyle u}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle u\cdot \nabla }$${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{v}(s)=u(\nabla _{v}(u^{-1}(s))}$${\displaystyle u\cdot \nabla -\nabla =-(\nabla u)u^{-1}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\tilde {A}}_{\alpha }=gA_{\alpha }g^{-1}-(dg)g^{-1}}$

как и в случае с основными связками.

Индуцированные связи [ править ]

Связность на главном расслоении индуцирует связи на ассоциированных векторных расслоениях. Один из способов увидеть это - использовать формы локального подключения, описанные выше. А именно, если соединение основного расслоения имеет формы локального соединения и является представлением определения ассоциированного векторного расслоения , то индуцированные одно-формы локального соединения определяются следующим образом:${\displaystyle H}$${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Aut} (V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E=P\times _{\rho }V}$

${\displaystyle \rho _{*}A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {End} (E)).}$

Вот индуцированный гомоморфизм алгебр Ли из , и мы используем тот факт, что это отображение индуцирует гомоморфизм векторных расслоений .${\displaystyle \rho _{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\to \operatorname {End} (E)}$

Индуцированная кривизна может быть просто определена как

${\displaystyle \rho _{*}F_{A}\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {End} (E)).}$

Здесь можно увидеть, как локальные выражения для кривизны связаны для главных расслоений и векторных расслоений, поскольку скобка Ли на алгебре Ли отправляется в коммутатор эндоморфизмов при гомоморфизме алгебры Ли .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$${\displaystyle \rho _{*}}$

Пространство соединений [ править ]

Центральным объектом изучения математической калибровочной теории является пространство связностей на векторном расслоении или главном расслоении. Это бесконечномерное аффинное пространство, смоделированное на векторном пространстве (или в случае векторных расслоений). Две связности называются калибровочно эквивалентными, если существует такое калибровочное преобразование , что . Калибровочная теория занимается классами калибровочной эквивалентности связностей. Таким образом, в некотором смысле калибровочная теория занимается свойствами фактор-пространства , которое в общем случае не является ни хаусдорфовым пространством, ни гладким многообразием .${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$${\displaystyle \Omega ^{1}(X,\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle A'=u\cdot A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Многие интересные свойства базового многообразия могут быть закодированы в геометрии и топологии пространств модулей связностей на главных расслоениях и векторных расслоениях над . Инварианты , такие как инварианты Дональдсона или инварианты Зайберга – Виттена, могут быть получены путем вычисления числовых величин, полученных из пространств модулей связностей над . Самым известным применением этой идеи является теорема Дональдсона , в которой используется пространство модулей связностей Янга – Миллса на главном -расслоении над односвязным четырехмерным многообразием для изучения его формы пересечения. За эту работу Дональдсон был награжден медалью Филдса .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle X}$

Условные обозначения [ править ]

Существуют различные условные обозначения, используемые для соединений на векторных связках и основных связках, которые будут кратко описаны здесь.

• Буква - это наиболее распространенный символ, используемый для обозначения соединения в векторном или основном связке. Это происходит из-за того, что если выбрать фиксированное соединение всех соединений, то любое другое соединение может быть записано для некоторой уникальной одной формы . Это также происходит от использования для обозначения локальной формы соединения на векторном расслоении, которое впоследствии исходит из электромагнитного потенциала в физике. Иногда символ также используется для обозначения формы соединения, обычно в основном связке, и обычно в этом случае относится к одной форме глобального соединения.${\displaystyle A}$${\displaystyle \nabla _{0}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \nabla =\nabla _{0}+A}$${\displaystyle A\in \Omega ^{1}(X,\operatorname {ad} (P))}$${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$на общем пространстве главного расслоения, а не на соответствующих локальных формах связности. Этого соглашения обычно избегают в математической литературе, поскольку оно часто противоречит использованию для кэлеровой формы, когда лежащее в основе многообразие является кэлеровым многообразием .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle X}$
• Этот символ чаще всего используется для представления связи в векторном расслоении как дифференциального оператора, и в этом смысле он используется как синоним буквы . Он также используется для обозначения операторов ковариантной производной . Альтернативные обозначения для оператора связи и ковариантных производных операторов призваны подчеркнуть зависимость от выбора , или или .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nabla _{X}}$${\displaystyle \nabla _{A}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle D_{A}}$${\displaystyle d_{A}}$
• Оператор чаще всего относится к внешней ковариантной производной связи (и поэтому иногда его пишут для связи ). Поскольку внешняя ковариантная производная в степени 0 совпадает с регулярной ковариантной производной, сама связность или ковариантная производная часто обозначается вместо .${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d_{\nabla }}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle \nabla }$
• Символ или чаще всего используется для обозначения кривизны соединения. Когда на соединение ссылаются , на кривизну ссылаются, а не на . Другие соглашения включают или или по аналогии с тензором римановой кривизны в римановой геометрии, который обозначается .${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle F_{\nabla }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle F_{\omega }}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{A}}$${\displaystyle R_{\nabla }}$${\displaystyle R}$
• Буква часто используется для обозначения основного жгута или соединения Эресмана, когда акцент делается на горизонтальном распределении . В этом случае оператор вертикальной проекции, соответствующий (связность one-form on ), обычно обозначается , или , или . Используя это соглашение, кривизна иногда обозначается, чтобы подчеркнуть зависимость, и может относиться либо к оператору кривизны на всем пространстве , либо к кривизне на основании .${\displaystyle H}$${\displaystyle H\subset TP}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle F_{H}}$${\displaystyle F_{H}}$${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle F_{H}\in \Omega ^{2}(X,\operatorname {ad} (P))}$
• Присоединенное расслоение алгебры Ли обычно обозначается , а присоединенное расслоение групп Ли - . Это не соглашается с Конвенцией в теории групп Ли , где относится к представлению о , и относится к алгебре Ли представления о на себе по скобкой Ли . В теории групп Ли действие сопряжения (которое определяет расслоение ) часто обозначается через .${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$${\displaystyle \operatorname {Ad} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {ad} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}$${\displaystyle \Psi _{g}}$

Словарь математической и физической терминологии [ править ]

Математические и физические области калибровочной теории включают изучение одних и тех же объектов, но используют разную терминологию для их описания. Ниже приводится краткое описание того, как эти термины соотносятся друг с другом.

В качестве демонстрации этого словаря рассмотрим взаимодействующий член поля частицы с положением электрона и электромагнитного поля в лагранжиане квантовой электродинамики : ^[18]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu },}$

Математически это можно переписать

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\langle \psi ,({D\!\!\!\!/}_{A}-m)\psi \rangle _{L^{2}}+\|F_{A}\|_{L^{2}}^{2}}$

где - связность на главном расслоении , - сечение ассоциированного спинорного расслоения и - индуцированный оператор Дирака индуцированной ковариантной производной на этом ассоциированном расслоении. Первый член является взаимодействующим членом в лагранжиане между спинорным полем (поле, представляющим электрон-позитрон) и калибровочным полем (представляющим электромагнитное поле). Второй член - это регулярный функционал Янга – Миллса, который описывает основные невзаимодействующие свойства электромагнитного поля (связи ). Термин формы является примером того, что в физике называется минимальной связью, то есть простейшим возможным взаимодействием между полем материи.${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {D\!\!\!\!/}_{A}}$${\displaystyle \nabla _{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nabla _{A}\psi }$${\displaystyle \psi }$и калибровочное поле .${\displaystyle A}$

Теория Янга – Миллса [ править ]

Преобладающей теорией в математической калибровочной теории является теория Янга – Миллса. Эта теория включает изучение связей, которые являются критическими точками функционала Янга – Миллса, определяемого формулой

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}}$

где представляет собой ориентированное риманово многообразие с в римановой форме объема и с -нормом на присоединенном расслоении . Этот функционал является квадратом -нормы кривизны соединения , поэтому соединения, которые являются критическими точками этой функции, имеют минимально возможную кривизну (или более высокие локальные минимумы ).${\displaystyle (X,g)}$${\displaystyle d\mathrm {vol} _{g}}$${\displaystyle \|\cdot \|^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {YM} }$

Эти критические точки характеризуются как решения соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа , то уравнения Янга-Миллса

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$

где это индуцированный внешние ковариантные производный от на и является оператором Ходжи звезда . Такие решения называются связностями Янга – Миллса и представляют значительный геометрический интерес.${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle \nabla _{A}}$${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$${\displaystyle \star }$

Тождество Бианки утверждает, что для любой связи . По аналогии с дифференциальными формами гармоническая форма характеризуется условием${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle d\star \omega =d\omega =0.}$

Если определить гармоническую связь условием, что

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=d_{A}F_{A}=0}$

тогдашнее изучение связей Янга – Миллса по своей природе аналогично изучению гармонических форм. Теория Ходжа обеспечивает уникального гармонического представителя каждого класса когомологий де Рама . Заменяя класс когомологий калибровочной орбитой , изучение связностей Янга – Миллса можно рассматривать как попытку найти уникальных представителей для каждой орбиты в фактор-пространстве связностей по модулю калибровочных преобразований.${\displaystyle [\omega ]}$${\displaystyle \{u\cdot A\mid u\in {\mathcal {G}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$

Уравнения самодуальности и анти-самодуальности [ править ]

В размерности четыре звездный оператор Ходжа переводит две формы в две формы , и квадраты в единичный оператор . Таким образом, звезда Ходжа, оперирующая двумя формами, имеет собственные значения , а две формы на ориентированном римановом четырехмерном многообразии расщепляются как прямая сумма${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$${\displaystyle \star ^{2}=\operatorname {Id} }$${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

в самодуальную и антисамодуальную двойные формы, задаваемые подпространствами и собственными подпространствами звездного оператора Ходжа соответственно. То есть является самодвойственным если и анти-самодвойственным если , и каждая дифференциальная двойная форма допускает расщепление на самодвойственные и анти-самодвойственные части.${\displaystyle +1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{2}(X)}$${\displaystyle \star \alpha =\alpha }$${\displaystyle \star \alpha =-\alpha }$${\displaystyle \alpha =\alpha _{+}+\alpha _{-}}$

Если кривизна связности на главном расслоении над четырехмерным многообразием самодуальна или анти-самодуальна, то по тождеству Бианки , так что связность автоматически является уравнением Янга – Миллса. Уравнение${\displaystyle A}$${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=\pm d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle \star F_{A}=\pm F_{A}}$

является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка для связи , поэтому его проще изучать, чем полное уравнение Янга – Миллса второго порядка. Уравнение называется уравнением самодуальности , а уравнение - уравнением анти-самодуальности , и решения этих уравнений являются самодуальными связями или анти-самодуальными связями соответственно.${\displaystyle A}$${\displaystyle \star F_{A}=F_{A}}$${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$

Уменьшение размеров [ править ]

Один из способов вывести новые и интересные теоретико-калибровочные уравнения - применить процесс размерной редукции к уравнениям Янга – Миллса. Этот процесс включает рассмотрение уравнений Янга – Миллса над многообразием (обычно принимаемое за евклидово пространство ) и наложение того, чтобы решения этих уравнений были инвариантными относительно группы трансляционных или других симметрий. В результате этого процесса уравнения Янга – Миллса приводят к уравнениям Богомольного, описывающим монополи на , уравнениям Хитчина, описывающим расслоения Хиггса на римановых поверхностях , и уравнениям Нама${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ на действительных интервалах путем наложения симметрии относительно сдвигов в одном, двух и трех направлениях соответственно.

Калибровочная теория в одном и двух измерениях [ править ]

Здесь обсуждаются уравнения Янга – Миллса, когда базовое многообразие имеет низкую размерность. В этом случае уравнения резко упрощаются из-за того, что в измерении один нет двух форм, а во втором измерении звездный оператор Ходжа на двух формах действует как .${\displaystyle X}$${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to C^{\infty }(X)}$

Теория Янга – Миллса [ править ]

Уравнения Янга – Миллса можно изучать непосредственно на многообразии размерности два. Теория уравнений Янга – Миллса, когда базовым многообразием является компактная риманова поверхность, была развита Майклом Атьей и Раулем Боттом . ^[6] В этом случае пространство модулей связностей Янга – Миллса над комплексным векторным расслоением допускает различные богатые интерпретации, и теория служит простейшим случаем для понимания уравнений в более высоких измерениях. Уравнения Янга – Миллса в этом случае принимают вид${\displaystyle E}$

${\displaystyle \star F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}}$

для некоторой топологической постоянной в зависимости от . Такие связности называются проективно плоскими , и в случае, когда векторное расслоение топологически тривиально (т. Е. ), Они в точности являются плоскими связностями.${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \lambda (E)=0}$

Когда ранг и степень векторного расслоения взаимно просты , пространство модулей связностей Янга – Миллса гладкое и имеет естественную структуру симплектического многообразия . Атья и Ботт заметили, что, поскольку связности Янга – Миллса проективно плоские, их голономия дает проективные унитарные представления фундаментальной группы поверхности, так что это пространство имеет эквивалентное описание как пространство модулей проективных унитарных представлений фундаментальной группы поверхности. Риманова поверхность, разнообразие характеров . Теорема Нарасимхана и Сешадрите дает альтернативное описание этого пространства представлений как пространства модулей${\displaystyle {\mathcal {M}}}$стабильные голоморфные векторные расслоения , гладко изоморфные . ^[19] Благодаря этому изоморфизму пространство модулей связностей Янга – Миллса приобретает комплексную структуру, которая взаимодействует с симплектической структурой Атьи и Ботта, превращая его в компактное кэлерово многообразие.${\displaystyle E}$

Саймон Дональдсон дал альтернативное доказательство теоремы Нарасимхана и Сешадри, которое напрямую перешло от связностей Янга – Миллса к стабильным голоморфным структурам. ^[20] Атья и Ботт использовали эту переформулировку проблемы, чтобы осветить тесную взаимосвязь между экстремальными связностями Янга – Миллса и стабильностью векторных расслоений в качестве бесконечномерного отображения моментов для действия калибровочной группы , заданного уравнением сама карта кривизны . Это наблюдение формулирует теорему Нарасимхана – Сешадри как своего рода бесконечномерную версию теоремы Кемпфа – Несса из геометрической теории инвариантов.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle A\mapsto F_{A}}$, связывающие критические точки квадрата нормы отображения момента (в данном случае связности Янга – Миллса) со стабильными точками на соответствующем алгебраическом фактор-расслоении (в данном случае стабильными голоморфными векторными расслоениями). Эта идея впоследствии оказала большое влияние на калибровочную теорию и комплексную геометрию с момента ее появления.

Уравнения Нама [ править ]

Уравнения Нама, введенные Вернером Намом , получены как размерное сокращение антиавтодуальности в четырех измерениях до одного измерения путем наложения трансляционной инвариантности в трех направлениях. ^[21] Конкретно требуется, чтобы форма связи не зависела от координат . В этой постановке уравнения Нама между системой уравнений на интервале для четырех матриц, удовлетворяющих тройке уравнений${\displaystyle A=A_{0}\,dx^{0}+A_{1}\,dx^{1}+A_{2}\,dx^{2}+A_{3}\,dx^{3}}$${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}}$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\in C^{\infty }(I,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dT_{1}}{dt}}+[T_{0},T_{1}]+[T_{2},T_{3}]=0\\{\frac {dT_{2}}{dt}}+[T_{0},T_{2}]+[T_{3},T_{1}]=0\\{\frac {dT_{3}}{dt}}+[T_{0},T_{3}]+[T_{1},T_{2}]=0.\end{cases}}}$

Нахм показал, что решения этих уравнений (которые могут быть получены довольно легко, поскольку они представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений ) могут быть использованы для построения решений уравнений Богомольного , описывающих монополи на . Найджел Хитчин показал, что решения уравнений Богомольного можно использовать для построения решений уравнений Нама, показывая, что решения этих двух проблем эквивалентны. ^[22] Дональдсон показали далее , что решения уравнений Нама эквивалентны рациональных отображений степени от комплексной проективной прямой к самому себе, где находится заряд , соответствующий магнитный монополь. ^[23]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle k}$

Пространство модулей решений уравнений Нама имеет структуру гиперкэлерового многообразия.

Уравнения Хитчина и связки Хиггса [ править ]

Уравнения Хитчина, введенные Найджелом Хитчином , получаются как размерная редукция уравнений самодуальности в четырех измерениях до двух измерений путем наложения инварианта сдвига в двух направлениях. ^[24] В этом случае две дополнительные компоненты формы связи могут быть объединены в один комплекснозначный эндоморфизм , и при такой формулировке уравнения становятся конформно инвариантными, и поэтому их естественно изучать на компактной римановой поверхности, а не на . Уравнения Хитчина утверждают, что для пары на комплексном векторном расслоении где , что${\displaystyle A_{3}\,dx^{3}+A_{4}\,dx^{4}}$${\displaystyle \Phi =A_{3}+iA_{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (A,\Phi )}$${\displaystyle E\to \Sigma }$${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{1,0}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}+[\Phi ,\Phi ^{*}]=0\\{\bar {\partial }}_{A}\Phi =0\end{cases}}}$

где это -компонентой . Решения уравнений Хитчина называются парами Хитчина .${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle d_{A}}$

В то время как решения уравнений Янга – Миллса на компактной римановой поверхности соответствуют проективным унитарным представлениям группы поверхностей, Хитчин показал, что решения уравнений Хитчина соответствуют проективным комплексным представлениям группы поверхностей. Пространство модулей пар Хитчина естественно имеет (когда ранг и степень расслоения взаимно просты) структуру кэлерова многообразия. Используя аналог наблюдения Атьи и Ботта относительно уравнений Янга – Миллса, Хитчин показал, что пары Хитчина соответствуют так называемым стабильным расслоениям Хиггса , где расслоение Хиггса - это пара, где - голоморфное векторное расслоение и является голоморфным эндоморфизмом со значениями в${\displaystyle (E,\Phi )}$${\displaystyle E\to \Sigma }$${\displaystyle \Phi :E\to E\otimes K}$${\displaystyle E}$каноническое расслоение римановой поверхности . Это демонстрируется посредством построения бесконечномерного отображения момента, и это пространство модулей расслоений Хиггса также имеет сложную структуру, которая отличается от структуры, исходящей от пар Хитчина, что приводит к двум сложным структурам в пространстве модулей расслоений Хиггса. Они объединяются, чтобы дать третье, что делает это пространство модулей гиперкэлеровым многообразием .${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Впоследствии работа Хитчина была значительно обобщена Карлосом Симпсоном , и соответствие между решениями уравнений Хитчина и расслоениями Хиггса над произвольным кэлеровым многообразием известно как неабелева теорема Ходжа . ^{[25] [26] [27] [28] [29]}

Теория калибровки в трех измерениях [ править ]

Монополи [ править ]

Сведение уравнений Янга – Миллса к трехмерным измерениям путем наложения трансляционного инварианта в одном направлении приводит к уравнениям Богомольного для пары, где - семейство матриц. ^[30] Уравнения${\displaystyle (A,\Phi )}$${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} ^{3}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle F_{A}=\star d_{A}\Phi .}$

Когда главное расслоение имеет групповую структуру в группу круга , решение уравнений Богомольного моделирование монополя Дирака , описывающий магнитный монополь в классическом электромагнетизме. Работа Нама и Хитчина показывает, что, когда структурная группа представляет собой специальную унитарную группу, решения монопольных уравнений соответствуют решениям уравнений Нама, а по работе Дональдсона они, кроме того, соответствуют рациональным отображениям из самой в себя степени, где - заряд монополя. Эта плата определяется как предел ${\displaystyle P\to \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{S_{R}}(\Phi ,F_{A})=4\pi k}$

интеграла спаривания над сферами в возрастающем радиусе .${\displaystyle (\Phi ,F_{A})\in \Omega ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle R}$

Теория Черна – Саймонса [ править ]

Теория Черна – Саймонса в 3-х измерениях - это топологическая квантовая теория поля с функционалом действия, пропорциональным интегралу формы Черна – Саймонса , три-формы, определяемой формулой

${\displaystyle \operatorname {Tr} (F_{A}\wedge A-{\frac {1}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

Классическим решениям уравнений Эйлера – Лагранжа функционала Черна – Саймонса на замкнутом трехмерном многообразии соответствуют плоские связности на главном β-расслоении . Однако, когда есть граница, ситуация усложняется. Черна-Саймонс теория была использована Виттеном , чтобы выразить полином Джонса , сучка инвариант, с точкой зрения ожидаемого значения вакуума в виде петли Вильсона в теории Черна-Simons на три области . ^[10] Это была яркая демонстрация силы задач калибровочной теории в плане обеспечения нового понимания топологии и была одним из первых примеров топологической квантовой теории поля.${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle S^{3}}$.

При квантовании классической теории Черна – Саймонса изучаются индуцированные плоские или проективно плоские связности на главном расслоении, ограниченном поверхностями внутри трехмерного многообразия. Классические пространства состояний, соответствующие каждой поверхности, являются в точности пространствами модулей уравнений Янга – Миллса, изученными Атьей и Боттом. ^[6] геометрическое квантование этих пространств было достигнуто за счет Найджел Хитчин и Аксельрода-Della Pietra-Виттена независимо друг от друга, а в том случае , когда структура группы является сложным, пространство конфигурации пространство модулей пучков хиггсовскими и его квантование было достигнуто за счет Виттен. ^{[31] [32] [33]}${\displaystyle \Sigma \subset X}$

Гомология Флора [ править ]

Андреас Флоер ввел тип гомологий на трехмерных многообразиях, определенных по аналогии с гомологиями Морса в конечных размерностях. ^[34] В этой теории гомологий функция Морса - это функционал Черна – Саймонса на пространстве связностей на главном расслоении над трехмерным многообразием . Критические точки - это плоские соединения, а линии потока определены как инстантоны Янга – Миллса , ограничивающие критические плоские соединения двух граничных компонентов. Это приводит к гомологии инстантонов Флоера . Гипотеза Атьи – Флоера утверждает, что инстантонные гомологии Флоера согласованы с лагранжевыми гомологиями Флёра пересечения пространства модулей плоских связностей на поверхности${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M\times I}$${\displaystyle \Sigma \subset X}$определяя Хегор из , который является симплектическим благодаря наблюдениям Атии и Ботт.${\displaystyle X}$

По аналогии с гомологиями инстантонов Флоера можно определить гомологии Зайберга – Виттена Флоера, в которых инстантоны заменяются решениями уравнений Зайберга – Виттена . По работе Клиффорд Таубса это , как известно, изоморфны встроенная контактной гомологии и впоследствии Хегор Флоер гомологии.

Калибровочная теория в четырех измерениях [ править ]

Калибровочная теория наиболее интенсивно изучается в четырех измерениях. Здесь математическое исследование калибровочной теории существенно пересекается с ее физическим происхождением, поскольку стандартную модель физики элементарных частиц можно рассматривать как квантовую теорию поля в четырехмерном пространстве - времени . Изучение проблем калибровочной теории в четырех измерениях естественным образом ведет к изучению топологической квантовой теории поля . Такие теории являются физическими калибровочными теориями, которые нечувствительны к изменениям в римановой метрике лежащего в основе четырехмерного многообразия и поэтому могут использоваться для определения топологических (или гладких структурных) инвариантов многообразия.

Уравнения анти-самодуальности [ править ]

В четырех измерениях уравнения Янга – Миллса допускают упрощение уравнений антиавтодуальности первого порядка для связности на главном расслоении над ориентированным римановым четырехмерным многообразием . ^[17] Эти решения уравнений Янга – Миллса представляют собой абсолютные минимумы функционала Янга – Миллса, а более высокие критические точки соответствуют решениям, которые не возникают из анти-самодвойственных связей. Пространство модулей решений уравнений антиавтодуальности,, позволяет получить полезные инварианты относительно лежащего в основе четырехмерного многообразия. ${\displaystyle \star F_{A}=-F_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$

Эта теория является наиболее эффективной в том случае , когда это односвязный . Например, в этом случае теорема Дональдсона утверждает, что если четырехмерное многообразие имеет отрицательно определенную форму пересечения (4-многообразие) и если основное расслоение имеет структурную группу, специальную унитарную группу и второй класс Черна , то пространство модулей равно пяти -мерный и дает кобордизм между собой и несвязное объединение копий${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b_{2}(X)}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$с обратной ориентацией. Отсюда следует, что форма пересечения такого четырехмерного многообразия диагонализуема. Существуют примеры односвязных топологических четырехмерных многообразий с недиагонализуемой формой пересечения, такие как многообразие E8 , поэтому из теоремы Дональдсона следует существование топологических четырехмерных многообразий без гладкой структуры . Это резко контрастирует с двумя или тремя измерениями, в которых топологические структуры и гладкие структуры эквивалентны: любое топологическое многообразие размерности меньше или равной 3 имеет уникальную гладкую структуру.

Сходные методы были использованы Клиффордом Таубсом и Дональдсоном, чтобы показать, что евклидово пространство допускает несчетное бесконечное множество различных гладких структур. Это резко контрастирует с любым другим измерением, кроме четырех, где евклидово пространство имеет уникальную гладкую структуру.${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Расширение этих идей приводит к теории Дональдсона , которая строит дальнейшие инварианты гладких четырехмерных многообразий из пространств модулей связности над ними. Эти инварианты получаются путем сравнения классов когомологий на пространстве модулей с фундаментальным классом , который существует благодаря аналитической работе Карен Уленбек , Таубса и Дональдсона, показывающей ориентируемость и компактность пространства модулей .

Когда четырехмерное многообразие является кэлеровым многообразием или алгебраической поверхностью и главное расслоение имеет исчезающий первый класс Черна, уравнения антиавтодуальности эквивалентны эрмитовым уравнениям Янга – Миллса на комплексном многообразии . Соответствие Кобаяши – Хитчина, доказанное для алгебраических поверхностей Дональдсоном и, в общем, Уленбеком и Яу, утверждает, что решения уравнений HYM соответствуют стабильным голоморфным векторным расслоениям . В этой работе дано альтернативное алгебраическое описание пространства модулей и его компактификации, поскольку пространство модулей полустабильных голоморфных векторных расслоений над комплексным многообразием является проективным многообразием${\displaystyle X}$, и поэтому компактный. Это указывает на то, что одним из способов компактификации пространства модулей связностей является добавление связностей, соответствующих полустабильным векторным расслоениям, так называемых почти эрмитовых связностях Янга – Миллса .

Уравнения Зайберга – Виттена [ править ]

В ходе исследования суперсимметрии в четырех измерениях Эдвард Виттен и Натан Зайберг открыли систему уравнений, которая теперь называется уравнениями Зайберга – Виттена, для связности и спинорного поля . ^[11] В этом случае четыре-многообразие должно признать Спин C структуру , которая определяет основной Спин ^C пучок с определителем линейного расслоением , и связанное с ним спинорным расслоением . Соединение на и спинорное поле . Уравнения Зайберга – Виттена имеют вид${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle P}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S^{+}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \psi \in \Gamma (S^{+})}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{+}=\psi \otimes \psi ^{*}-{\frac {1}{2}}|\psi |^{2}\\d_{A}\psi =0.\end{cases}}}$

Решения уравнений Зайберга – Виттена называются монополями. Пространство модулей решений уравнений Зайберга – Виттена, где означает выбор структуры Spin, используется для вывода инвариантов Зайберга – Виттена. Уравнения Зайберга – Виттена имеют преимущество перед уравнениями антиавтодуальности в том, что сами уравнения могут быть немного изменены, чтобы придать пространству модулей решений лучшие свойства. Для этого к первому уравнению добавляется произвольная самодуальная двойная форма. Для общего выбора метрики на нижележащем четырехмерном многообразии и выбора возмущающей двумерной формы пространство модулей решений является компактным гладким многообразием. В хороших условиях (когда многообразие имеет простой тип${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$) это пространство модулей нульмерно: конечный набор точек. Инвариант Зайберга – Виттена в этом случае - это просто количество точек в пространстве модулей. Инварианты Зайберга – Виттена могут использоваться для доказательства многих из тех же результатов, что и инварианты Дональдсона, но часто с более простыми доказательствами, которые применяются в более общем виде.

Калибровочная теория в высших измерениях [ править ]

Эрмитовы уравнения Янга – Миллса [ править ]

Конкретный класс связностей Янга – Миллса можно изучать над кэлеровыми или эрмитовыми многообразиями . Эрмитовы уравнения Янга – Миллса обобщают уравнения антиавтодуальности, возникающие в четырехмерной теории Янга – Миллса, на голоморфные векторные расслоения над эрмитовыми комплексными многообразиями в любой размерности. If - голоморфное векторное расслоение над компактным кэлеровым многообразием и является эрмитовой связностью на относительно некоторой эрмитовой метрики . Эрмитовы уравнения Янга – Миллса имеют вид${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{cases}F_{A}^{0,2}=0\\\Lambda _{\omega }F_{A}=\lambda (E)\operatorname {Id} _{E},\end{cases}}}$

где - топологическая постоянная, зависящая от . Их можно рассматривать либо как уравнение для эрмитовой связности, либо как для соответствующей эрмитовой метрики с ассоциированной связностью Черна . В четырех измерениях уравнения HYM эквивалентны уравнениям ASD. В двух измерениях уравнения HYM соответствуют уравнениям Янга – Миллса, рассмотренным Атьей и Боттом. Соответствие Кобаяши – Хитчина утверждает, что решениям уравнений HYM соответствуют полистабильные голоморфные векторные расслоения. В случае компактных римановых поверхностей это теорема Нарасимхана и Сешадри, доказанная Дональдсоном. Для алгебраических поверхностей${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$это было доказано Дональдсоном, и в целом это было доказано Карен Уленбек и Шинг-Тунг Яу . ^{[13] [14]} Эта теорема обобщена в неабелевой теореме Ходжа Симпсона и фактически является ее частным случаем, когда поле Хиггса расслоения Хиггса установлено равным нулю. ^[25]${\displaystyle (E,\Phi )}$

Исключительные инстантоны голономии [ править ]

Эффективность решений уравнений Янга – Миллса при определении инвариантов четырехмерных многообразий вызвала интерес к тому, что они могут помочь различать исключительные многообразия голономии, такие как многообразия G2 размерности 7 и многообразия Spin (7) размерности 8, а также связанные структуры, такие как 6-многообразия Калаби – Яу и почти кэлеровы многообразия . ^{[35] [36]}

Теория струн [ править ]

Новые теоретико-калибровочные проблемы возникают из моделей теории суперструн . В таких моделях Вселенная 10-мерная, состоящая из четырех измерений регулярного пространства-времени и 6-мерного многообразия Калаби – Яу. В таких теориях поля, действующие на струны, живут на расслоениях над этими многомерными пространствами, и нас интересуют калибровочно-теоретические проблемы, связанные с ними. Например, предел естественных теорий поля в теории суперструн, когда радиус струны приближается к нулю (так называемый предел большого объема ) на 6-мерном многообразии Калаби – Яу, задается эрмитовыми уравнениями Янга – Миллса на этом многообразии. Уходя от предела большого объема, получаем деформированное эрмитово уравнение Янга – Миллса , описывающее уравнения движения дляD-брана в B-модели теории суперструн. Зеркальная симметрия предсказывает, что решения этих уравнений должны соответствовать специальным лагранжевым подмногообразиям зеркально двойственного Калаби – Яу. ^[37]

См. Также [ править ]

• Калибровочная теория
• Введение в калибровочную теорию
• Калибровочная группа (математика)
• Теория Янга – Миллса
• Уравнения Янга – Миллса

Ссылки [ править ]