Геометрический анализ - это математическая дисциплина, в которой инструменты из дифференциальных уравнений , особенно эллиптических уравнений в частных производных , используются для получения новых результатов в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии . Использование линейных эллиптических уравнений в частных производных восходит, по крайней мере, еще к теории Ходжа . Совсем недавно, это относится в основном к использованию нелинейных дифференциальных уравнений в частных изучения геометрических и топологических свойств пространств, таких как подмногообразий в евклидовом пространстве , римановых многообразий и симплектических многообразий. Такой подход восходит к работе Тибор Радо и Джесси Дуглас на минимальных поверхностях , Нэш - младший на изометрических вложениях в римановых многообразий в евклидовом пространстве, работе Луи Ниренбергом по проблеме Минковского и проблемы Вейля и работе Александра Даниловича Александров и Алексей Погорелов о выпуклых гиперповерхностях . В 80-е годы фундаментальные работы Карен Уленбек , [1] Клиффорд Таубс , Шинг-Тунг Яу ,Ричард Шон и Ричард Гамильтон положили начало особенно захватывающей и продуктивной эре геометрического анализа, которая продолжается и по сей день. Прославленный достижением стало решение гипотезы Пуанкаре по Григорием Перельманом , завершив программу по инициативе и в значительной степени осуществляется Ричард Гамильтон.
Сфера [ править ]
Объем геометрического анализа включает в себя как использование геометрических методов при изучении дифференциальных уравнений в частных производных (когда это также известно как «геометрические уравнения в частных производных »), так и применение теории уравнений в частных производных к геометрии. Он включает в себя задачи, связанные с кривыми и поверхностями или областями с искривленными границами, а также изучение римановых многообразий в произвольной размерности. Исчисление вариаций иногда рассматриваются как часть геометрического анализа, так как дифференциальные уравнения , возникающие из вариационных принципов имеют сильное геометрическое содержание. Геометрический анализ также включает глобальный анализ , который касается изучения дифференциальных уравнений на многообразиях., и связь между дифференциальными уравнениями и топологией .
Ниже приводится неполный список основных тем геометрического анализа:
- Калибровочная теория
- Гармонические карты
- Метрики Кэлера – Эйнштейна
- Средняя кривизна потока
- Минимальные подмногообразия
- Теоремы о положительной энергии
- Псевдоголоморфные кривые
- Риччи поток
- Проблема Ямабе
- Уравнения Янга – Миллса
Ссылки [ править ]
- ^ Джексон, Аллин. (2019). Основатель геометрического анализа удостоен премии Абеля Дата обращения 20 марта 2019.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Шен, Ричард ; Яу, Шинг Тунг (2010). Лекции по дифференциальной геометрии . Международная пресса Бостона. ISBN 978-1-571-46198-8.
- Эндрюс, Бен (2010). Поток Риччи в римановой геометрии: полное доказательство теоремы о дифференцируемой 1/4-сферической сфере (1-е изд.). Springer. ISBN 978-3-642-16285-5. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-25907-7. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4815-9.
- Хельгасон, Сигурдур (2000). Группы и геометрический анализ (интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции) (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2673-7. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Хельгасон, Сигурдур (2008). Геометрический анализ на симметричных пространствах (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4530-1.
