Шинг-Тунг Яу

Шинг-Тунг Яу
Родившийся	(1949-04-04) 4 апреля 1949 г. (71 год) Шаньтоу , Гуандун , Китай
Национальность	США (с 1990 г.)
Альма-матер	Китайский университет Гонконга (бакалавриат, 1969) Калифорнийский университет, Беркли (доктор философии, 1971)
Известен	Гипотеза Калаби Многообразие Калаби – Яу Теорема о положительной энергии Гипотеза SYZ Гипотеза Яу
Супруг (а)	Ю-Юнь Куо
Дети	два
Награды	Премия Джона Дж. Карти (1981) Премия Веблена (1981) Медаль Филдса (1982) Премия Крафорда (1994) Национальная медаль науки (1997) Приз Вольфа (2010)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Гарвардский университет Стэнфордский университет Институт перспективных исследований Университета Стоуни-Брук Калифорнийский университет, Сан-Диего
Докторант	Шиинг-Шен Черн
Докторанты	Ричард Шоен (Стэнфорд, 1977) Роберт Бартник (Принстон, 1983) Марк Стерн (Принстон, 1984) Хуай-Донг Цао (Принстон, 1986) Ганг Тянь (Гарвард, 1988) Джун Ли (Стэнфорд, 1989) Личжэнь Цзи (Северо-Восток, 1991) ) Кефенг Лю (Гарвард, 1993) Му-Тао Ван (Гарвард, 1998) Чиу-Чу Мелисса Лю (Гарвард, 2002)

Шинг-Тунг Яу ( / j aʊ / ; китайский :丘成桐; пиньинь : Qiū Chéngtóng ; родился 4 апреля 1949 г.) - американский математик и профессор математики Гарвардского университета Уильям Каспар Граустейн . ^[1]

Яу родился в Шаньтоу , Китай, в молодом возрасте переехал в Гонконг, а в 1969 году - в Соединенные Штаты. В 1982 году он был награжден медалью Филдса в знак признания его вклада в уравнения в частных производных , гипотезу Калаби и положительные результаты. энергетическая теорема и уравнение Монжа – Ампера . ^[2] Яу считается одним из основных участников развития современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Влияние работы Яу можно увидеть в математических и физических областях дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных ,выпуклая геометрия , алгебраическая геометрия , перечислительная геометрия , зеркальная симметрия , общая теория относительности и теория струн , в то время как его работа также затрагивает прикладную математику , инженерию и численный анализ .

Биография [ править ]

Яу родился в Шаньтоу , Гуандун , Китай, в семье хакка из округа Цзяолин . У него семеро братьев и сестер, в том числе Стивен Шинг-Тунг Яу , также математик. ^[3] Когда ему было всего несколько месяцев, его семья переехала в Гонконг .

Отец Яу, Яу Ченин, был патриотическим профессором китайской философии, который работал против вторжения японцев. Под влиянием своего отца Яу приобрел обширные познания в классической китайской литературе и истории, в результате чего было написано эссе « Математика и китайская литература» (數學 和 中國 文學 的 比較) со ссылкой на « Сон в Красной палате» и Ван Гоуэй , объясняющее структурная взаимосвязь между математикой и китайской литературой, опубликованная в 2006 году. Его мать была из округа Мэй . ^{[ необходима цитата ]}

После окончания средней школы Pui Ching он изучал математику в Китайском университете Гонконга с 1966 по 1969 год. Яу уехал в Калифорнийский университет в Беркли осенью 1969 года, где получил степень доктора философии. в математике два года спустя под руководством Шиинг-Шен Черн . Он проработал год в Институте перспективных исследований в Принстоне, прежде чем в 1972 году поступил в Университет Стоуни-Брук в качестве доцента. В 1974 году он стал адъюнкт-профессором Стэнфордского университета . ^[4]

В 1978 году Яу стал «лицом без гражданства» после того, как британское консульство отменило его вид на жительство в Гонконге из-за его статуса постоянного резидента США . ^{[5] [a]} Относительно своего статуса при получении медали Филдса в 1982 году Яу заявил: «Я с гордостью могу сказать, что, когда я был награжден медалью Филдса по математике, у меня не было паспорта какой-либо страны, и я определенно должен считаться китайцем. " ^[6] Яу оставался «лицом без гражданства» до 1990 года, когда он получил гражданство США. ^{[5] [7]}

С 1984 по 1987 год работал в Калифорнийском университете в Сан-Диего . ^[8] С 1987 года он работает в Гарвардском университете . ^[9]

Технический вклад в математику [ править ]

Яу внес свой вклад в развитие современной дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Как сказал Уильям Терстон в 1981 году: ^[10]

У нас редко была возможность стать свидетелями зрелища работы одного математика, повлиявшего за короткий промежуток времени на направление целых областей исследований. В области геометрии один из самых замечательных примеров такого явления за последнее десятилетие - это вклад Шинг-Тунг Яу.

Гипотеза Калаби [ править ]

В 1978 году, изучая комплексное уравнение Монжа – Ампера , Яу разрешил гипотезу Калаби , выдвинутую Эудженио Калаби в 1954 году. ^[Y78a] Это показало, что метрики Кэлера-Эйнштейна существуют на любом замкнутом кэлеровом многообразии , первый класс Черна которого неположителен. . Метод Яу основывался на нахождении соответствующих адаптаций более ранних работ Калаби, Юргена Мозера и Алексея Погорелова , разработанных для квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных и вещественного уравнения Монжа – Ампера , к постановке комплексного уравнения Монжа-Ампера.^{[11] [12] [13]}

В дифференциальной геометрии теорема Яу важна для доказательства общего существования замкнутых многообразий специальной голономии ; любое односвязное замкнутое кэлерово многообразие, являющееся плоским Риччи, должно иметь свою группу голономии, содержащуюся в специальной унитарной группе , согласно теореме Амброуза-Зингера . Примеры компактных римановых многообразий с другими специальными группами голономии были найдены Домиником Джойсом и Питером Кронхеймером , хотя никаких предложений об общих результатах существования, аналогичных гипотезе Калаби, не было успешно идентифицировано в случае других групп. ^{[14] [15]}

В алгебраической геометрии , существование канонических метрик в соответствии с предложением Калаби позволяет дать столь же канонические представитель характеристических классов с помощью дифференциальных форм . Благодаря первоначальным попыткам Яу опровергнуть гипотезу Калаби, показав, что она приведет к противоречиям в таких контекстах, он смог сделать поразительные следствия своей основной теоремы. ^[Y77] В частности, из гипотезы Калаби следует неравенство Мияока – Яу о числах Черна поверхностей, а также гомотопические характеристики комплексных структур комплексной проективной плоскости и частных двумерного комплексного единичного шара..

В теории струн в 1985 году Филипом Канделасом , Гэри Горовицем , Эндрю Строминджером и Эдвардом Виттеном было обнаружено, что многообразия Калаби-Яу из-за их особой голономии являются подходящими конфигурационными пространствами для суперструн. ^[16] По этой причине теорема Яу о существовании многообразий Калаби-Яу считается фундаментальной в современной теории струн.

Скалярная кривизна и теорема положительной энергии [ править ]

Теорема о положительной энергии, полученная Яу в сотрудничестве со своим бывшим докторантом Ричардом Шоном , часто описывается в физических терминах:

В общей теории относительности Эйнштейна гравитационная энергия изолированной физической системы неотрицательна.

Однако это точная теорема дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Подход Шона и Яу основан на их изучении римановых многообразий положительной скалярной кривизны, что само по себе представляет интерес.

Шен и Яу определили простой, но новый способ включения уравнений Гаусса-Кодацци во вторую формулу вариации для площади стабильной минимальной гиперповерхности трехмерного риманова многообразия, которая по теореме Гаусса-Бонне сильно ограничивает возможную топологию такая поверхность, когда трехмерное многообразие имеет положительную скалярную кривизну.

Шен и Яу использовали это наблюдение, найдя новые конструкции стабильных минимальных гиперповерхностей с различными контролируемыми свойствами. Некоторые из результатов их существования были разработаны одновременно с известными результатами Джонатана Сакса и Карен Уленбек . ^[17] Их самый известный результат - это установка некоторых асимптотически плоских наборов начальных данных в общей теории относительности , где они показали, что отрицательность массы позволяет использовать проблему Плато.построить стабильные минимальные поверхности, топология которых противоречит расширению их первоначального наблюдения по теореме Гаусса-Бонне. Это противоречие доказало риманову формулировку теоремы о положительной массе в общей теории относительности.

Шен и Яу расширили это до стандартной лоренцевой формулировки теоремы о положительной массе, изучив уравнение в частных производных, предложенное Понг-Су Янгом. Они доказали, что решения уравнения Джанга существуют вдали от видимых горизонтов черных дыр, на которых решения могут расходиться до бесконечности. Связывая геометрию лоренцевского набора начальных данных с геометрией графика решения уравнения Янга, интерпретируемого как риманов набор начальных данных, Шен и Яу свели общую лоренцеву формулировку теоремы о положительной массе к ранее доказанной Риманова формулировка.

Из-за использования теоремы Гаусса-Бонне эти результаты первоначально были ограничены случаем трехмерных римановых многообразий и четырехмерных лоренцевых многообразий. Шен и Яу установили индукцию по размерности, построив римановы метрики положительной скалярной кривизны на минимальных гиперповерхностях римановых многообразий, имеющих положительную скалярную кривизну. Такие минимальные гиперповерхности, которые были построены с помощью геометрической теории меры по Фредерик Альмгреного и Герберт Федерер, обычно не являются гладкими в больших размерностях, поэтому эти методы непосредственно применимы только для римановых многообразий размерности меньше восьми. В 2017 году Шен и Яу опубликовали препринт, в котором утверждают, что разрешают эти трудности, тем самым доказывая индукцию без ограничения размерности и проверяя теорему Римана о положительной массе в произвольной размерности.

Принцип максимума Омори-Яу [ править ]

В 1975 году Яу частично расширил результат Хидеки Омори, который позволяет применять принцип максимума к некомпактным пространствам, где существование максимумов не гарантируется. ^{[18] [Y75]}

Пусть ( М , г ) быть полным и гладким риманова многообразие, кривизна Риччи ограничена снизу, и пусть U быть С ² функция на M , которая ограничена сверху. Тогда существует последовательность p _k в M такая, что

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }u(p_{k})=\sup _{M}u,\qquad \lim _{k\to \infty }{\big |}du(p_{k}){\big |}_{g}\to 0,\qquad \limsup _{k\to \infty }\Delta ^{g}u(p_{k})\leq 0.}$

Формулировка Омори потребовала более ограничительного предположения, что секционные кривизны g ограничены снизу константой, хотя она позволила сделать более сильный вывод, в котором лапласиан u может быть заменен его гессианом.

Прямое применение принципа Омори-Яу, опубликованное в 1978 году, дает Яу обобщение классической леммы Шварца о комплексном анализе. ^[Y78b]

Ченг и Яу показали, что предположение о кривизне Риччи в принципе максимума Омори-Яу может быть заменено предположением о существовании гладких срезающих функций определенной управляемой геометрии. ^[CY75] Используя это как основной инструмент для расширения некоторых работ Яу по доказательству гипотезы Калаби, они смогли построить комплексно-геометрические аналоги модели гиперболического пространства Пуанкаре-шара . В частности, они показали, что полные метрики Кэлера-Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны существуют на любом ограниченном, гладком и строго псевдовыпуклом подмножестве конечномерного комплексного векторного пространства. ^{[80 тирг.]}

Дифференциальные неравенства Гарнака [ править ]

В статье Яу о принципе максимума Омори-Яу его основным приложением было установление оценок градиента для ряда эллиптических уравнений в частных производных второго порядка . ^[Y75] Для полного и гладкого риманова многообразия ( M , g ) и функции f на M, удовлетворяющей условию, связывающему Δ f с f и df , Яу применил принцип максимума к таким выражениям, как

${\displaystyle u={\frac {f+c_{1}}{\sqrt {|df|_{g}^{2}+c_{2}}}}}$

чтобы показать, что u должно быть ограничено снизу положительной константой. Такой вывод составляет верхнюю границу размера градиента log ( f + c ₁ ) .

Эти новые оценки стали называться «дифференциальными неравенствами Гарнака», поскольку они могут быть проинтегрированы по произвольным путям в M для восстановления неравенств, которые имеют форму классических неравенств Гарнака , напрямую сравнивая значения решения дифференциального уравнения при двух разные точки ввода.

Используя исследование Калаби функции расстояния на римановом многообразии ^[19], Яу и Шиу-Юэн Ченг дали мощную локализацию оценок градиента Яу, используя те же методы для упрощения доказательства принципа максимума Омори-Яу. ^[CY75] Такие оценки широко цитируются в частном случае гармонических функций на римановом многообразии, хотя оригинальные результаты Яу и Ченг-Яу охватывают более общие сценарии.

В 1986 году Яу и Питер Ли использовали те же методы для изучения параболических уравнений в частных производных на римановых многообразиях. ^[LY86] Ричард Гамильтон обобщил свои результаты в определенных геометрических условиях на матричные неравенства. ^[20] Аналоги неравенств Ли-Яу и Гамильтона-Ли-Яу имеют большое значение в теории потоков Риччи , где Гамильтон доказал матричное дифференциальное неравенство Гарнака для оператора кривизны некоторых потоков Риччи, а Григорий Перельман доказал дифференциальное неравенство Неравенство Гарнака для решений обратного уравнения теплопроводности в сочетании с потоком Риччи. ^{[21] [22]}

Интересно, что Ченг и Яу смогли использовать свои дифференциальные оценки Гарнака, чтобы показать, что при определенных геометрических условиях замкнутые подмногообразия полных римановых или псевдоримановых пространств сами полны. Например, они показали, что если M - пространственноподобная гиперповерхность пространства Минковского, которая топологически замкнута и имеет постоянную среднюю кривизну, то индуцированная риманова метрика на M является полной. ^[CY76a] Аналогичным образом они показали, что если M - аффинная гиперсфера аффинного пространства, которое топологически замкнуто, то индуцированная аффинная метрика на M является полной. ^[CY86] Такие результаты достигаются путем вывода дифференциального неравенства Гарнака для функции (квадрата) расстояния до данной точки и интегрирования по внутренне заданным путям.

Теорема Дональдсона-Уленбека-Яу [ править ]

В 1985 году Саймон Дональдсон показал, что если M - неособое проективное многообразие комплексной размерности два, то голоморфное векторное расслоение над M допускает эрмитову связность Янга-Миллса тогда и только тогда, когда расслоение устойчиво. ^[23] Результат Яу и Карен Уленбек обобщил результат Дональдсона, позволив M быть компактным кэлеровым многообразием любой размерности. ^[UY86] Метод Уленбека-Яу основывался на эллиптических уравнениях в частных производных, в то время как в методе Дональдсона использовались параболические уравнения в частных производных, примерно параллельно с эпохальной работой Иллса и Сэмпсона по гармоническим картам .^[24]

С тех пор результаты Дональдсона и Уленбека-Яу были расширены другими авторами. ^[25] Статья Уленбека и Яу важна тем, что дает четкое объяснение того, что устойчивость голоморфного векторного расслоения может быть связана с аналитическими методами, используемыми при построении эрмитовой связности Янга-Миллса. Существенный механизм состоит в том, что если аппроксимирующая последовательность эрмитовых связей не может сходиться к требуемой связности Янга-Миллса, то их можно масштабировать, чтобы сходиться к подпучку, который можно проверить как дестабилизирующий с помощью теории Черна-Вейля .

Теорема Дональдсона-Уленбека-Яу, связывающая существование решений геометрического уравнения в частных производных с алгебро-геометрической устойчивостью, может рассматриваться как предшественник более поздней гипотезы Яу-Тиан-Дональдсона, обсуждаемой ниже.

Геометрические вариационные задачи [ править ]

В 1982 году Ли и Яу доказали следующее утверждение:

Пусть f  : M → S ³ - гладкое погружение, не являющееся вложением. Если S ³ задана его стандартная риманова метрика и M - замкнутая гладкая двумерная поверхность, то

${\displaystyle \int _{M}H^{2}\,d\mu \geq 8\pi }$

где Н является средней кривизной по е и дЙ является индуцированным риманова формой объема на М .

Это дополняется результатом 2012 года Фернандо Маркеса и Андре Невеса , в котором говорится, что в альтернативном случае, когда f является гладким вложением S ¹ × S ¹ , то заключение верно с заменой 8π на 2π ² . ^[26] Вместе эти результаты составляют гипотезу Уиллмора , первоначально сформулированную Томасом Уиллмором в 1965 году.

Хотя их предположения и выводы схожи, методы Ли-Яу и Маркеса-Невеса различны. Marques и Невиш сделали новое применение Almgren-Pitts мин-макс теории в геометрической теории меры . Ли и Яу ввели новый «конформный инвариант»: для риманова многообразия ( M , g ) и натурального числа n они определяют

${\displaystyle V_{c}{\big (}(M,g),n{\big )}=\inf _{f:M\to S^{n}}\left\{\sup _{F:S^{n}\to S^{n}}{\Big \{}\int _{M}{\big |}d(F\circ \varphi ){\big |}^{2}\,d\mu _{g}:F{\text{ a conformal diffeomorphism}}{\Big \}}:f{\text{ conformal}}\right\}.}$

Основная работа их статьи состоит в том, чтобы связать их конформный инвариант с другими геометрическими величинами. Интересно, что, несмотря на логическую независимость доказательств Ли-Яу и Маркеса-Невеса, они оба опираются на концептуально похожие минимаксные схемы.

Микс и Яу получили некоторые основополагающие результаты о минимальных поверхностях в трехмерных многообразиях, пересмотрев точки, оставшиеся открытыми в более ранних работах Джесси Дугласа и Чарльза Морри . Следуя этим основам, Микс, Саймон и Яу дали ряд фундаментальных результатов о поверхностях в трехмерных римановых многообразиях, которые минимизируют площадь в их классе гомологии. Они смогли подать ряд ярких заявлений. Например:

Если M -ориентируемого 3-многообразие, что каждый гладкий встроенное 2-сфера является границей области диффеоморфна открытым шар в ℝ ³ , то же самое можно сказать и о любой покрывающей пространстве M .

Интересно, что статья Микс-Саймон-Яу и основополагающая статья Гамильтона о потоке Риччи , опубликованные в том же году, имеют общий результат: любое односвязное компактное 3-мерное риманово многообразие с положительной кривизной Риччи диффеоморфно 3-сфере.

Геометрические теоремы жесткости [ править ]

Следующий хорошо известный результат: ^{[27] [28]}

Пусть u - вещественная функция на ℝ ⁿ . Предположим, что график u имеет нулевую среднюю кривизну как гиперповерхность ℝ ^{n +1} . Если n меньше девяти, то это означает, что u имеет вид u ( x ) = a ⋅ x + b , в то время как это утверждение неверно, если n больше или равно девяти.

Ключевым моментом доказательства является отсутствие конических и неплоских устойчивых гиперповерхностей евклидовых пространств малой размерности; это было дано простое доказательство Шеном, Леоном Саймоном и Яу. Учитывая «пороговую» размерность, равную девяти в приведенном выше результате, это несколько удивительный факт из-за Ченга и Яу, что в лоренцевой версии нет размерных ограничений:

Пусть u - вещественная функция на ℝ ⁿ . Предположим, что график u является пространственноподобной гиперповерхностью пространства Минковского ℝ ^{n , 1,} имеющей нулевую среднюю кривизну. Тогда u имеет вид u ( x ) = a ⋅ x + b .

В их доказательстве используется техника принципа максимума, которую они ранее использовали для доказательства дифференциальных оценок Харнака. В статье, опубликованной в 1986 году, они использовали аналогичные методы, чтобы дать новое доказательство классификации полных параболических или эллиптических аффинных гиперсфер.

Адаптировав метод Юргена Мозера для доказательства неравенств Каччопполи, ^[29] Яу доказал новые результаты о жесткости для функций на полных римановых многообразиях, например, показав, что если u - гладкая и положительная функция на полном римановом многообразии, то ∆ u ≥ 0 вместе с L ^р интегрируемости функции и следует , что у должен быть постоянным. Аналогично, на полном кэлеровом многообразии каждая голоморфная комплекснозначная функция, L ^p -интегрируемая, должна быть постоянной.

Путем расширения дифференциального тождества Германа Вейля, использованного при решении проблемы изометрического вложения Вейля, Ченг и Яу получили новые теоремы жесткости, характеризующие гиперповерхности пространственных форм их внутренней геометрией.

Статья Яу 1974 г., согласно обзору Роберта Оссермана , содержит «поразительное разнообразие» результатов о подмногообразиях пространственных форм, которые имеют параллельный вектор средней кривизны или вектор постоянной длины. Основные результаты относятся к уменьшению коразмерности.

Настоящее уравнение Монжа – Ампера [ править ]

В 1953 году Луи Ниренберг дал решение двумерной задачи Минковского классической дифференциальной геометрии. В 1976 и 1977 годах Ченг и Яу дали решения многомерной задачи Минковского и краевой задачи для уравнения Монжа – Ампера . В их решении уравнения Монжа – Ампера использовалась проблема Минковского с помощью преобразования Лежандра, наблюдение состоит в том, что преобразование Лежандра решения уравнения Монжа – Ампера имеет гауссову кривизну своего графика, заданную простой формулой, зависящей от «правой части» уравнения Монжа – Ампера. Этот подход больше не часто встречается в литературе по уравнению Монжа – Ампера, в которой обычно используются более прямые, чисто аналитические методы. Тем не менее статьи Ченга и Яу были первыми опубликованными результатами, которые полностью разрешили эти результаты; в схематической форме они следовали более ранним работам Алексея Погорелова , хотя в его опубликованных работах не были затронуты некоторые важные технические детали.

Зеркальная симметрия [ править ]

«Многообразие Калаби-Яу» относится к компактному кэлерову многообразию, которое является Риччи-плоским; согласно проверке Яу гипотезы Калаби, такие многообразия существуют. Зеркальная симметрия, предложенная физиками с конца 80-х, постулирует, что многообразия Калаби-Яу комплексной размерности 3 можно сгруппировать в пары, имеющие общие характеристики, такие как числа Эйлера и Ходжа. Основываясь на этой гипотетической картине, физики Филип Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс предложили формулу перечислительной геометрии, которая для любого положительного целого числа d кодирует количество рациональных кривых степени d.в общей квинтике гиперповерхности четырехмерного комплексного проективного пространства. ^[30] Бонг Лянь, Кефенг Лю и Яу дали строгое доказательство того, что эта формула верна. Александр Гивенталь ранее дал доказательство зеркальных формул; согласно Ляню, Лю и Яу, детали его доказательства были успешно дополнены только после их собственной публикации. ^{[31] [32]}

Подходы Гивенталя и Лян-Лю-Яу формально не зависят от гипотетической картины того, можно ли на самом деле сгруппировать трехмерные многообразия Калаби-Яу, как утверждают физики. С Эндрю Строминджером и Эриком ЗаслоуЯу предложил геометрическую картину того, как можно систематически понимать эту группировку. Основная идея состоит в том, что многообразие Калаби-Яу комплексной размерности три должно быть расслоено на «специальные лагранжевы» торы, которые представляют собой определенные типы трехмерных минимальных подмногообразий шестимерного риманова многообразия, лежащих в основе структуры Калаби-Яу. Для одного трехмерного многообразия Калаби-Яу строят его «зеркало», глядя на его слоение на тор, дуализируя каждый тор и реконструируя трехмерное многообразие Калаби-Яу, которое теперь будет иметь новую структуру.

Предложение Строминджера-Яу-Заслоу (SYZ), хотя и не очень точно сформулировано, в настоящее время считается излишне оптимистичным. Надо учитывать различные вырождения и особенности; даже в этом случае до сих пор нет единой точной формы гипотезы SYZ. Тем не менее, его концептуальная картина оказала огромное влияние на изучение зеркальной симметрии, и в настоящее время активно ведутся исследования ее различных аспектов. Это можно противопоставить альтернативному (и не менее влиятельному) предложению Максима Концевича, известному как гомологическая зеркальная симметрия , которое имеет дело с чисто алгебраическими структурами. ^[33]

Спектральная геометрия [ править ]

Для гладкого компактного риманова многообразия с краем или без него спектральная геометрия изучает собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами , который в случае, когда многообразие имеет границу, связан с выбором граничных условий, обычно условий Дирихле или Неймана. Пол Янг и Яу показали, что в случае двумерного многообразия без края первое собственное значение ограничено сверху явной формулой, зависящей только от рода и объема многообразия.

Герман Вейль в 1910-х годах показал, что в случае граничных условий Дирихле на гладком и ограниченном открытом подмножестве плоскости собственные значения имеют асимптотическое поведение, которое полностью определяется площадью, содержащейся в области. В 1960 году Джордж Полиа предположил, что поведение Вейля дает контроль над каждым отдельным собственным значением, а не только над их асимптотическим распределением. Ли и Яу в 1983 году доказали ослабленную версию, управляющую средним значением первых k собственных значений для произвольного k . На сегодняшний день не усредненная гипотеза Пойи остается открытой.

В статье Ли и Яу 1980 г. был дан ряд неравенств для собственных значений (для обоих стандартных типов граничных условий в дополнение к безграничному случаю), все они основаны на принципе максимума и поточечных дифференциальных оценках Гарнака, впервые примененных пятью годами ранее Яу и Ченгом. -Яу.

Формулировка домыслов [ править ]

Яу собрал влиятельное множество открытых проблем в дифференциальной геометрии , в том числе и хорошо известные старых домыслов с новыми предложениями и проблемами. Два из наиболее часто цитируемых списков проблем Яу 1980-х годов были дополнены заметками о последних достижениях по состоянию на 2014 год. ^[34]

Доказательство гипотезы геометризации с помощью потока Риччи [ править ]

В 1982 году Уильям Терстон опубликовал свою знаменитую гипотезу о геометризации , утверждая, что в произвольном замкнутом трехмерном многообразии можно найти вложенные двумерные сферы и торы, которые разделяют трехмерное многообразие на части, допускающие однородные «геометрические» структуры. В том же году Ричард Гамильтон опубликовал свою эпохальную работу о потоке Риччи , используя теорему сходимости для параболического уравнения с частными производными, чтобы доказать, что некоторые неоднородные геометрические структуры на трехмерных многообразиях могут быть деформированы в однородные геометрические структуры.

Хотя его часто приписывают Гамильтону, он заметил, что Яу ответственен за понимание того, что точное понимание несходимости дифференциального уравнения Гамильтона может быть достаточным для доказательства существования соответствующих сфер и торов в гипотезе Терстона. Это понимание стимулировало дальнейшие исследования Гамильтона в 1990-х годах по сингулярностям потока Риччи и завершились препринтами Григория Перельмана по этой проблеме в 2002 и 2003 годах. Гипотеза о геометризации теперь широко признана как решенная благодаря работам Гамильтона и Перельмана. .

Существование минимальных гиперповерхностей [ править ]

В 1981 г. теория мин-макс Альмгрена – Питтса в геометрической теории меры была использована для доказательства существования хотя бы одной минимальной гиперповерхности любого замкнутого гладкого трехмерного риманова многообразия. Яу в 1982 году предположил, что всегда должно существовать бесконечно много таких погруженных гиперповерхностей. Кей Ири, Фернандо Кода Маркес и Андре Невес решили эту проблему для многообразий размерностей от трех до семи в общем случае. ^[35] Антуан Сонг позже выпустил препринт (еще не опубликованный), в котором утверждалось, что гипотеза Яу верна без предположения об универсальности в том же диапазоне измерений. ^[36]

Метрики Кэлера – Эйнштейна и устойчивость комплексных многообразий [ править ]

Решение Яу гипотезы Калаби дало по существу полный ответ на вопрос о том, как кэлеровы метрики на комплексных многообразиях неположительного первого класса Черна могут быть деформированы в метрики Кэлера-Эйнштейна. Акито Футаки показал, что существование голоморфных векторных полей может служить препятствием для распространения этих результатов на случай, когда комплексное многообразие имеет положительный первый класс Черна. Предложение Калаби, появившееся в «Проблемном разделе» Яу, заключалось в том, что метрики Кэлера-Эйнштейна существуют на любых компактных кэлеровых многообразиях с положительным первым классом Черна, которые не допускают голоморфных векторных полей. В течение 1980-х Яу пришел к выводу, что этого критерия недостаточно, и что существование метрик Келера-Эйнштейна в этой ситуации должно быть связано со стабильностью комплексного многообразия в смыслегеометрическая теория инвариантов . Понимание Яу этого вопроса было обновлено в публикации 1990-х годов «Открытые задачи геометрии». Последующие исследования Ганг Тиана и Саймона Дональдсона уточнили эту гипотезу, которая стала известна как «гипотеза Яу-Тиан-Дональдсона». Проблема была решена в 2015 году благодаря Сюксюн Чену , Дональдсону и Сон Сану , которые были удостоены премии Освальда Веблена за свою работу. ^{[37] [38] [39]}

Узловые наборы собственных функций [ править ]

В 1980 году Яу предположил, что на гладком замкнутом римановом многообразии размер нулевого набора собственных функций лапласиана будет расти со скоростью цены в соответствии с размером собственного значения. После ряда частичных результатов гипотеза была решена в 2018 году Александром Логуновым и Евгенией Малинниковой , которые были награждены премией Clay Research отчасти за свою работу. ^{[40] [41] [42] [43] [44]}

Другое [ править ]

Другим важным вкладом Яу является разрешение гипотезы Франкеля с помощью Юм-Тонг Сиу (более общее решение, полученное благодаря Шигефуми Мори и расширение благодаря Нгаимингу Моку ), работа с Уильямом Миксом над вложенностью и эквивалентностью решений проблемы Плато. (которая стала ключевой частью решения гипотезы Смита в геометрической топологии ), частичное расширение гипотезы Калаби на некомпактные параметры с Ганг Тианом и исследование существования больших сфер постоянной средней кривизны в асимптотически плоских римановых многообразиях с Герхард Хёйскен.

Некоторые из недавних заметных вкладов Яу включают работу с Цзи-Сян Фу и Цзюнь Ли над системой Строминджера , работу с Юн Линем по кривизне графов Риччи, работу с Кефенг Лю и Сяофэн Сунь над геометрией пространства модулей римановых поверхностей. , работать с Дарио Мартелли и Джеймсом Спарксом над метриками Сасаки – Эйнштейна и работать с Му-Тао Вангом над сохраняющимися величинами в общей теории относительности .

Инициативы в Китае и Тайване [ править ]

После того, как Китай вступил в эру реформ и открытости , Яу повторно посетил Китай в 1979 году по приглашению Хуа Луогэна .

Чтобы помочь в развитии китайской математики, Яу начал обучать студентов из Китая. Затем он начал создавать математические исследовательские институты и центры, организовывать конференции на всех уровнях, инициировать программы широкого охвата и собирать частные средства для этих целей. Джон Коутс прокомментировал успех Яу в сборе средств. ^[45] Первой из инициатив Яу является Институт математических наук Китайского университета Гонконга в 1993 году. Его цель - «организовать деятельность, связанную с широким спектром областей, включая как чистую, так и прикладную математику, научные вычисления , обработку изображений. , математическая физика и статистика. Акцент делается на взаимодействии и связях с физическими науками , инженерией , промышленностью и торговлей ».

Вторая крупная инициатива Яу - это Центр математики Морнингсайд в Пекине, основанный в 1996 году. Часть денег на строительство и регулярную работу Яу собрала из фонда Морнингсайд в Гонконге. Яу также предложил организовать Международный конгресс китайских математиков, который теперь проводится каждые три года. Первый конгресс прошел в Морнингсайд Центре с 12 по 18 декабря 1998 года.

Его третья инициатива - Центр математических наук при Чжэцзянском университете , созданный в 2002 году. Яу является директором всех трех математических институтов и регулярно их посещает.

Яу поехал на Тайвань для участия в конференции в 1985 году. В 1990 году Лю Чао-шиуань , в то время президент Национального университета Цинхуа , пригласил его посетить университет на год. Спустя несколько лет он убедил Лю, тогдашнего председателя Национального научного совета , создать Национальный центр теоретических наук (NCTS), который был основан в Синьчжу в 1998 году. До 2005 года он был председателем Консультативного совета NCTS. .

Профессиональная деятельность и пропаганда [ править ]

В Гонконге при поддержке Ронни Чана Яу учредил премию Hang Lung для старшеклассников. Он также организовывал и участвовал во встречах для старшеклассников и студентов колледжей, таких как групповые дискуссии Почему математика? Спросите Мастеров! в Ханчжоу , июль 2004 г., и «Чудо математики» в Гонконге, декабрь 2004 г. Яу также стал соучредителем серии книг по популярной математике «Математика и математические люди».

Яу организует ежегодную конференцию «Журнал дифференциальной геометрии», а также ежегодную конференцию «Современные достижения математики». Он является директором-основателем Центра математических наук и приложений Гарвардского университета , многопрофильного исследовательского центра. ^[46] Он является главным редактором журнала «Дифференциальная геометрия» , « Азиатский журнал математики» и « Достижения теоретической и математической физики» .

Он рекомендовал более семидесяти кандидатов наук. студенты.

Противоречие гипотезе Пуанкаре [ править ]

В августе 2006 года в статье New Yorker « Manifold Destiny» утверждалось, что Яу преуменьшает значение работы Григория Перельмана по гипотезе Пуанкаре . ^[6] Яу заявил, что эта статья является дискредитирующей , и пригрозил подать в суд. Житель Нью-Йорка поддержал эту историю, и иск не был подан. В сентябре 2006 года Яу создал веб-сайт по связям с общественностью, на котором обсуждались вопросы. Семнадцать математиков, в том числе двое, цитируемые в статье New Yorker , отправили письма с решительной поддержкой. ^[47]

17 октября 2006 года в The New York Times появился более отзывчивый профиль Яу . ^[48] Примерно половину своего текста он посвятил делу Перельмана. В статье говорилось, что Яу оттолкнул некоторых коллег, но представляла позицию Яу, поскольку доказательство Перельмана не было общепринятым, и он «был обязан докопаться до истинности доказательства». ^[49]

Почести и награды [ править ]

Яу получил звание почетного профессора многих китайских университетов, в том числе Хунаньского педагогического университета , Пекинского университета , Нанкайского университета и Университета Цинхуа . Он имеет почетные степени многих международных университетов, включая Гарвардский университет , Китайский университет Гонконга и Университет Ватерлоо . Он является иностранным членом Национальных академий наук Китая, Индии и России.

Среди его наград:

• 1975–1976 гг. - научный сотрудник Sloan .
• 1981, премия Освальда Веблена по геометрии .
• 1981 г., премия Джона Дж. Карти за развитие науки , Национальная академия наук США . ^[50]
• 1982, Медаль Филдса за «его вклад в уравнения в частных производных, в гипотезу Калаби в алгебраической геометрии , в гипотезу о положительной массе общей теории относительности, а также в действительные и комплексные уравнения Монжа – Ампера».
• 1982 г. избран членом Американской академии искусств и наук.
• 1982, Стипендия Гуггенхайма .
• 1984–1985 годы, научный сотрудник Макартура .
• 1991, Премия Гумбольдта за исследования , Фонд Александра фон Гумбольдта , Германия.
• 1993, избран в Национальную академию наук США.
• 1994, Премия Крафорда . ^[51]
• 1997, Национальная медаль США в области науки .
• 2003 г. - Премия Китайского международного научно-технического сотрудничества за «выдающийся вклад в КНР в аспектах достижения прогресса в науке и технологиях, подготовки исследователей».
• 2010 г. - премия Вольфа по математике за «его работы в области геометрического анализа и математической физики». ^[52]
• 2018, награды Марселя Гроссмана за «доказательство положительности полной массы в общей теории относительности, а также за совершенствование концепции квазилокальной массы, за доказательство гипотезы Калаби, за его постоянную вдохновляющую роль в теории относительности. изучение физики черных дыр ". ^[53]

Основные публикации [ править ]

Научные статьи Яу - автор более пятисот статей. Следующий список из двадцати девяти является наиболее цитируемым, как указано выше:

Обзорные статьи

• Яу, Шинг Тунг. Проблемный раздел. Семинар по дифференциальной геометрии, стр. 669–706, Ann. математики. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Принстон, Нью-Джерси, 1982.
• Яу, Шинг Тунг. Обзор уравнений в частных производных в дифференциальной геометрии. Семинар по дифференциальной геометрии, стр. 3–71, Ann. математики. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Принстон, Нью-Джерси, 1982.
• Яу, Шинг-Тунг. Нелинейный анализ в геометрии. Enseign. Математика. (2) 33 (1987), нет. 1-2, 109–158. Также опубликовано как: Monographies de L'Enseignement Mathématique, 33. Série des Conférences de l'Union Mathématique Internationale, 8. L'Enseignement Mathématique, Женева, 1986. 54 с.
• Яу, Шинг-Тунг. Открытые задачи по геометрии. Дифференциальная геометрия: уравнения в частных производных на многообразиях (Лос-Анджелес, Калифорния, 1990), 1–28, Proc. Симпози. Чистая математика., 54, ч. 1, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1993.
• Яу, С.-Т. Обзор геометрии и анализа. Asian J. Math. 4 (2000), нет. 1, 235–278.
• Яу, Шинг-Тунг. Перспективы геометрического анализа. Обзоры по дифференциальной геометрии. Vol. X, 275–379, Surv. Отличаются. Геом., 10, Междунар. Press, Сомервилль, Массачусетс, 2006.
• Избранные толкования Шинг-Тунг Яу с комментариями. Vol. I-II. Под редакцией Личжэнь Цзи, Питер Ли, Кефенг Лю и Ричард Шоен. Дополнительные лекции по математике (ALM), 28-29. International Press, Сомервилль, Массачусетс; Пресса о высшем образовании, Пекин, 2014. xxxii + 703 с .; xxxii + 650 с. ISBN  978-1-57146-293-0 , 978-1-57146-294-7

Учебники и технические монографии

• Schoen, R .; Яу, С.-Т. Лекции по дифференциальной геометрии. Конспекты лекций подготовили Вэй Юэ Дин, Кунг Чинг Чанг [Гун Цин Чжан], Цзя Цин Чжун и И Чао Сюй. Перевод с китайского Дин и С.Ю. Ченг. С предисловием, переведенным с китайского Кайсинг Цо. Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 pp. ISBN 1-57146-012-8 
• Schoen, R .; Яу С.Т. Лекции по гармоническим отображениям. Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии, II. International Press, Кембридж, Массачусетс, 1997. vi + 394 стр. ISBN 1-57146-002-0 
• Салаф, Стивен; Яу, Шинг-Тунг. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Второе издание. International Press, Кембридж, Массачусетс, 1998. vi + 72 стр. ISBN 1-57146-065-9 
• Гу, Сяньфэн Давид; Яу, Шинг-Тунг. Вычислительная конформная геометрия. С 1 CD-ROM (Windows, Macintosh и Linux). Дополнительные лекции по математике (ALM), 3. International Press, Somerville, MA; Пресса о высшем образовании, Пекин, 2008. vi + 295 стр. ISBN 978-1-57146-171-1 

Популярные книги

• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив. Форма внутреннего пространства. Теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Basic Books, Нью-Йорк, 2010. xx + 377 стр. ISBN 978-0-465-02023-2 
• Надис, Стив; Яу, Шинг-Тунг. История вкратце. 150 лет математике в Гарварде (1825–1975). Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 2013. xx + 249 стр. ISBN 978-0-674-72500-3 
• Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив. Форма жизни. Один математик ищет скрытую геометрию Вселенной. Издательство Йельского университета, Нью-Хейвен, Коннектикут, 2019. xvi + 293 стр. ISBN 978-0-300-23590-6 

См. Также [ править ]

• Многообразие Калаби – Яу
• Гипотеза Калаби
• Теорема положительной энергии
• Гипотеза SYZ
• Переписка Кобаяши – Хитчина

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Центр математических наук в Чжэцзянском университете : комментарии различных математиков к Яу
• Discover Magazine Interview, июньский выпуск 2010 г.
• Интервью (11 страниц на традиционном китайском )
• Автобиографический отчет Яу (в основном английский, немного китайский)
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Shing-Tung Yau" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
• Шинг-Тунг Яу на проекте « Математическая генеалогия»
• Устранение пробелов в математике
• Калифорнийский университет в Ирвине ухаживает за Яу, получив должность профессора за 2,5 миллиона долларов
• Международная конференция, посвященная дню рождения Шинг Тунг Яу, 27 августа 2008 г. - 9 января 2008 г., Гарвардский университет