Хуай-Донг Цао

Хуай-Донг Цао (родился 8 ноября 1959 года в Цзянсу ) - китайско-американский математик. Он является профессором математики им . А. Эверетта Питчера в Университете Лихай . Он известен своим вкладом в исследования потока Риччи , темы в области геометрического анализа .

Академическая история [ править ]

Цао получил степень бакалавра в Университете Цинхуа в 1981 году и докторскую степень. из Принстонского университета в 1986 году под руководством Шинг-Тунг Яу .

Цао - бывший заместитель директора Института чистой и прикладной математики (IPAM) Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе. Он был приглашенным профессором в Массачусетском технологическом институте, Гарвардском университете, Институте Исаака Ньютона, Институте Макса Планка, IHES, ETH Zurich и Пизанском университете. Он был управляющим редактором журнала «Дифференциальная геометрия» с 2003 года. Его награды и награды включают:

• Исследовательская стипендия Слоуна (1991–1993 годы)
• Стипендия Гуггенхайма (2004)
• Премия «Выдающийся зарубежный молодой исследователь», присужденная Национальным фондом естественных наук Китая (2005 г.)

Математические материалы [ править ]

Поток Келера-Риччи [ править ]

В 1982 году Ричард С. Гамильтон представил поток Риччи , доказав новую драматическую теорему о геометрии трехмерных многообразий . ^[1] Цао, только что защитивший докторскую диссертацию. исследования под руководством Шинг-Тунг Яу , начали изучать поток Риччи в условиях кэлеровых многообразий . В его докторской степени. В своей диссертации, опубликованной в 1985 году, он показал, что оценки Яу в разрешении гипотезы Калаби могут быть модифицированы в контексте потока Кэлера-Риччи, чтобы доказать теорему сходимости, аналогичную первоначальному результату Гамильтона. ^[2] Это также предоставило параболическую альтернативу методу непрерывности Яу. в доказательстве гипотезы Калаби, хотя большая часть технической работы в доказательствах аналогична.

Работа Перельмана о потоке Риччи [ править ]

Следуя предложению Яу о том, что поток Риччи можно использовать для доказательства гипотезы Уильяма Терстона о геометризации , Гамильтон развил теорию в течение следующих двух десятилетий. В 2002 и 2003 годах Гриша Перельман разместил в arXiv две статьи, в которых он утверждал, что с помощью потока Риччи представил доказательство гипотезы геометризации. ^{[3] [4]} Кроме того, он опубликовал третью статью, в которой дал кратчайший путь к доказательству знаменитой гипотезы Пуанкаре , для которой результаты второй половины второй статьи не нужны. ^[5]Работы Перельмана были немедленно признаны как дающие заметные новые результаты в теории потока Риччи, хотя многие математики не смогли полностью понять технические детали некоторых необычно сложных или кратких разделов его работы.

Брюс Клейнер из Йельского университета и Джон Лотт из Мичиганского университета начали публиковать аннотации к первым двум статьям Перельмана в Интернете в 2003 году, добавляя и изменяя их в течение следующих нескольких лет. Результаты этой работы были опубликованы в академическом журнале в 2008 году. ^[6] Цао сотрудничал с Си-Пин Чжу из Университета Чжуншань , опубликовав в 2006 году экспозицию работ Гамильтона и первых двух статей Перельмана, объясняя их в контексте математическая литература по геометрическому анализу . Джон Морган из Колумбийского университета и Ганг Тиан изВ 2007 году Принстонский университет опубликовал книгу о первой и третьей статье Перельмана, а также о первой половине второй статьи; Позже они опубликовали вторую книгу о второй половине второй статьи Перельмана. ^{[7] [8]}

В аннотации к статье Цао и Чжу говорится:

В этой статье мы даем полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации. Эта работа зависит от накопленных работ многих геометрических аналитиков за последние тридцать лет. Это доказательство следует рассматривать как высшее достижение теории течения Риччи Гамильтона-Перельмана.

с началом введения

В этой статье мы представим теорию потока Риччи Гамильтона-Перельмана. На основе этого мы дадим первое письменное изложение полного доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы о геометризации Терстона. Хотя вся работа является результатом совокупных усилий многих геометрических аналитиков, основные участники, несомненно, - это Гамильтон и Перельман.

Некоторые наблюдатели считали, что Цао и Чжу преувеличивали ценность своей статьи. Кроме того, было обнаружено, что несколько страниц статьи Цао и Чжу были похожи на те, что были в статье Кляйнера и Лотта, что привело к обвинениям в плагиате. Цао и Чжу сказали, что в 2003 году они сделали заметки по этому разделу работы Перельмана из ранних публикаций Кляйнера и Лотта, и что из-за случайной оплошности они не смогли понять источник примечаний при написании своей статьи в 2005 году. ^{[ 9]} Они выпустили исправленную версию своей статьи в arXiv в декабре 2006 года. ^[10]

Солитоны градиента Риччи [ править ]

Градиент Риччи солитон состоит из риманова многообразия ( М , г ) и функции F на М таким образом, что Ric ^г + Гесс ^г е является постоянным кратным г . В частном случае, когда M имеет сложную структуру, g - кэлерова метрика , а градиент f - голоморфное векторное поле, имеется градиентный солитон Кэлера-Риччи . Солитоны Риччи иногда рассматриваются как обобщения метрик Эйнштейна , которые соответствуют случаюf = 0 . Важность градиентных солитонов Риччи для теории течения Риччи была впервые признана Гамильтоном в влиятельной статье 1995 года. ^[11] В анализе Перельмана особенно важны градиентные солитоны Риччи, где постоянный множитель положителен; они называются градиентно сжимающимися солитонами Риччи . Широко цитируется обзор Cao на солитонах Риччи в 2010 году.

В 1996 году Цао изучал градиентные солитоны Кэлера-Риччи под анзацем вращательной симметрии, так что уравнение солитона Риччи сводится к анализу ОДУ . Он показал, что для каждого положительного n существует градиентный устойчивый солитон Кэлера-Риччи на ℂ ^n, который является осесимметричным, полным и положительно искривленным. В случае, когда n равно 1, это восстанавливает сигарный солитон Гамильтона. Цао также показал существование градиентных устойчивых солитонов Кэлера-Риччи на тотальном пространстве канонического расслоения над комплексным проективным пространством, которое является полным, осесимметричным и неотрицательно искривленным. Он построил закрытыепримеры градиентно сжимающихся солитонов Кэлера-Риччи при проективизации некоторых линейных расслоений над комплексным проективным пространством; эти примеры были рассмотрены независимо Норихито Койсо. ^[12] Анзац Цао и Койсо получил дальнейшее развитие в влиятельной статье Михаила Фельдмана, Тома Ильманена и Дэна Кнопфа, а примеры Цао, Койсо и Фельдман-Ильманен-Кнопф были объединены и расширены в 2011 году Эндрю Танцером и Маккензи Ван. ^{[13] [14]}

Используя аргумент Перельмана, Цао и Детанг Чжоу, показали, что полные градиентно сжимающиеся солитоны Риччи имеют гауссовский характер, в том смысле, что для любой заданной точки p на M функция f должна расти квадратично с функцией расстояния до p . Кроме того, объем геодезических шаров вокруг точки p может увеличиваться не более чем полиномиально с увеличением их радиуса. Эти оценки делают возможным интегральный анализ, связанный с полным градиентом сжатия солитонов Риччи, в частности, позволяя использовать e ^{- f} в качестве весовой функции.

Основные публикации [ править ]

• Цао, Хуай Донг. Деформация кэлеровых метрик в кэлеровы метрики на компактных кэлеровых многообразиях. Изобретать. Математика. 81 (1985), нет. 2, 359–372.
• Цао, Хуай-Донг. Существование градиентных солитонов Кэлера-Риччи. Эллиптические и параболические методы в геометрии (Миннеаполис, Миннесота, 1994), 1–16, А.К. Петерс, Уэлсли, Массачусетс, 1996.
• Цао, Хуай-Донг; Чжу, Си-Пин. Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи. Asian J. Math. 10 (2006), нет. 2, 165–492.
• Цао, Хуай-Донг. Недавние успехи в солитонах Риччи. Последние достижения в геометрическом анализе, 1–38, Adv. Лект. Математика. (ALM), 11, Междунар. Press, Сомервилль, Массачусетс, 2010.
• Цао, Хуай-Донг; Чжоу, Детанг. О полном градиенте сжатия солитонов Риччи. J. Differential Geom. 85 (2010), нет. 2, 175–185.

Ссылки [ править ]