Ричард С. Гамильтон

Ричард Гамильтон
Гамильтон в 1982 году
Родившийся	( 1943-12-19 )19 декабря 1943 г. (77 лет) Цинциннати, Огайо , США
Национальность	Американец
Альма-матер	Йельский университет Принстонский университет
Известен	Поток Риччи Гамильтона Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке Теорема Гейджа-Гамильтона-Грейсона Неравенства Ли-Яу-Гамильтона Теорема Нэша-Мозера
Награды	Премия Веблена (1996) Премия за исследования глины (2003) Приз Лероя П. Стила (2009) Приз Шоу (2011)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Корнельский университет Калифорнийский университет, Колумбийский университет Сан-Диего
Тезис	Вариация структуры на римановых поверхностях  (1969)
Докторант	Роберт Ганнинг
Докторанты	Мартин Ло

Ричард Стрейт Гамильтон (родился 19 декабря 1943 г.) - профессор математики в Колумбийском университете Дэвиса . Он известен вкладом в геометрический анализ и уравнения в частных производных . Он сделал вклад в фундаментальные теории Риччи потока и его использование в резолюции гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации в области геометрической топологии .

Биография [ править ]

Он получил степень бакалавра в 1963 году в Йельском университете и докторскую степень. в 1966 году из Принстонского университета . Роберт Ганнинг защитил диссертацию. Гамильтон преподавал в Калифорнийском университете в Ирвине , Калифорнийском университете в Сан-Диего , Корнельском университете и Колумбийском университете .

Вклад Гамильтона в математику в основном относится к области дифференциальной геометрии и, в частности, геометрического анализа . Он лучше всего известен тем , что открыл Риччи поток и начать исследовательскую программу , которая в конечном счете привела к доказательству, по Григорию Перельману , в Терстоном гипотезы геометризации и решение гипотезы Пуанкаре . В августе 2006 года Перельман был награжден медалью Филдса за доказательство , но отказался от нее , отчасти ссылаясь на работу Гамильтона как на основополагающую.

Гамильтон был удостоен премии Освальда Веблена в области геометрии в 1996 году и премии Clay Research в 2003 году. Он был избран членом Национальной академии наук в 1999 году и Американской академии наук и искусств в 2003 году. Он также получил премию AMS Leroy P. Steele. Премия за плодотворный вклад в исследования в 2009 году за его статью 1982 года « Три-многообразия с положительной кривизной Риччи» , в которой он представил поток Риччи.

18 марта 2010 года было объявлено, что Перельман соответствует критериям для получения первой премии Clay Millennium Prize за доказательство гипотезы Пуанкаре. ^[1] 1 июля 2010 г. Перельман отклонил приз, заявив, что, по его мнению, его вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре не больше, чем у Гамильтона, который первым предложил программу решения.

В июне 2011 года было объявлено, что премия Шоу в миллион долларов будет разделена поровну между Гамильтоном и Деметриосом Христодулу за их инновационные работы по нелинейным уравнениям в частных производных в лоренцевой и римановой геометрии и их приложениям к общей теории относительности и топологии. ^{[2] [3]}

Математическая работа [ править ]

По состоянию на 2020 год Гамильтон является автором около пятидесяти научных статей, около сорока из которых относятся к области геометрических потоков .

Неравенства Гарнака для уравнений теплопроводности [ править ]

В 1986 году Питер Ли и Шинг-Тунг Яу открыли новый метод применения принципа максимума для управления решениями уравнения теплопроводности . ^[4] Среди других результатов они показали, что если есть положительное решение u уравнения теплопроводности на замкнутом римановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи , то

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {u} {2t}} + 2du (v) + u | v | _ {g} ^ {2} \ geq 0}$

для любого касательного вектора v . Такие неравенства, известные как «дифференциальные неравенства Гарнака» или «неравенства Ли-Яу», полезны, поскольку их можно интегрировать вдоль путей для сравнения значений u в любых двух точках пространства-времени. Они также напрямую дают поточечную информацию о u , принимая v равным нулю.

В 1993 году Гамильтон показал, что вычисления Ли и Яу можно расширить, чтобы показать, что их дифференциальное неравенство Гарнака является следствием более сильного матричного неравенства. ^[H93a] Его результат требовал, чтобы замкнутое риманово многообразие имело неотрицательную секционную кривизну и параллельный тензор Риччи (такой как плоский тор или метрика Фубини-Штуди на комплексном проективном пространстве ), в отсутствие которых он получил несколько более слабый результат. Такие матричные неравенства иногда называют неравенствами Ли-Яу-Гамильтона .

Гамильтон также обнаружил, что методология Ли-Яу может быть адаптирована к потоку Риччи . В случае двумерных многообразий он обнаружил, что вычисление Ли и Яу может быть напрямую адаптировано к скалярной кривизне вдоль потока Риччи. ^[H88] В общих измерениях он показал, что тензор кривизны Римана удовлетворяет сложному неравенству, формально аналогичному его матричному расширению неравенства Ли-Яу, в случае неотрицательности оператора кривизны . ^[H93b] Как непосредственное алгебраическое следствие, скалярная кривизна удовлетворяет неравенству, которое почти идентично неравенству Ли и Яу.

Теорема Нэша-Мозера [ править ]

В 1956 году Джон Нэш решил проблему гладкого изометрического вложения римановых многообразий в евклидово пространство. ^[5] Ядром его доказательства был новый результат о «малых возмущениях», показывающий, что если риманова метрика может быть изометрически вложена определенным образом, то любая ближайшая риманова метрика также может быть вложена изометрически. Такой результат очень напоминает теорему о неявной функции , и многие авторы пытались поместить логику доказательства в форму общей теоремы. Такие теоремы теперь известны как теоремы Нэша-Мозера .

В 1982 году Гамильтон опубликовал свою формулировку рассуждений Нэша, применив теорему в контексте ручных пространств Фреше ; Фундаментальное использование Нэшем ограничения преобразования Фурье регуляризацией функций было отвлечено Гамильтоном до установки экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах . ^[H82a] Его формулировка широко цитировалась и использовалась в последующее время. Он сам использовал это, чтобы доказать общую теорему существования и единственности геометрических эволюционных уравнений; стандартная теорема о неявной функции не часто применяется в таких условиях из-за вырождений, вносимых инвариантностью относительно действия группы диффеоморфизмов . ^[H82b]В частности, корректность потока Риччи следует из общего результата Гамильтона. Хотя Деннис ДеТюрк дал более простое доказательство в частном случае потока Риччи, результат Гамильтона использовался для некоторых других геометрических потоков, для которых метод ДеТюрка недоступен.

Гармоническая карта теплового потока [ править ]

В 1964 году Джеймс Иллс и Джозеф Сэмпсон инициировали исследование теплового потока гармонического отображения , используя теорему сходимости для потока, чтобы показать, что любое гладкое отображение из замкнутого многообразия в замкнутое многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение . В 1975 году Гамильтон рассмотрел соответствующую краевую задачу для этого потока, доказывая аналогичный результат Иллс и Сампсона для условия Дирихле и условия Неймана . ^[H75] Аналитическая природа проблемы в этой ситуации более деликатна, поскольку ключевое приложение Илса и Сэмпсона принципа максимума кпараболическая формула Бохнера не может быть тривиально выполнена из-за того, что размер градиента на границе не контролируется автоматически граничными условиями.

Взяв пределы решений Гамильтона краевой задачи для все более крупных границ, Ричард Шон и Шинг-Тунг Яу заметили, что отображение конечной энергии из полного риманова многообразия в замкнутое риманово многообразие неположительной кривизны может быть деформировано в гармоническое отображение конечной энергии. ^[6] Доказав расширение теоремы Иллса и Сэмпсона об исчезновении в различных геометрических условиях, они смогли сделать поразительные геометрические выводы, например, что если ( M , g ) - полное риманово многообразие неотрицательной кривизны Риччи , то для любого предкомпактного открытого установить Dс гладкой и просто-связной границей, не может существовать нетривиальной гомоморфизм из фундаментальной группы из D в любую группу , которая является фундаментальной группой замкнутого риманова многообразия неположительной кривизны.

Средняя кривизна потока [ править ]

В 1986 году Гамильтон и Майкл Гейдж применили теорему Гамильтона Нэша-Мозера и результат о корректности для параболических уравнений, чтобы доказать корректность потока средней кривизны ; они рассмотрели общий случай однопараметрического семейства погружений замкнутого многообразия в гладкое риманово многообразие. ^[GH86] Затем они специализировались на случае погружения окружности S ¹ в двумерное евклидово пространство ℝ ² , которое является простейшим контекстом для потока сокращения кривой . Используя принцип максимумаприменительно к расстоянию между двумя точками на кривой они доказали, что если первоначальное погружение является вложением, то все будущие погружения в поток средней кривизны также являются вложениями. Кроме того, выпуклость кривых сохраняется на будущее.

Главный результат Гейджа и Гамильтона состоит в том, что для любого гладкого вложения S ¹ → ℝ ^2, которое является выпуклым, соответствующий поток средней кривизны существует в течение конечного количества времени, и по мере того, как время приближается к своему максимальному значению, кривые асимптотически становятся все более мелкими и круговой. ^[GH86] Они использовали предыдущие результаты Гейджа, а также некоторые специальные результаты для кривых, такие как неравенство Боннесена .

В 1987 году Мэтью Грейсон доказал дополнительный результат, показавший, что для любого гладкого вложения S ¹ → ℝ ² соответствующий поток средней кривизны в конечном итоге становится выпуклым. ^[7] В сочетании с результатом Гейджа и Гамильтона можно получить полное описание асимптотического поведения потока средней кривизны вложенных окружностей в ℝ ² . Этот результат иногда называют теоремой Гейджа – Гамильтона – Грейсона . Это несколько удивительно , что есть такие систематические и геометрический определенные средства деформации произвольного цикла в ℝ ² в круглый круг.

Современное понимание результатов Гейджа-Гамильтона и Грейсона обычно рассматривает оба параметра одновременно, без необходимости показывать, что произвольные кривые становятся выпуклыми, и отдельно изучать поведение выпуклых кривых. Их результаты также могут быть расширены для параметров, отличных от расхода средней кривизны. ^[8]

Ricci Flow [ править ]

Гамильтон распространил принцип максимума для параболических уравнений в частных производных на симметричные 2-тензоры, которые удовлетворяют параболическим уравнениям в частных производных. ^[H82b] Он также поместил это в общую настройку зависящего от параметра сечения векторного расслоения над замкнутым многообразием, которое удовлетворяет уравнению теплопроводности, дав как сильные, так и слабые формулировки. ^[H86]

Частично благодаря этим фундаментальным техническим разработкам Гамильтон смог дать по существу полное понимание того, как поток Риччи ведет себя на трехмерных замкнутых римановых многообразиях положительной кривизны Риччи ^[H82b] и неотрицательной кривизны Риччи ^[H86] , четырехмерных замкнутых римановых многообразиях оператора положительной или неотрицательной кривизны ^[H86] и двумерные замкнутые римановы многообразия неположительной эйлеровой характеристики или положительной кривизны ^[H88]. В каждом случае после соответствующей нормализации поток Риччи деформирует данную риманову метрику до метрики постоянной кривизны. Это имеет поразительно простые непосредственные следствия, такие как тот факт, что любое замкнутое гладкое 3-многообразие, допускающее риманову метрику положительной кривизны, также допускает риманову метрику постоянной положительной секционной кривизны. Такие результаты примечательны тем, что сильно ограничивают топологию таких многообразий; что пространственные формы положительной кривизны в значительной степени поняты. Есть и другие следствия, например, тот факт, что топологическое пространство римановых метрик положительной кривизны Риччи на замкнутом гладком трехмерном многообразии линейно связно. Эти «теоремы сходимости» Гамильтона были расширены более поздними авторами в 2000-х, чтобы дать доказательствотеорема о дифференцируемой сфере , которая была главной гипотезой в римановой геометрии с 1960-х годов.

В 1995 году Гамильтон расширил теорию компактности Джеффа Чигера для римановых многообразий, чтобы получить теорему компактности для последовательностей потоков Риччи. ^{[H95a] Для} данного потока Риччи на замкнутом многообразии с сингулярностью за конечное время Гамильтон разработал методы масштабирования вокруг особенности, чтобы создать последовательность потоков Риччи; Теория компактности гарантирует существование предельного потока Риччи, который моделирует мелкомасштабную геометрию потока Риччи вокруг особой точки. ^[H95b] Гамильтон использовал свои принципы максимума, чтобы доказать, что для любого потока Риччи на замкнутом трехмерном многообразии наименьшее значение секционной кривизнымало по сравнению с его наибольшим значением. Это известно как оценка Гамильтона-Айви; это чрезвычайно важно как неравенство кривизны, которое выполняется без каких-либо условных предположений за пределами трехмерности. Важным следствием является то, что в трех измерениях предельный поток Риччи, создаваемый теорией компактности, автоматически имеет неотрицательную кривизну. ^[H95b] Таким образом, неравенство Гарнака Гамильтона применимо к предельному потоку Риччи. Эти методы были расширены Григорием Перельманом , который благодаря своей «теореме о несгибаемости» смог применить теорию компактности Гамильтона в ряде расширенных контекстов.

В 1997 году Гамильтон смог объединить методы, которые он разработал, чтобы определить «поток Риччи с хирургией» для четырехмерных римановых многообразий положительной изотропной кривизны. ^[H97] Для потоков Риччи с начальными данными в этом классе он смог классифицировать возможности мелкомасштабной геометрии вокруг точек с большой кривизной и, следовательно, систематически изменять геометрию, чтобы продолжить поток Риччи. Как следствие, он получил результат, который классифицирует гладкие четырехмерные многообразия, поддерживающие римановы метрики положительной изотропной кривизны. Шинг-Тунг Яуописал эту статью как «самое важное событие» в геометрическом анализе в период после 1993 года, отметив ее как точку, в которой стало ясно, что можно доказать гипотезу Терстона о геометризации с помощью методов потока Риччи. Существенным нерешенным вопросом было проведение аналогичной классификации для мелкомасштабной геометрии вокруг точек высокой кривизны на потоках Риччи на трехмерных многообразиях без каких-либо ограничений кривизны; оценка кривизны Гамильтона-Айви является аналогом условия положительной изотропной кривизны. Это разрешил Григорий Перельман.в его знаменитой «теореме о канонических окрестностях». Основываясь на этом результате, Перельман модифицировал форму процедуры перестройки Гамильтона, чтобы определить «поток Риччи с перестройкой» для произвольной гладкой римановой метрики на замкнутом трехмерном многообразии. Это привело к разрешению гипотезы о геометризации в 2003 году.

Основные публикации [ править ]

Коллекция

• Сборник статей по потоку Риччи. Под редакцией HD Cao, B. Chow, SC Chu и ST Yau. Series in Geometry and Topology, 37. International Press, Somerville, MA, 2003. viii + 539 pp. ISBN  1-57146-110-8

содержит ^[H82b] , ^[H86] , ^[H88] , ^[H93b] , ^[H95a] , ^[H95b] и ^{[ H97]} , а также пять других статей Гамильтона и десять статей других авторов.

См. Также [ править ]

• Теорема Эрла – Гамильтона о неподвижной точке
• Ямабе поток

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с Ричардом Гамильтоном (математиком) на Викискладе?

• Ричард Гамильтон в проекте « Математическая генеалогия»
• Ричард Гамильтон - биография факультета на домашней странице факультета математики Колумбийского университета
• Ричард Гамильтон - краткая биография на домашней странице Института математики Клэя
• Ссылка на премию Веблена за 1996 год
• Лекция Гамильтона о потоке Риччи
• Автобиография приза Шоу