Теорема Нэша – Мозера.

В математической области анализа , то теорема Нэша-Мозера , обнаружил математик Джон Форбс Нэш и назван в честь него и Юргена Мозера , является обобщением теоремы об обратной функции в банаховых пространствах к настройкам , когда требуется отображение решения для линеаризованной задачи не ограничен.

Введение [ править ]

В отличие от случая банахова пространства, в котором обратимость производной в точке достаточно для того, чтобы отображение было локально обратимым, теорема Нэша – Мозера требует, чтобы производная была обратима в некоторой окрестности. Теорема широко используется для доказательства локального существования нелинейных уравнений в частных производных в пространствах гладких функций . Это особенно полезно, когда обратная к производной "теряет" производные, и поэтому теорема о неявной функции банахова пространства не может быть использована.

История [ править ]

Теорема Нэша – Мозера восходит к Нэшу (1956) , который доказал теорему в частном случае задачи изометрического вложения . Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Мозер ( 1966a , 1966b ), например, показал, что методы Нэша могут быть успешно применены для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории КАМ.. Однако найти подходящую общую формулировку оказалось довольно сложно; на сегодняшний день нет всеобъемлющей версии; различные версии, принадлежащие Громову, Гамильтону, Хермандеру, Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту, приведены в ссылках ниже. То, что Гамильтон цитируется ниже, особенно широко цитируется.

Проблема потери производных [ править ]

Это будет введено в исходную постановку теоремы Нэша – Мозера, постановку задачи изометрического вложения. Позвольте быть открытое подмножество Рассмотрим карту${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

${\ Displaystyle P: C ^ {1} (\ Omega; \ mathbb {R} ^ {N}) \ к C ^ {0} {\ big (} \ Omega; {\ text {Sym}} _ {n \ раз n} (\ mathbb {R}) {\ big)}}$

дано

${\ Displaystyle P (е) _ {ij} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {N} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial u ^ {i}}} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial u ^ {j}}}.}$

В решении Нэшем задачи изометрического вложения (как и следовало ожидать от решений нелинейных уравнений с частными производными) главным шагом является утверждение схематической формы: «Если f таково, что P ( f ) положительно определено, то для любого матричнозначная функция g, близкая к P ( f ), существует f _g с P ( f _g ) = g ».

Следуя стандартной практике, можно ожидать применения теоремы об обратной функции банахова пространства. Так, например, можно было бы ожидать ограничить P до C ⁵ (Ω; ℝ ^N ) и, для погружения f в эту область, изучить линеаризацию C ⁵ (Ω; ^N ) → C ⁴ (Ω; Sym _{n × n} (ℝ)), заданный формулой

${\ displaystyle {\ widetilde {f}} \ mapsto \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {N} {\ frac {\ partial f ^ {\ alpha}} {\ partial u ^ {i}}} {\ frac {\ partial {\ widetilde {f}} ^ {\ beta}} {\ partial u ^ {j}}} + \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {N} {\ frac {\ partial {\ widetilde {f}} ^ {\ alpha}} {\ partial u ^ {i}}} {\ frac {\ partial f ^ {\ beta}} {\ partial u ^ {j}}}.}.$

Если бы можно было показать, что это обратимо, с ограниченным обратным, тогда непосредственно применима теорема об обратной функции банахова пространства.

Однако есть серьезная причина, по которой такая формулировка не работает. Проблема в том, что существует дифференциальный оператор второго порядка для P ( f ), который совпадает с дифференциальным оператором второго порядка, примененным к f . Чтобы быть точным: если f - погружение, то

${\ Displaystyle R ^ {P (f)} = | H (f) | ^ {2} - | h (f) | _ {P (f)} ^ {2},}$

где R ^{P ( f )} - скалярная кривизна римановой метрики P ( f ), H ( f ) обозначает среднюю кривизну погружения f , а h ( f ) обозначает его вторую фундаментальную форму; Вышеупомянутое уравнение является уравнением Гаусса из теории поверхностей. Итак, если P ( f ) равно C ⁴ , то R ^{P ( f )} обычно только C ² . Тогда, согласно приведенному выше уравнению, f обычно может быть толькоC ⁴ ; если бы это был C ^5, то | H | ² - | h | ² должно быть не меньше C ³ . Источник проблемы может быть довольно кратко сформулирован следующим образом: Уравнение показывает Гаусс , что существует дифференциальный оператор Q таким образом, что порядок состава Q с P меньше , чем сумма порядков P и Q .

В контексте, результат состоит в том, что обратное к линеаризации P , даже если оно существует как отображение C ^∞ (Ω; Sym _{n × n} (ℝ)) → C ^∞ (Ω; ℝ ^N ), не может быть ограничено между подходящими Банаховы пространства и, следовательно, теорема о неявной функции банахова пространства неприменима.

Точно так же рассуждая, нельзя напрямую применить теорему о неявной функции банахова пространства, даже если он использует пространства Гёльдера, пространства Соболева или любое из пространств C ^k . В любой из этих настроек обратный к линеаризации P не может быть ограничен.

Это проблема потери деривативов . Очень наивное ожидание состоит в том, что, как правило, если P - дифференциальный оператор порядка k , то если P ( f ) находится в C ^m, то f должно быть в C ^{m + k} . Однако это довольно редко. В случае равномерно эллиптических дифференциальных операторов знаменитые оценки Шаудера показывают, что это наивное ожидание оправдывается с оговоркой, что нужно заменить пространства C ^{k на} пространства Гёльдера C ^{k , α}; это не вызывает никаких дополнительных трудностей для применения теоремы о неявной функции банахова пространства. Однако приведенный выше анализ показывает, что это наивное ожидание не подтверждается для карты, которая отправляет погружение в свою индуцированную риманову метрику; учитывая, что это отображение имеет порядок 1, при инвертировании оператора нельзя получить "ожидаемую" производную. Такой же сбой часто встречается в геометрических задачах, где действие группы диффеоморфизмов является основной причиной, и в задачах гиперболических дифференциальных уравнений, где даже в самых простых задачах нет наивно ожидаемой гладкости решения. Все эти трудности обеспечивают общие контексты для приложений теоремы Нэша – Мозера.

Схема решения Нэша [ править ]

Этот раздел предназначен только для описания идеи и поэтому намеренно неточен. Для конкретности предположим, что P - дифференциальный оператор первого порядка в некоторых функциональных пространствах, так что он определяет отображение P : C ^{k +1} → C ^k для каждого k . Предположим, что при некоторой C ^{k +1} функции f линеаризация DP _f : C ^{k +1} → C ^k имеет правый обратный S : C ^k → C ^k; в вышеприведенном языке это отражает «потерю одной производной». Можно конкретно увидеть неудачу попытки использовать метод Ньютона для доказательства теоремы о неявной функции банахова пространства в этом контексте: если g _∞ близко к P ( f ) в C ^k и каждый определяет итерацию

${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},}$

тогда из f ₁ ∈ C ^{k +1} следует, что g _∞ - P ( f _n ) находится в C ^k , и тогда f ₂ находится в C ^k . По тем же соображениям, f ₃ находится в C ^{k -1} , а f ₄ находится в C ^{k -2} , и так далее. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, поскольку она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.

Решение Нэша поражает своей простотой. Предположим, что для каждого t > 0 имеется сглаживающий оператор θ _t, который принимает функцию C ⁿ , возвращает гладкую функцию и приближает тождество, когда t велико. Затем «сглаженная» итерация Ньютона

${\displaystyle f_{n+1}=f_{n}+S{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}}$

transparently не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности. Итак, у человека есть четко определенная последовательность функций; Главный сюрприз подхода Нэша состоит в том, что эта последовательность фактически сходится к функции f _∞ с P ( f _∞ ) = g _∞ . Для многих математиков это довольно неожиданно, поскольку «исправление» добавления сглаживающего оператора кажется слишком поверхностным, чтобы преодолеть глубокую проблему в стандартном методе Ньютона. Например, по этому поводу Михаил Громов говорит:

Вы должны быть новичком в анализе или гением, подобным Нэшу, чтобы поверить, что что-то подобное может быть правдой. [...] [Это] может показаться вам столь же реалистичным, как успешное выполнение вечного двигателя с механической реализацией демона Максвелла ... если вы не начнете следовать вычислениям Нэша и не поймете, к своему огромному удивлению, что сглаживание действительно работает.

Замечание. Истинная «итерация сглаженного Ньютона» немного сложнее, чем приведенная выше форма, хотя есть несколько неэквивалентных форм, в зависимости от того, где выбрать сглаживающие операторы. Основное отличие состоит в том, что требуется обратимость DP _f для всей открытой окрестности выбора f , а затем используется «истинная» итерация Ньютона, соответствующая (с использованием записи с одной переменной)

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

в отличие от

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{0})}},}$

последний из которых отражает формы, указанные выше. Это довольно важно, поскольку улучшенная квадратичная сходимость «истинной» итерации Ньютона в значительной степени используется для борьбы с ошибкой «сглаживания», чтобы получить сходимость. Некоторые подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве, а не итерации в функциональном пространстве; отношение последнего к первому по существу является отношением решения метода Эйлера к решению дифференциального уравнения.

Гамильтонская формулировка теоремы [ править ]

Следующее утверждение появляется у Гамильтона (1982) :

Пусть F и G - ручные пространства Фреше , пусть U ⊂ F - открытое подмножество, и пусть - гладкое ручное отображение. Предположим, что для каждого линеаризация обратима, а семейство обратных, так как отображение гладкое ручное. Тогда P локально обратимо, и каждый локальный обратный является гладким ручным отображением.${\displaystyle P:U\rightarrow G}$${\displaystyle f\in U}$${\displaystyle dP_{f}:F\to G}$${\displaystyle U\times G\to F,}$${\displaystyle P^{-1}}$

Аналогично, если каждая линеаризация только инъективна, а семейство обратных слева гладко, то P локально инъективен. И если каждая линеаризация только сюръективна, а семейство правых обратных гладко ручное, то P локально сюръективно с гладким ручным правым обратным.

Приручить пространства Фреше [ править ]

Сортовой пространство Фреше состоит из следующих данных:

• векторное пространство F
• счетный набор полунорм такой, что${\displaystyle \|\cdot \|_{n}:F\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|f\|_{0}\leq \|f\|_{1}\leq \|f\|_{2}\leq \cdots }$

для всех Один требует, чтобы они удовлетворяли следующим условиям:${\displaystyle f\in F.}$

• если так , что для всех то${\displaystyle f\in F}$${\displaystyle \|f\|_{n}=0}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle f=0}$
• если это последовательность такая, что для каждого и каждого существует такая, что подразумевает, то существует такая, что для каждого n один имеет${\displaystyle f_{j}\in F}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N_{n,\varepsilon }}$${\displaystyle j,k>N_{n,\varepsilon }}$${\displaystyle \|f_{j}-f_{k}\|_{n}<\varepsilon ,}$${\displaystyle f\in F}$

${\displaystyle \lim _{j\to \infty }\|f_{j}-f\|_{n}=0.}$

Такое градуированное пространство Фреше называется ручным, если оно удовлетворяет следующему условию:

• существует банахово пространство B и линейные отображения L : F → Σ ( B ) и M : Σ ( B ) → F такие, что M является правым обратным к L и такими, что:

• существуют такие r и b , что для каждого n > b существует такое число C _n , что

${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|L(f)_{k}\|_{B}\leq C_{n}\|f\|_{r+n}}$

для любого f ∈ F и

${\displaystyle \|M(\{x_{i}\})\|_{n}\leq C_{n}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{(r+n)k}\|x_{k}\|_{B}}$

для любого { x _i } ∈Σ ( B ).

Здесь Σ ( B ) обозначает векторное пространство экспоненциально убывающих последовательностей в B , т. Е.

${\displaystyle \Sigma (B)={\Big \{}{\text{maps }}x:\mathbb {N} \to B{\text{ s.t. }}\sup _{k\in \mathbb {N} }e^{nk}\|x_{k}\|_{B}<\infty {\text{ for all }}n\in \mathbb {N} {\Big \}}.}$

Трудоемкость определения подтверждается примерами ручно градуированных пространств Фреше:

• Если M - компактное гладкое многообразие (с краем или без него), то C ^∞ ( M ) - ручно градуированное пространство Фреше, если задана любая из следующих градуированных структур:

• принимает быть С ^п -нормом е${\displaystyle \|f\|_{n}}$
• принимают быть С ^{п, α} -норме F при фиксированном & alpha ;${\displaystyle \|f\|_{n}}$
• принять , чтобы быть W ^{п , р} -норма F при фиксированном р${\displaystyle \|f\|_{n}}$

• Если M - компактное гладкое многообразие с краем, то C ₀ ^∞ ( M ), пространство гладких функций, все производные которых обращаются в нуль на границе, является вручную градуированным пространством Фреше с любой из упомянутых выше градуированных структур.
• Если M - компактное гладкое многообразие и V → M - гладкое векторное расслоение, то пространство гладких сечений является ручным с любой из перечисленных выше градуированных структур.

Чтобы распознать ручную структуру этих примеров, топологически вкладывается M в евклидово пространство, B берется как пространство L ¹ функций на этом евклидовом пространстве, а отображение L определяется диадическим ограничением преобразования Фурье. Подробности на страницах 133-140 статьи Гамильтона.

Представленное непосредственно, как указано выше, значение и естественность «прирученного» состояния довольно неясны. Ситуация проясняется, если заново рассмотреть приведенные выше базовые примеры, в которых соответствующие «экспоненциально убывающие» последовательности в банаховых пространствах возникают из-за ограничения преобразования Фурье. Напомним, что гладкость функции в евклидовом пространстве напрямую связана со скоростью убывания ее преобразования Фурье. Таким образом, «прирученность» рассматривается как условие, позволяющее абстрагироваться от идеи «сглаживающего оператора» в функциональном пространстве. Для банахова пространства B и соответствующего пространства Σ ( B ) экспоненциально убывающих последовательностей в B точный аналог сглаживающего оператора может быть определен следующим образом.Пусть s: ℝ → ℝ - гладкая функция, которая обращается в нуль на (-∞, 0), тождественно равна единице на (1, ∞) и принимает значения только в интервале [0,1]. Тогда для каждого действительного числа t определим θ _t : Σ ( B ) → Σ ( B ) как

${\displaystyle (\theta _{t}x)_{i}=s(t-i)x_{i}.}$

Если принять схематичную идею доказательства, разработанного Нэшем, и, в частности, его использование сглаживающих операторов, тогда условие «ручного» становится довольно разумным.

Гладкие ручные карты [ править ]

Пусть F и G - градуированные пространства Фреше. Пусть U - открытое подмножество F , что означает, что для каждого f в U существует n и ε> 0 такие, что || f ₁ || _п <ε следует , что F ₁ также содержится в U .

Пусть P : U → G - гладкое отображение. Говорят, что он ручной, если для всех k ∈ℕ производная D ^k P : U × F × ⋅⋅⋅ × F → G удовлетворяет следующему правилу :

• существуют такие r и b , что из n > b следует

${\displaystyle {\big \|}D^{k}P(f,h_{1},\ldots ,h_{k}){\big \|}_{n}\leq C_{n}{\Big (}\|f\|_{n+r}+\|h_{1}\|_{n+r}+\cdots +\|h_{k}\|_{n+r}+1{\Big )}}$

для всех ( е , ч ₁ , ..., ч _к ) ∈ U × F × ⋅⋅⋅ × F .

Фундаментальный пример говорит, что на компактном гладком многообразии нелинейный оператор в частных производных (возможно, между сечениями векторных расслоений над многообразием) является гладким ручным отображением; в этом случае r можно принять за порядок оператора.

Доказательство теоремы [ править ]

Пусть S обозначает семейство обратных отображений U × G → F . Рассмотрим частный случай, когда F и G являются пространствами экспоненциально убывающих последовательностей в банаховых пространствах, т. Е. F = Σ ( B ) и G = Σ ( C ). (Нетрудно убедиться, что этого достаточно для доказательства общего случая.) Для положительного числа c рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в Σ ( B ), заданное формулой

${\displaystyle f'=cS{\Big (}\theta _{t}(f),\theta _{t}{\big (}g_{\infty }-P(f){\big )}{\Big )}.}$

Гамильтон показывает, что если P (0) = 0 и g _∞ достаточно мало в Σ ( C ), то решение этого дифференциального уравнения с начальным условием f (0) = 0 существует как отображение [0, ∞) → Σ ( B ) и что f ( t ) сходится при t → ∞ к решению P (f) = g _∞ .

Ссылки [ править ]

• Громов М.Л. "Сглаживание и обращение дифференциальных операторов", Матем. Сб. (NS) , 88 (130): 382–441, MR  0310924
• Громов, Михаил (1986). Частные дифференциальные отношения . Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3). Springer-Verlag, Берлин. ISBN 3-540-12177-3. Руководство по ремонту  0864505 .
• Гамильтон, Ричард С. (1982), "Теорема Нэша и Мозера об обратной функции" (PDF-12MB) , Bull. Амер. Математика. Soc. (NS) , 7 (1): 65-222, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1982-15004-2 , МР  0656198
• Хёрмандер, Ларс (1976), "Краевые задачи физической геодезии", Arch. Рациональный мех. Анальный. , 62 (1): 1–52, MR  0602181
  • Hörmander, L. (1977), "Поправка к" Краевым задачам физической геодезии " ", Arch. Рациональный мех. Анальный. , 65 (44): 395, MR  0602188
• Мозер, Юрген (1966a), "Метод быстро сходящихся итераций и нелинейные уравнения в частных производных. I" , Ann. Scuola Norm. Как дела. Пиза (3) , 20 : 265–315, MR  0199523
• Мозер, Юрген (1966b), "Метод быстро сходящихся итераций и нелинейные уравнения в частных производных. II" , Ann. Scuola Norm. Как дела. Пиза (3) , 20 : 499–535, MR  0206461
• Нэш, Джон (1956), "Задача погружения римановых многообразий", Анналы математики , 63 (1): 20-63, DOI : 10,2307 / 1969989 , JSTOR  1969989 , MR  0075639.
• Сен-Раймонд, Ксавье (1989), "Простая теорема Нэша-Мозера о неявной функции", Enseign. Математика. (2) , 35 (3–4): 217–226, MR  1039945.
• Шварц, J. (1960), "О неявной функциональной теореме Нэша", Comm. Pure Appl. Математика. , 13 : 509–530, MR  0114144
• Sergeraert, Фрэнсис (1972), "Теорема функций имплицитно для определенных пространств в приложениях Fréchet et quelques", Ann. Sci. École Norm. Как дела. (4) , 5 : 599–660, MR  0418140.
• Zehnder, E. , "Обобщенные теоремы о неявных функциях с приложениями к некоторым проблемам малых делителей. I", Comm. Pure Appl. Математика. , 28 : 91–140, MR  0380867
• Zehnder, E. , "Обобщенные теоремы о неявной функции с приложениями к некоторым проблемам малых делителей. II", Comm. Pure Appl. Математика. , 29 (1): 49–111, MR  0426055