Гипотеза Калаби

В математике гипотеза Калаби была гипотезой о существовании некоторых «хороших» римановых метрик на некоторых комплексных многообразиях , сделанной Эудженио Калаби  ( 1954 , 1957 ) и доказанной Шинг-Тунг Яу  ( 1977 , 1978 ). Яу получил медаль Филдса в 1982 году частично за это доказательство.

Гипотеза Калаби утверждает, что компактное кэлерово многообразие имеет единственную кэлерову метрику в том же классе, чья форма Риччи - это любая заданная 2-форма, представляющая первый класс Черна . В частности, если первый класс Черна обращается в нуль, существует единственная кэлерова метрика в том же классе с нулевой кривизной Риччи ; они называются многообразиями Калаби – Яу .

Более формально гипотеза Калаби гласит:

Если M - компактное кэлерово многообразие с кэлеровой метрикой и кэлеровой формой , а R - любая (1,1) -форма, представляющая первый класс Черна многообразия , то существует единственная кэлерова метрика на M с кэлеровой формой такая, что и представляют ту же самую класс когомологий и Риччи формы из является R .${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ tilde {g}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$ ${\ Displaystyle Н ^ {2} (М, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$

Гипотеза Калаби тесно связана с вопросом о том, какие кэлеровы многообразия имеют метрики Кэлера – Эйнштейна .

Метрики Келера – Эйнштейна [ править ]

Гипотеза, тесно связанная с гипотезой Калаби, утверждает, что если компактное кэлерово многообразие имеет отрицательный, нулевой или положительный первый класс Черна, то оно имеет метрику Кэлера – Эйнштейна в том же классе, что и его метрика Кэлера, единственная с точностью до изменения масштаба. Это было доказано для отрицательных первых классов Черна независимо Тьерри Обеном и Шинг-Тунг Яу в 1976 году. Когда класс Черна равен нулю, это было доказано Яу как простое следствие гипотезы Калаби. Эти результаты никогда явно не предполагались Калаби, но следовали бы из результатов, о которых он объявил в 1954 году в своем выступлении на Международном конгрессе математиков . ^{[ необходима цитата ]}

Когда первый класс Черна положителен, эта гипотеза на самом деле неверна как следствие результата Йозо Мацусима , который показывает, что группа комплексных автоморфизмов многообразия Кэлера – Эйнштейна положительной скалярной кривизны обязательно редуктивна. Например, комплексная проективная плоскостьвзорванный в 2 точках не имеет метрики Келера – Эйнштейна и, следовательно, является контрпримером. Еще одна проблема, возникающая из-за сложных автоморфизмов, состоит в том, что они могут привести к отсутствию единственности для метрики Кэлера – Эйнштейна, даже если она существует. Однако сложные автоморфизмы - не единственная трудность, возникающая в положительном случае. В самом деле, Яу и др. Высказали предположение, что, когда первый класс Черна положителен, кэлерово многообразие допускает метрику Кэлера – Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно является K-устойчивым. Доказательство этой гипотезы было опубликовано Xiuxiong Chen , Simon Donaldson и Song Sun в январе 2015 года ^{[1] [2] [3],} а Тиан представил доказательство, опубликованное в электронном виде 16 сентября 2015 года. ^{[4] [5]}

С другой стороны, в частном случае комплексной размерности два компактная комплексная поверхность с положительным первым классом Черна действительно допускает метрику Кэлера – Эйнштейна тогда и только тогда, когда ее группа автоморфизмов редуктивна. Этот важный результат часто приписывают Ган Тяню . После доказательства Тиана были задействованы некоторые упрощения и уточнения аргументов; ср. статья Odaka, Spotti и Sun, цитируемая ниже. Таким образом, комплексные поверхности, допускающие такие метрики Кэлера – Эйнштейна, представляют собой в точности комплексную проективную плоскость, произведение двух копий проективной прямой и раздутий проективной плоскости в 3–8 точках общего положения. ^{[ необходима цитата ]}

Схема доказательства гипотезы Калаби [ править ]

Калаби преобразовал гипотезу Калаби в нелинейное уравнение в частных производных комплексного типа Монжа – Ампера и показал, что это уравнение имеет не более одного решения, тем самым установив единственность искомой метрики Кэлера.

Яу доказал гипотезу Калаби, построив решение этого уравнения методом непрерывности . Это включает в себя сначала решение более простого уравнения, а затем демонстрацию того, что решение простого уравнения можно непрерывно деформировать в решение жесткого уравнения. Самая сложная часть решения Яу - это доказательство некоторых априорных оценок производных решений.

Преобразование гипотезы Калаби в дифференциальное уравнение [ править ]

Предположим, что это комплексное компактное многообразие с кэлеровой формой. Любая другая кэлерова форма того же класса имеет вид${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle \ omega + dd '\ varphi}$

для некоторой гладкой функции на , единственной с точностью до добавления константы. Таким образом, гипотеза Калаби эквивалентна следующей задаче:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$

Пусть - положительная гладкая функция на со средним значением 1. Тогда существует гладкая вещественная функция ; с участием${\displaystyle F=e^{f}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi )^{m}=e^{f}\omega ^{m}}$

и ; единственно с точностью до добавления константы.${\displaystyle \varphi }$

Это уравнение комплексного типа Монжа – Ампера для одной функции . Это особенно сложное для решения уравнение в частных производных, поскольку оно нелинейно в терминах высшего порядка. Это легко решить, когда , как решение. Идея метода непрерывности состоит в том, чтобы показать, что его можно решить для всех , показав, что набор, для которого он может быть решен, является как открытым, так и закрытым. Поскольку набор, для которого оно может быть решено, непусто, а набор всех связан, это показывает, что оно может быть решено для всех .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f=0}$${\displaystyle \varphi =0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Карта от гладких функций гладких функций с к определяется ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=(\omega +dd'\varphi )^{m}/\omega ^{m}}$

не является ни инъективным, ни сюръективным. Это не является инъективным, потому что добавление константы к не изменяется , и это не сюръективно, потому что оно должно быть положительным и иметь среднее значение 1. Таким образом, мы рассматриваем карту, ограниченную функциями , которые нормализованы, чтобы иметь среднее значение 0, и спрашиваем, если эта карта является изоморфизмом на множество положительных со средним значением 1. Калаби и Яу доказали, что это действительно изоморфизм. Это делается в несколько этапов, описанных ниже.${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle F=e^{f}}$

Уникальность решения [ править ]

Чтобы доказать уникальность решения, нужно показать, что если

${\displaystyle (\omega +dd'\varphi _{1})^{m}=(\omega +dd'\varphi _{2})^{m}}$

тогда φ ₁ и φ ₂ отличаются на константу (поэтому они должны быть одинаковыми, если они оба нормализованы, чтобы иметь среднее значение 0). Калаби доказал это, показав, что среднее значение

${\displaystyle |d(\varphi _{1}-\varphi _{2})|^{2}}$

задается выражением, которое не больше 0. Поскольку очевидно, что оно не меньше 0, оно должно быть равно 0, поэтому

${\displaystyle d(\varphi _{1}-\varphi _{2})=0}$

что, в свою очередь, заставляет φ ₁ и φ ₂ отличаться на константу.

Набор F открыт [ править ]

Доказательство , что множество возможных F открыто (в множестве гладких функций со средним значением 1) включает в себя , показывая , что если можно решить уравнение для некоторого F , то можно решить эту проблему для всех достаточно близко F . Калаби доказал это, используя теорему о неявной функции для банаховых пространств : чтобы применить это, основной шаг - показать, что линеаризация дифференциального оператора выше обратима.

Множество F закрыто [ править ]

Это самая сложная часть доказательства, и она была сделана Яу. Предположим, что F находится в замыкании образа возможных функций φ. Это означает, что существует последовательность функций φ ₁ , φ ₂ , ... такая, что соответствующие функции F ₁ , F ₂ , ... сходятся к F , и задача состоит в том, чтобы показать, что некоторая подпоследовательность функций φs сходится к решение φ. Для этого Яу находит некоторые априорные оценки для функций φ _i и их высших производных в терминах высших производных от log ( f _i). Для нахождения этих границ требуется длинная последовательность жестких оценок, каждая из которых немного улучшает предыдущую. Полученных Яу оценок достаточно, чтобы показать, что все функции φ _i лежат в компактном подмножестве подходящего банахова пространства функций, поэтому можно найти сходящуюся подпоследовательность. Эта подпоследовательность сходится к функции φ с изображением F , что показывает, что множество возможных изображений F замкнуто.

Ссылки [ править ]

• Тьерри Обен , Нелинейный анализ на многообразиях, уравнения Монжа – Ампера ISBN  0-387-90704-1 Это дает доказательство гипотезы Калаби и результатов Обена о метриках Кэлера – Эйнштейна.
• Бургиньон, Жан-Пьер (1979), "Premières formes de Chern des varétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et ST Yau]", Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78) , Lecture Notes in Math ., 710 , Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag ., стр 1-21, DOI : 10.1007 / BFb0069970 , ISBN 978-3-540-09243-8, Руководство по ремонту  0554212 Это обзор работы Обена и Яу.
• Калаби, Эухенио (1954), "Пространство кэлеровых метрик" , Proc. Междунар. Congress Math. Амстердам , 2 , стр. 206–207, архивировано из оригинала (PDF) 17 июля 2011 г. , извлечено 30 января 2011 г.
• Эухенио Калаби, Пространство кэлеровых метрик , Труды Международного конгресса математиков 1954 г., том II, стр. 206-7, EP Noordhoff, Гронинген, 1956.
• Калаби, Эухенио (1957), «О кэлеровых многообразиях с исчезающим каноническим классом», в Fox, Ralph H .; Спенсер, округ Колумбия; Такер, А. В. (ред.), Алгебраическая геометрия и топология. Симпозиум в честь С. Лефшеца , Princeton Mathematical Series, 12 , Princeton University Press , стр. 78–89, MR  0085583
• Чен, Xiuxiong; Дональдсон, Саймон ; Солнце, Песня (2013). «Метрики Кэлера – Эйнштейна и устойчивость». Уведомления о международных математических исследованиях . 2014 (8): 2119–2125. arXiv : 1210,7494 . DOI : 10.1093 / imrn / rns279 . Руководство по ремонту  3194014 .
• Компактные многообразия Доминика Д. Джойса со специальной голономией (Оксфордские математические монографии) ISBN 0-19-850601-5 Это дает упрощенное доказательство гипотезы Калаби. 
• Мацусима, Ёдзо (1957). "Sur la structure du groupe d'homéomorphismes analytiques d'une suree Variété kählérienne" . Нагойский математический журнал . 11 : 145–150. DOI : 10.1017 / s0027763000002026 . Руководство по ремонту  0094478 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Ю. Одака, К. Спотти, С. Сан, Компактные пространства модулей поверхностей дель Пеццо и метрики Кэлера-Эйнштейна. J. Differential Geom. 102 (2016), нет. 1, 127–172.
• Тиан, Банда (1990). «О гипотезе Калаби для комплексных поверхностей с положительным первым классом Черна». Inventiones Mathematicae . 101 (1): 101–172. Bibcode : 1990InMat.101..101T . DOI : 10.1007 / bf01231499 . Руководство по ремонту  1055713 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Яу, Шинг Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS ... 74.1798 Y , DOI : 10.1073 / pnas.74.5.1798 , ISSN  0027-8424 , МР  0451180 , КУП  431004 , PMID  16592394 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Яу, Шинга Танг (1978), «О кривизны Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексного уравнения Монжа-Ампера я.», Коммуникации на чистой и прикладной математики , 31 (3): 339-411, DOI : 10.1002 / СРА .3160310304 , Руководство по ремонту  0480350 CS1 maint: discouraged parameter (link)

Внешние ссылки [ править ]

• Яу, Shing Tung (2009), "Калаби-Яу", Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ ... 4.6524Y , DOI : 10,4249 / scholarpedia.6524 CS1 maint: discouraged parameter (link)