Риманово многообразие

В дифференциальной геометрии , A риманова многообразия или риманова пространства ( М , г ) является реальным , гладкое многообразие М , снабженный положительно определенной скалярное произведение г _р на касательном пространстве Т _р М в каждой точке р . Обычно принято считать g гладким, что означает, что для любой гладкой координатной карты ( U , x ) на M , n ² функции

${\ displaystyle g \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {j}}} \ right): U \ to \ mathbb {R}}$

- гладкие функции . Таким же образом можно было бы рассмотреть липшицевы римановы метрики или измеримые римановы метрики, среди многих других возможностей.

Семейство скалярных произведений g _p называется римановой метрикой (или римановым метрическим тензором) . Эти термины названы в честь немецкого математика Бернхарда Римана . Изучение римановых многообразий составляет предмет, называемый римановой геометрией .

Риманова метрика (тензор) позволяет определить несколько геометрических представления на риманов многообразия, такие как угол на перекрестке, длина кривого , площадь поверхности и многомерные аналоги ( объем и т.д.), внешнюю кривизну из подмногообразия и внутренняя кривизна самого многообразия.

Введение [ править ]

В 1828 году Карл Фридрих Гаусс доказал свою теорему Egregium ( замечательную теорему на латыни), установив важное свойство поверхностей. Неформально теорема гласит, что кривизну поверхности можно полностью определить путем измерения расстояний вдоль путей на поверхности. То есть кривизна не зависит от того, как поверхность может быть встроена в трехмерное пространство. См. Раздел Дифференциальная геометрия поверхностей . Бернхард Риманнраспространил теорию Гаусса на многомерные пространства, называемые многообразиями, таким образом, который также позволяет измерять расстояния и углы, а также определять понятие кривизны, опять же таким образом, который является внутренним для многообразия и не зависит от его вложения в более высокое пространство. размерные пространства. Альберт Эйнштейн использовал теорию псевдоримановых многообразий (обобщение римановых многообразий) для развития своей общей теории относительности . В частности, его уравнения гравитации ограничивают кривизну пространства-времени.

Определение [ править ]

Касательное расслоение оператора А гладкого многообразия сопоставляет каждой точке из векторного пространства называется касательным пространством из на римановой метрики (по определению) сопоставляет каждый положительно определенный внутренний продукт , вместе с которой приходит норму , определенную The гладкое многообразие , наделенные с этой метрикой является риманово многообразие , обозначенное .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p.}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle g_ {p}: T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to \ mathbb {R},}$${\ displaystyle | \ cdot | _ {p}: T_ {p} M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle | v | _ {p} = {\ sqrt {g_ {p} (v, v)}}.}$ ${\ displaystyle M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (M,g)}$

Если задана система гладких локальных координат на, заданных действительными функциями, векторы${\displaystyle M,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{p},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}{\Big |}_{p}\right\}}$

образуют основу векторного пространства для любого Относительно этого базиса, можно определить «компоненты» метрического тензора в каждой точке следующим образом:${\displaystyle T_{p}M,}$${\displaystyle p\in U.}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle g_{ij}|_{p}:=g_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{p}\right).}$

Их можно было бы рассматривать как отдельные функции или как одну матричнозначную функцию, отметив, что "риманова" допущение говорит, что она оценивается в подмножестве, состоящем из симметричных положительно определенных матриц.${\displaystyle n^{2}}$${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle U;}$

С точки зрения тензорной алгебры , то метрический тензор можно записать в терминах двойственного базиса {д х ¹ , ..., д х ^п } кокасательного расслоения как

${\displaystyle g=\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}.}$

Изометрии [ править ]

Если и - два римановых многообразия с диффеоморфизмом, то называется изометрией, если т. Е. Если${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle (N,h)}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g=f^{\ast }h,}$

${\displaystyle g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))}$

для всех и${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle u,v\in T_{p}M.}$

Говорят, что отображение, которое не считается диффеоморфизмом, является локальной изометрией, если у каждого есть открытая окрестность, такая как диффеоморфизм и изометрия.${\displaystyle f:M\to N,}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle U\ni p}$${\displaystyle f:U\to f(U)}$

Регулярность римановой метрики [ править ]

Говорят, что риманова метрика является непрерывной, если она непрерывна для любой гладкой координатной карты. Говорят, что она является гладкой, если эти функции являются гладкими для любой гладкой координатной карты. В этом же духе можно было бы рассмотреть многие другие типы римановых метрик.${\displaystyle g}$${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (U,x).}$${\displaystyle g}$

В большинстве наглядных представлений о римановой геометрии метрики всегда считаются гладкими. Однако могут быть важные причины для выбора менее плавных показателей. Римановы метрики, полученные методами геометрического анализа , в частности, могут быть менее гладкими. См., Например, (Громов, 1999) и (Ши, Там, 2002).

Обзор [ править ]

Примеры римановых многообразий будут рассмотрены ниже. Известная теорема о Джоне Нэша утверждает, что для любого гладкого риманова многообразия есть (обычно большое) число и вложение таким образом, что откат от стандартных римановых метрик на это неформально, всю структуру гладкого риманова многообразия может быть закодированы диффеоморфизмом на некоторое вложенное подмногообразие некоторого евклидова пространства. В этом смысле можно утверждать, что рассмотрение абстрактных гладких многообразий и их римановых метрик ничего нельзя сделать. Однако существует множество естественных гладких римановых многообразий, таких как множество вращений трехмерного пространства и${\displaystyle (M,g),}$${\displaystyle N}$${\displaystyle F:M\to \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g.}$гиперболическое пространство , любое представление которого в качестве подмногообразия евклидова пространства не сможет представить их замечательные симметрии и свойства так же ясно, как их абстрактные представления.

Примеры [ править ]

Евклидово пространство [ править ]

Пусть обозначают стандартные координаты на Затем определяют по${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle g_{p}^{\mathrm {can} }:T_{p}\mathbb {R} ^{n}\times T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\longmapsto \sum _{i}a_{i}b_{i}.}$

Другими словами: относительно стандартных координат местное представление дается постоянным значением${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \delta _{ij}.}$

Очевидно, что это риманова метрика, и она называется стандартной римановой структурой на ней. Она также называется евклидовым пространством размерности n, а g _ij ^can также называется (канонической) евклидовой метрикой .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Вложенные подмногообразия [ править ]

Пусть риманово многообразие и быть вложенным подмногообразием из которого по меньшей мере , тогда ограничение на г на векторы касательной вдоль Н определяет риманова метрика над N .${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle N\subset M}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle C^{1}.}$

• Например, рассмотрим, какое гладкое вложенное подмногообразие евклидова пространства со стандартной метрикой. Риманова метрика, которую это индуцирует, называется стандартной метрикой или канонической метрикой на${\displaystyle S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n})^{2}=1.\},}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n-1}.}$
• Подобных примеров много. Например, каждый эллипсоид в имеет естественную риманову метрику. График гладкой функции является вложенным подмногообразием, а значит, также имеет естественную риманову метрику.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

Погружения [ править ]

Пусть - риманово многообразие и пусть - дифференцируемое отображение. Тогда можно рассмотреть откат из через , который является симметричным 2-тензором на определяются${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle f:\Sigma \to M}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle (f^{\ast }g)_{p}(v,w)=g_{f(p)}{\big (}df_{p}(v),df_{p}(w){\big )},}$

где есть прямой образ из по${\displaystyle df_{p}(v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle f.}$

В этом случае обычно не будет римановой метрикой на, поскольку она не является положительно определенной. Например, если постоянный, то равен нулю. Фактически, это риманова метрика тогда и только тогда, когда это погружение , что означает, что линейное отображение инъективно для каждого${\displaystyle f^{\ast }g}$${\displaystyle \Sigma ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{\ast }g}$${\displaystyle f^{\ast }g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle df_{p}:T_{p}\Sigma \to T_{f(p)}M}$${\displaystyle p\in \Sigma .}$

• Важный пример возникает, когда не является односвязным, так что существует покрывающее отображение. Это погружение, и поэтому универсальное покрытие любого риманова многообразия автоматически наследует риманову метрику. В более общем смысле, но по тому же принципу, любое накрывающее пространство риманова многообразия наследует риманову метрику.${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle {\widetilde {M}}\to M.}$
• Кроме того, погруженное подмногообразие риманова многообразия наследует риманову метрику.

Показатели продукта [ править ]

Пусть и - два римановых многообразия, и рассмотрим декартово произведение с обычной гладкой структурой произведения. Римановы метрики и естественно поставить риманова метрика на которую можно описать несколькими способами.${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle (N,h)}$${\displaystyle M\times N}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\widetilde {g}}}$${\displaystyle M\times N,}$

• Рассматривая разложение, можно определить${\displaystyle T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{p,q}(u\oplus x,v\oplus y)=g_{p}(u,v)+h_{q}(x,y).}$

• Пусть будет гладкой координатной картой на и пусть будет гладкой координатной картой на Тогда - гладкой координатной картой на. Для удобства обозначим набор положительно определенных симметричных вещественных матриц. Обозначит представление координат относительно пути и обозначит координатное представление относительно путем Тогда локальных координатного представления относительно будет дано${\displaystyle (U,x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (V,y)}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$${\displaystyle M\times N.}$${\displaystyle \operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (U,x)}$${\displaystyle g_{U}:U\to \operatorname {Sym} _{m\times m}^{+}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle (V,y)}$${\displaystyle h_{V}:V\to \operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}.}$${\displaystyle {\widetilde {g}}}$${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$${\displaystyle {\widetilde {g}}_{U\times V}:U\times V\to \operatorname {Sym} _{(m+n)\times (m+n)}^{+}}$

${\displaystyle (p,q)\mapsto {\begin{pmatrix}g_{U}(p)&0\\0&h_{V}(q)\end{pmatrix}}.}$

Стандартный пример - рассмотрение n-мерного тора как n-кратного произведения.Если дать каждую копию его стандартной римановой метрики, рассматриваемой как вложенное подмногообразие (как указано выше), то можно рассматривать риманову метрику произведения на нем, называемую плоский тор .${\displaystyle T^{n},}$${\displaystyle S^{1}\times \cdots \times S^{1}.}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle T^{n}.}$

Выпуклые комбинации показателей [ править ]

Пусть и - две римановы метрики на Тогда для любого числа${\displaystyle g_{0}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \lambda \in [0,1],}$

${\displaystyle {\tilde {g}}:=\lambda g_{0}+(1-\lambda )g_{1}}$

также является римановой метрикой на В более общем плане, если и являются любыми двумя положительными числами, то является другой римановой метрикой.${\displaystyle M.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ag_{0}+bg_{1}}$

Каждое гладкое многообразие имеет риманову метрику [ править ]

Это фундаментальный результат. Хотя большая часть базовой теории римановой метрики может быть развита только с использованием того факта, что гладкое многообразие является локально евклидовым, для этого результата необходимо включить в определение «гладкого многообразия», что оно хаусдорфово и паракомпактно. Причина в том, что доказательство использует разбиение единицы .

Структура метрического пространства непрерывных связных римановых многообразий [ править ]

Длина кусочно-непрерывно дифференцируемых кривых [ править ]

Если является дифференцируемым, то он присваивает каждому вектор в векторном пространстве, размер которого может быть измерен нормой. So определяет неотрицательную функцию на интервале . Длина определяется как интеграл этой функции; однако, как представлено здесь, нет оснований ожидать, что эта функция будет интегрируемой. Типично предполагать, что g непрерывна и непрерывно дифференцируема, так что интегрируемая функция неотрицательна и непрерывна, и, следовательно, длина${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$${\displaystyle t\in (a,b)}$${\displaystyle \gamma '(t)}$${\displaystyle T_{\gamma (t)}M,}$${\displaystyle |\cdot |_{\gamma (t)}.}$${\displaystyle t\mapsto |\gamma '(t)|_{\gamma (t)}}$${\displaystyle (a,b).}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma ,}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|_{\gamma (t)}\,dt,}$

четко определено. Это определение легко расширить, чтобы определить длину любой кусочно-непрерывно дифференцируемой кривой.

Во многих случаях, например, при определении тензора кривизны Римана , необходимо требовать, чтобы g обладал большей регулярностью, чем простая непрерывность; это будет обсуждаться в другом месте. На данный момент непрерывности g будет достаточно, чтобы использовать длину, определенную выше, чтобы наделить M структурой метрического пространства , при условии, что оно связано.

Структура метрического пространства [ править ]

Именно, определим по${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

${\displaystyle d_{g}(p,q)=\inf\{L(\gamma ):\gamma {\text{ a piecewise continuously differentiable curve from }}p{\text{ to }}q\}.}$

В основном просто проверить корректность функции, ее свойства симметрии, свойства рефлексивности и неравенства треугольника, хотя есть некоторые незначительные технические сложности (например, проверка того, что любые две точки могут быть соединены кусочно-дифференцируемым путем). Более фундаментально понять, что обеспечивает и, следовательно, удовлетворяет всем аксиомам метрики.${\displaystyle d_{g},}$${\displaystyle d_{g}(p,q)=d_{g}(q,p),}$${\displaystyle d_{g}(p,p)=0,}$${\displaystyle d_{g}(p,q)+d_{g}(q,r)\geq d_{g}(p,r),}$${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle d_{g}(p,q)>0,}$${\displaystyle d_{g}}$

(Набросок) Доказательство, из которого следует${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle d_{g}(p,q)>0.}$

Вкратце: должно быть некое предкомпактное открытое множество вокруг точки p, из которого должна выходить каждая кривая от p до q . Выбирая этот открытый набор для включения в координатную диаграмму, можно свести утверждение к хорошо известному факту, что в евклидовой геометрии кратчайшая кривая между двумя точками - это линия. В частности, как видно из евклидовой геометрии координатной карты вокруг точки p , любая кривая от p до q должна сначала пройти через определенный «внутренний радиус». Предполагаемая непрерывность римановой метрики g только позволяет этой «геометрии координатной карты» искажать «истинную геометрию» некоторым ограниченным фактором. Чтобы быть точным, пусть будет гладкой координатной картой с и Пусть будет открытое подмножество с По непрерывности и компактности существует положительное число такое, что для любого и любого где обозначает евклидову норму, индуцированную локальными координатами. Пусть R обозначают использоваться на заключительном этапе доказательства.${\displaystyle (U,x)}$${\displaystyle x(p)=0}$${\displaystyle q\notin U.}$${\displaystyle V\ni x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\overline {V}}\subset U.}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\overline {V}},}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle g(X,X)\geq \lambda \|X\|^{2}}$${\displaystyle r\in V}$${\displaystyle X\in T_{r}M,}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \sup\{r>0:B_{r}(0)\subset x(V)\},}$ Теперь для любого кусочно непрерывно дифференцируемого пути от p к q должен существовать некоторый минимальный такой, что, очевидно,${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \gamma (a+\delta )\notin V;}$${\displaystyle \gamma (a+\delta )\in \partial V.}$ Длина не меньше, чем ограничение на So${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [a,a+\delta ].}$ ${\displaystyle L(\gamma )\geq {\sqrt {\lambda }}\int _{a}^{a+\delta }\|\gamma '(t)\|\,dt.}$ Интеграл , который появляется здесь представляет евклидову длину кривой от 0 до , и поэтому оно больше или равно R . Итак, мы делаем вывод${\displaystyle x(\partial V)\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L(\gamma )\geq {\sqrt {\lambda }}R.}$

Наблюдение, лежащее в основе приведенного выше доказательства, о сравнении длин, измеренных с помощью g, и евклидовых длин, измеренных в гладкой координатной карте, также подтверждает, что топология метрического пространства совпадает с исходной структурой топологического пространства${\displaystyle (M,d_{g})}$${\displaystyle M.}$

Хотя длина кривой задается явной формулой, обычно невозможно записать функцию расстояния каким-либо явным образом. В самом деле, если компактно , то, даже если г гладкая, всегда существуют точки , где недифференцируема, и он может быть чрезвычайно трудно даже определить местоположение или характер этих точек, даже в , казалось бы , простых случаях , например, когда это эллипсоид.${\displaystyle d_{g}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (M,g)}$

Геодезические [ править ]

Как и в предыдущем разделе, пусть - связное и непрерывное риманово многообразие; рассмотрим ассоциированное метрическое пространство. Относительно этой структуры метрического пространства говорят, что путь является геодезической с единичной скоростью, если для каждого существует интервал, содержащий и такой, что${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle (M,d_{g}).}$${\displaystyle c:[a,b]\to M}$${\displaystyle t_{0}\in [a,b]}$${\displaystyle J\subset [a,b]}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|\qquad \forall s,t\in J.}$

Неформально можно сказать, что кто-то просит локально «растянуться» настолько, насколько это возможно, с учетом (неформально рассматриваемого) ограничения на единицу скорости. Идея состоит в том, что if является (кусочно) непрерывно дифференцируемым и для всех, то автоматически получается , применяя неравенство треугольника к сумме Римана аппроксимации интеграла, определяющего длину So, геодезическое условие единичной скорости, как указано выше, требует и должно быть как можно дальше друг от друга. Тот факт, что мы ищем только кривые для локального растяжения, отражен в первых двух примерах, приведенных ниже; глобальная форма${\displaystyle c}$${\displaystyle c:[a,b]\to M}$${\displaystyle |c'(t)|_{c(t)}=1}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))\leq |s-t|}$${\displaystyle c.}$${\displaystyle c(s)}$${\displaystyle c(t)}$${\displaystyle (M,g)}$ может заставить даже самые безобидные геодезические прогнуться и пересечься друг с другом.

• Рассмотрим случай, который представляет собой окружность с ее стандартной римановой метрикой, и, как это дает Напомним, измеряется длинами кривых вдоль , а не прямолинейными путями на плоскости. Этот пример также демонстрирует необходимость выбора подынтервала, поскольку кривая повторяется особенно естественным образом.${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle c:\mathbb {R} \to S^{1}}$${\displaystyle t\mapsto (\cos t,\sin t).}$${\displaystyle d_{g}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle J,}$${\displaystyle c}$
• Аналогично, если это круглая сфера со стандартной римановой метрикой, то путь с единичной скоростью вдоль экваториальной окружности будет геодезической. Путь с единичной скоростью по другим кругам широты не будет геодезическим.${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle S^{2}}$
• Рассмотрим случай, когда есть со стандартной римановой метрикой. Тогда линия с единичной скоростью, такая как геодезическая, а кривая из первого примера выше - нет.${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle t\mapsto (2^{-1/2}t,2^{-1/2}t)}$${\displaystyle c}$

Обратите внимание, что геодезические с единичной скоростью, как здесь определено, по необходимости являются непрерывными и фактически липшицевыми , но они не обязательно дифференцируемы или кусочно дифференцируемы.

Теорема Хопфа-Ринова [ править ]

Как и выше, пусть - связное и непрерывное риманово многообразие. Теорема Хопфа-Ринова в этом контексте утверждает, что (Громов, 1999)${\displaystyle (M,g)}$

• если метрическое пространство является полным (т.е. каждым -Cauchy сходится последовательность) , то${\displaystyle (M,d_{g})}$${\displaystyle d_{g}}$
  • каждое замкнутое и ограниченное подмножество компактно.${\displaystyle M}$
  • для любого существует геодезическая с единичной скоростью от до такая, что для всех${\displaystyle p,q\in M}$${\displaystyle c:[a,b]\to M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|}$${\displaystyle s,t\in [a,b].}$

Суть доказательства состоит в том, что после того , как первая половина установлена, то можно непосредственно применить теорему Арцела , в контексте компактного метрического пространства к последовательности кусочно - кривых непрерывно дифференцируемых единичной скорости от до длина которых приближенного полученный подпоследовательный предел и есть искомая геодезическая.${\displaystyle {\overline {B_{2d_{g}(p,q)}(p)}},}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d_{g}(p,q).}$

Предполагаемая полнота важна. Например, рассмотрим случай, когда проколотая плоскость со стандартной римановой метрикой берется и Нет геодезических с единичной скоростью от одного к другому.${\displaystyle (M,d_{g})}$${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle p=(1,0)}$${\displaystyle q=(0,1).}$

Диаметр [ править ]

Пусть - связное и непрерывное риманово многообразие. Как и в любом метрическом пространстве, можно определить диаметр быть${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle (M,d_{g})}$

${\displaystyle \operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in m\}.}$

Теорема Хопфа-Ринова показывает, что если она полная и имеет конечный диаметр, то она компактна. Наоборот, если компактно, то функция имеет максимум, так как это непрерывная функция на компактном метрическом пространстве. Это доказывает следующее утверждение:${\displaystyle (M,d_{g})}$${\displaystyle (M,d_{g})}$${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$

• Если полное, то оно компактно тогда и только тогда, когда имеет конечный диаметр.${\displaystyle (M,d_{g})}$

Это не так без предположения о полноте; в качестве контрпримеров можно рассматривать любое открытое ограниченное подмножество евклидова пространства со стандартной римановой метрикой.

Обратите внимание, что в более общем случае и с тем же однострочным доказательством каждое компактное метрическое пространство имеет конечный диаметр. Однако следующее утверждение неверно : «Если метрическое пространство полно и имеет конечный диаметр, то оно компактно». В качестве примера полного и некомпактного метрического пространства конечного диаметра рассмотрим

${\displaystyle M={\Big \{}{\text{continuous functions }}f:[0,1]\to \mathbb {R} {\text{ with }}\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|\leq 1{\Big \}}}$

с равномерной метрикой

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$

Итак, хотя все члены в приведенном выше следствии теоремы Хопфа-Ринова включают только структуру метрического пространства, важно, чтобы метрика индуцировалась из римановой структуры.${\displaystyle (M,g),}$

Римановы метрики [ править ]

Геодезическая завершенность [ править ]

Риманов многообразие М является геодезический полным , если для все р ∈ M , то экспоненциальный отображение ехра _р определен для всех V ∈ T _р M , то есть , если любая геодезическая γ ( т ) , начиная с р определяется для всех значений параметра т ∈ R . Теорема Хопфа – Ринова утверждает, что M геодезически полно тогда и только тогда, когда оно полно как метрическое пространство .

Если M полно, то M не расширяемо в том смысле, что оно не изометрично открытому собственному подмногообразию любого другого риманова многообразия. Однако обратное неверно: существуют нерасширяемые многообразия, которые не являются полными.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• ду Карму, Манфредо (1992). Риманова геометрия . Базель: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Громов, Миша (1999). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств (на основе французского оригинального издания 1981 г.). Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. ISBN 0-8176-3898-9.
• Йост, Юрген (2008). Риманова геометрия и геометрический анализ (5-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77340-5.
• Ши, югуан; Там, Луен-Фай (2002). «Теорема о положительной массе и граничное поведение компактных многообразий с неотрицательной скалярной кривизной». J. Differential Geom . 62 (1): 79–125.

Внешние ссылки [ править ]

• Л.А. Сидоров (2001) [1994], «Риманова метрика» , Энциклопедия математики , EMS Press