В алгебраической геометрии , A Зариского пространство Римана или Зариское пространство из подкольце к о в поле К является локально окольцованным пространством , точки которого является кольцом нормирования , содержащие K и содержащимся в K . Они обобщают риманову поверхность комплексной кривой.
Пространства Зарисского – Римана были введены Зариским ( 1940 , 1944 ), который (довольно сбивчиво) назвал их римановыми многообразиями или римановыми поверхностями . Они были названы Зариским Риман пространства после Зарисского и Бернхарда Римана по Нагатому (1962) , которые использовали их , чтобы показать , что алгебраические многообразия могут быть вложены в комплекте из них.
Локальную униформизацию (доказанную Зариским в характеристике 0) можно интерпретировать как утверждение, что пространство Зарисского – Римана многообразия в некотором смысле неособо, а значит, является своего рода довольно слабым разрешением особенностей . Это не решает проблему разрешения особенностей, потому что в размерностях больше 1 пространство Зарисского – Римана не является локально аффинным и, в частности, не является схемой.
Определение
Зариское пространство Римана из поля К над основным полем к является локально окольцованным пространством , точки которого является кольцом нормирования , содержащие K и содержащимся в K . Иногда само оценочное кольцо K исключается, а иногда точки ограничиваются нульмерными оценочными кольцами (те, чье поле вычетов имеет степень трансцендентности нуль над k ).
Если S является Зариским Риман пространства подкольца к полевому K , оно имеет определенную топологию, взяв базис открытых множеств , чтобы быть нормирование колец , содержащие заданное конечное подмножество K . Пространство S квазикомпактно. Он превращается в локально окольцованное пространство путем присвоения любому открытому подмножеству пересечения колец оценки точек подмножества. Локальное кольцо в любой точке является соответствующим оценочным кольцом.
Пространство Зарисского – Римана функционального поля также может быть построено как обратный предел всех полных (или проективных) моделей функционального поля.
Примеры
Пространство Римана – Зарисского кривой
Пространство Римана – Зарисского кривой над алгебраически замкнутым полем k с функциональным полем K совпадает с его неособой проективной моделью. Он имеет одну общую незамкнутую точку, соответствующую тривиальному оцениванию с оценочным кольцом K , а его другие точки являются оценочными кольцами ранга 1 в K, содержащими k . В отличие от многомерных случаев пространство Зарисского – Римана кривой является схемой.
Пространство Римана – Зарисского поверхности
Кольца нормирования поверхности S над k с функциональным полем K можно классифицировать по размерности (степени трансцендентности поля вычетов) и рангу (количеству ненулевых выпуклых подгрупп в группе нормирования). Зариский (1939) дал следующую классификацию:
- Размер 2. Единственная возможность тривиального нормирование ранга 0, группа оценки 0 и кольцо нормирования К .
- Размер 1, ранг 1. Они соответствуют делителей на некотором раздутие S , или другими словами , к делителей и бесконечно близких точек из S . Все они дискретны. Центр в S может быть точкой или кривой. Группа оценки является Z .
- Размер 0, ранг 2. Они соответствуют росткам алгебраических кривых через точку на нормальную модели S . Оценочная группа изоморфна Z + Z с лексикографическим порядком.
- Размерность 0, ранг 1, дискретный. Они соответствуют росткам неалгебраических кривых (заданных, например, как y = неалгебраический формальный степенной ряд по x ) через точку нормальной модели. Группа оценки является Z .
- Размерность 0, ранг 1, недискретная, группа значений имеет несоизмеримые элементы. Они соответствуют росткам трансцендентных кривых, таких как y = x π, проходящих через точку нормальной модели. Группа значений изоморфна упорядоченной группе, порожденной двумя несоизмеримыми действительными числами.
- Размерность 0, ранг 1, недискретность, элементы группы значений соизмеримы. Группа значений может быть изоморфна любой плотной подгруппе рациональных чисел. Они соответствуют росткам кривых вида y = Σ a n x b n, где числа b n рациональны с неограниченными знаменателями.
Рекомендации
- Нагаты, Масаеси (1962), "Вложение абстрактного разнообразия в полном многообразии" , журнал математики в Университете Киото , 2 : 1-10, DOI : 10,1215 / KJM / 1250524969 , ISSN 0023-608X , MR 0142549
- Зариски, Оскар (1939), "Уменьшение особенностей алгебраической поверхности", Ann. математики. , 2, 40 (3): 639-689, Bibcode : 1939AnMat..40..639Z , DOI : 10,2307 / 1968949 , JSTOR 1968949
- Зариски, Оскар (1940), "Локальная униформизация на алгебраических многообразиях", Ann. математики. , 2, 41 (4): 852-896, DOI : 10,2307 / 1968864 , JSTOR 1968864 , МР 0002864
- Зарискому, Оскар (1944), «Компактность Римана многообразия абстрактного поля алгебраических функций», Бюллетень Американского математического общества , 50 (10): 683-691, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1944-08206 -2 , ISSN 0002-9904 , MR 0011573
- Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Vol. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8, MR 0389876