Риманова поверхность

Риманова поверхность для функции f ( z ) =  √ z . Две горизонтальные оси представляют действительную и мнимую части z , а вертикальная ось представляет действительную часть √ z . Мнимая часть √ z представлена ​​раскраской точек. Для этой функции это также высота после поворота графика на 180 ° вокруг вертикальной оси.

В математике , особенно в комплексном анализе , риманова поверхность - это одномерное комплексное многообразие . Эти поверхности были впервые изучены Бернхардом Риманом и названы в его честь . Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексной плоскости : локально вблизи каждой точки они выглядят как участки комплексной плоскости, но глобальная топология может быть совершенно иной. Например, они могут иметь вид сферы или тора или нескольких склеенных между собой листов.

Главный интерес к римановым поверхностям состоит в том, что между ними можно определять голоморфные функции . В настоящее время римановы поверхности считаются естественной средой для изучения глобального поведения этих функций, особенно многозначных функций, таких как квадратный корень и другие алгебраические функции или логарифм .

Каждая риманова поверхность является двумерным вещественно-аналитическим многообразием (т. Е. Поверхностью ), но она содержит больше структуры (в частности, комплексную структуру ), которая необходима для однозначного определения голоморфных функций. Двумерное вещественное многообразие можно превратить в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемо и метризуемо . Таким образом, сфера и тор допускают сложные структуры, но лента Мёбиуса , бутылка Клейна и реальная проективная плоскость - нет.

Геометрические факты о римановых поверхностях настолько "хороши", насколько это возможно, и часто дают интуицию и мотивацию для обобщений на другие кривые, многообразия или многообразия. Теорема Римана – Роха является ярким примером такого влияния.

Определения [ править ]

Есть несколько эквивалентных определений римановой поверхности.

1. Риманова поверхность Х представляет собой соединены комплексное многообразие из комплексной размерности один. Это означает , что X является связным хаусдорфовый , что наделен атласом на графики в открытом единичном круг на комплексной плоскости : для каждой точки х ∈ X существует окрестность о й т гомеоморфно открытого единичного диска комплекса плоскости, а карты перехода между двумя перекрывающимися картами должны быть голоморфными .
2. Риманова поверхность - это ориентированное многообразие (действительной) размерности два - двусторонняя поверхность - вместе с конформной структурой . Опять же, многообразие означает, что локально в любой точке x из X пространство гомеоморфно подмножеству вещественной плоскости. Дополнение «Риман» означает, что X наделено дополнительной структурой, которая позволяет измерять угол на многообразии, а именно класс эквивалентности так называемых римановых метрик . Две такие метрики считаются эквивалентными, если измеренные ими углы совпадают. Выбор класса эквивалентности метрик на X является дополнительным элементом конформной структуры.

Сложная структура порождает конформную структуру, выбирая стандартную евклидову метрику, заданную на комплексной плоскости, и перенося ее в X с помощью карт. Сложнее показать, что конформная структура определяет сложную структуру. ^[1]

Примеры [ править ]

• f ( z ) = arcsin z

• f ( z ) = журнал z

• f ( z ) = z ^1/2

• f ( z ) = z ^1/3

• f ( z ) = z ^1/4

Дополнительные определения и свойства [ править ]

Как и с любой картой между комплексными многообразиями, А функция F : M → N между двумя римановой поверхностью М и N , называется голоморфным , если для каждой диаграммы г в атласе из М и каждый график ч в атласе N , отображение ч ∘ е ∘ g ⁻¹ голоморфна (как функция от C к C ) везде, где она определена. Композиция двух голоморфных отображений голоморфна. Две римановы поверхности M иN называются биголоморфными (или конформно эквивалентными, чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективная голоморфная функция от M к N , обратная которой также голоморфна (оказывается, что последнее условие автоматическое и поэтому может быть опущено). Две конформно эквивалентные римановы поверхности для всех практических целей идентичны.

Ориентация [ править ]

Каждая риманова поверхность, будучи комплексным многообразием, ориентируема как вещественное многообразие. Для сложных диаграмм F и г с переходной функцией ч = ф ( г ^-1 ( г )), ч можно рассматривать как отображение из открытого множества R ² до R ² которого якобиевого в точке г просто реальное линейное отображение дается умножением на комплексное число h '( z ). Однако действительный определитель умножения на комплексное число αравно | α | ² , поэтому якобиан h имеет положительный определитель. Следовательно, комплексный атлас - это ориентированный атлас.

Функции [ править ]

Каждая некомпактная риманова поверхность допускает непостоянные голоморфные функции (со значениями в C ). Фактически всякая некомпактная риманова поверхность является многообразием Штейна .

Напротив, на компактной римановой поверхности X каждая голоморфная функция со значениями в C постоянна из-за принципа максимума . Однако всегда существуют непостоянные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в сфере Римана C ∪ {∞}). Точнее говоря, поле функций из X есть конечное расширение из С ( т ), функция поля в одной переменной, т.е. любые две мероморфные функции алгебраически зависимы. Это утверждение обобщается на более высокие измерения, см. Siegel (1955).. Мероморфные функции могут быть заданы довольно явно в терминах тета-функций Римана и отображения Абеля – Якоби поверхности.

Аналитический против алгебраического [ править ]

Существование непостоянных мероморфных функций может использоваться, чтобы показать, что любая компактная риманова поверхность является проективным многообразием , т.е. может быть задана полиномиальными уравнениями внутри проективного пространства . Фактически, можно показать, что любую компактную риманову поверхность можно вложить в комплексное проективное 3-пространство . Это удивительная теорема: римановы поверхности задаются диаграммами с локальными заплатами. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность обязательно будет алгебраической. Эта особенность римановых поверхностей позволяет изучать их средствами аналитической или алгебраической геометрии.. Соответствующее утверждение для многомерных объектов неверно, т. Е. Существуют компактные комплексные 2-многообразия, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, каждое проективное комплексное многообразие обязательно алгебраично, см . Теорему Чоу .

В качестве примера рассмотрим тор T  : =  C / ( Z  +  τ Z ). Функция Вейерштрасса , принадлежащая к решетке Z  +  т Z является мероморфны функция на Т . Эта функция и ее производная генерируют функцию поля Т . Есть уравнение${\displaystyle \wp _{\tau }(z)}$ ${\displaystyle \wp _{\tau }'(z)}$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

где коэффициенты g ₂ и g ₃ зависят от τ, что дает эллиптическую кривую E _τ в смысле алгебраической геометрии. Обратить это можно с помощью j-инварианта j ( E ), который можно использовать для определения τ и, следовательно, тора.

Классификация римановых поверхностей [ править ]

Множество всех римановых поверхностей можно разделить на три подмножества: гиперболические, параболические и эллиптические римановы поверхности. Геометрически они соответствуют поверхностям с отрицательной, нулевой или положительной постоянной поперечной кривизной . То есть каждая связная риманова поверхность допускает единственную полную двумерную вещественную риманову метрику с постоянной кривизной, равной или принадлежащей конформному классу римановых метрик, определяемых ее структурой как римановой поверхности. Это можно рассматривать как следствие существования изотермических координат . ${\displaystyle X}$${\displaystyle -1,0}$${\displaystyle 1}$

В комплексных аналитических терминах теорема Пуанкаре – Кебе (обобщение теоремы об отображении Римана ) утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одному из следующих утверждений:

• Сфера Римана , которая изоморфна  ;${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}}$ P 1 ( C ) {\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}
• Комплексная плоскость ;${\displaystyle \mathbf {C} }$
• Открытый круг , который изоморфно верхней полуплоскости .${\displaystyle \mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}}$

Риманова поверхность может быть эллиптической, параболической или гиперболической в ​​зависимости от того, изоморфна ли ее универсальное покрытие поверхности , или . Элементы в каждом классе допускают более точное описание. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$

Эллиптические римановы поверхности [ править ]

Сфера Римана является единственным примером, поскольку нет группы, действующей на ней посредством биголоморфных преобразований свободно и собственно разрывно, и поэтому любая риманова поверхность, универсальное покрытие которой изоморфно, сама должна быть изоморфна ей.${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$

Параболические римановы поверхности [ править ]

Если это риманова поверхность, универсальное покрытие которой изоморфно комплексной плоскости, то она изоморфна одной из следующих поверхностей: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

• ${\displaystyle \mathbf {C} }$ сам;
• Частное ;${\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {Z} }$
• Частное, где с .${\displaystyle \mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )}$${\displaystyle \tau \in \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathrm {Im} (\tau )>0}$

Топологически их всего три типа: плоскость, цилиндр и тор . Но в то время как в двух первых случаях (параболическая) структура римановой поверхности уникальна, изменение параметра в третьем случае дает неизоморфные римановы поверхности. Описание параметром дает пространство Тейхмюллера «помеченных» римановых поверхностей (в дополнение к структуре римановой поверхности добавляются топологические данные «маркировки», которые можно рассматривать как фиксированный гомеоморфизм тору). Чтобы получить аналитическое пространство модулей (забывая о маркировке), берется факторное пространство Тейхмюллера по группе классов отображений . В данном случае это модульная кривая . ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

Гиперболические римановы поверхности [ править ]

В остальных случаях это гиперболическая риманова поверхность, которая изоморфна факторизации верхней полуплоскости по фуксовой группе (иногда это называют фуксовой моделью поверхности). Топологическим типом может быть любая ориентируемая поверхность, кроме тора и сферы . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Особый интерес представляет случай, когда компактен. Затем его топологический тип описывается его родом . Его пространство Тейхмюллера и пространство модулей -мерны. Можно дать аналогичную классификацию римановых поверхностей конечного типа (гомеоморфных замкнутой поверхности без конечного числа точек). Однако в целом пространство модулей римановых поверхностей бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы допускать такое описание.${\displaystyle X}$${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle 6g-6}$

Карты между римановыми поверхностями [ править ]

Геометрическая классификация отражается на картах между римановых поверхностей, как описано в теореме Лиувилля и теоремы Литтл Пикара : отображение из гиперболических в параболической к эллиптическим легко, но карты от эллиптических до параболической или параболического на гиперболический очень ограничены ( на самом деле, как правило , постоянная !). Есть включения диска в плоскость в сфере: но любое голоморфное отображение из сферы в плоскость постоянно, любое голоморфное отображение из плоскости в единичный круг постоянно (теорема Лиувилля), и фактически любое голоморфное отображение из плоскость в плоскость минус две точки постоянна (маленькая теорема Пикара)!${\displaystyle \Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},}$

Проколотые сферы [ править ]

Эти утверждения поясняются рассмотрением типа сферы Римана с рядом проколов. Без проколов это сфера Римана, которая имеет эллиптическую форму. С одним проколом, который может быть размещен на бесконечности, это комплексная плоскость, которая является параболической. При двух проколах это параболическая плоскость или, альтернативно, кольцевое пространство или цилиндр. С тремя и более проколами это гиперболично - сравните пару штанов . Можно отобразить от одного прокола до двух с помощью экспоненциального отображения (которое является целым и имеет существенную особенность на бесконечности, поэтому не определяется на бесконечности и пропускает ноль и бесконечность), но все отображает от нуля проколов до одного или нескольких, или от одного-двух проколов до трех и более - постоянны.${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}$

Разветвленные покрывающие пространства [ править ]

Продолжая в том же духе, компактные римановы поверхности могут отображаться на поверхности более низкого рода, но не в более высокий род, за исключением постоянных отображений. Это связано с тем, что голоморфные и мероморфные отображения ведут себя локально так же, как непостоянные отображения - это разветвленные накрывающие отображения , а для компактных римановых поверхностей они ограничены формулой Римана – Гурвица в алгебраической топологии , которая связывает эйлерову характеристику пространства и разветвленное покрытие .${\displaystyle z\mapsto z^{n},}$

Например, гиперболические римановы поверхности представляют собой разветвленные покрывающие пространства сферы (они имеют непостоянные мероморфные функции), но сфера не покрывает и не отображает другие поверхности более высокого рода, за исключением константы.

Изометрии римановых поверхностей [ править ]

Группа изометрий униформизированной римановой поверхности (эквивалентно, группа конформных автоморфизмов ) отражает ее геометрию:

• род 0 - группа изометрий сферы есть группа Мёбиуса проективных преобразований комплексной прямой,
• группа изометрий плоскости - это подгруппа, фиксирующая бесконечность, а выколотой плоскости - это подгруппа, оставляющая неизменным набор, содержащий только бесконечность и ноль: либо фиксируя их оба, либо меняя их местами (1 / z ).
• группа изометрий верхней полуплоскости - вещественная группа Мёбиуса; это сопряжено с группой автоморфизмов диска.
• род 1 - группа изометрий тора в общих чертах переводится (как абелево многообразие ), хотя квадратная решетка и гексагональная решетка имеют дополнительные симметрии от поворота на 90 ° и 60 °.
• Для рода g ≥ 2 группа изометрий конечна и имеет порядок не выше 84 ( g −1) по теореме Гурвица об автоморфизмах ; поверхности, реализующие эту оценку, называются поверхностями Гурвица.
• Известно, что всякая конечная группа может быть реализована как полная группа изометрий некоторой римановой поверхности. ^[3]
  • Для рода 2 порядок максимизируется поверхностью Больца с порядком 48.
  • Для рода 3 порядок максимизируется квартикой Клейна с порядком 168; это первая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна единственной простой группе порядка 168, которая является второй по величине неабелевой простой группой. Эта группа изоморфна как PSL (2,7), так и PSL (3,2) .
  • Для рода 4 поверхность Бринга является высокосимметричной поверхностью.
  • Для рода 7 порядок максимизируется поверхностью Макбита с порядком 504; это вторая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна PSL (2,8), четвертой по величине неабелевой простой группе.

Теоретико-функциональная классификация [ править ]

Приведенная выше схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация римановых поверхностей, которая обычно используется комплексными аналитиками. В нем используются разные определения «параболического» и «гиперболического». В этой альтернативной схеме классификации риманова поверхность называется параболической, если на поверхности нет непостоянных отрицательных субгармонических функций, и иначе называется гиперболической . ^{[4] [5]} Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, являются ли функциональные пространства, отличные от отрицательных субгармонических функций, вырожденными, например, римановы поверхности, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны, или на которых все ограниченные гармонические функции постоянны, или на которых все положительные гармонические функции постоянны и т. д.

Во избежание путаницы назовите классификацию, основанную на метриках постоянной кривизны, геометрической , а классификацию , основанную на вырожденности функциональных пространств, - теоретико-функциональной . Например, риманова поверхность, состоящая из «всех комплексных чисел, кроме 0 и 1», является параболической в ​​теоретико-функциональной классификации, но гиперболической в ​​геометрической классификации.

См. Также [ править ]

• Dessin d'enfant
• Кэлерово многообразие
• Поверхность Лоренца
• Группа классов сопоставления

Теоремы о римановых поверхностях [ править ]

• Теорема ветвления
• Теорема об автоморфизмах Гурвица
• Теорема тождества для римановых поверхностей
• Теорема Римана – Роха
• Формула Римана – Гурвица

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Риманова поверхность» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]