Конформная геометрия

В математике , конформной геометрии является изучение множества угловых сохраняющих ( конформных ) преобразований на пространстве.

В реальном двумерном пространстве конформная геометрия - это в точности геометрия римановых поверхностей . В пространстве более двух измерений конформная геометрия может относиться либо к изучению конформных преобразований так называемых «плоских пространств» (таких как евклидовы пространства или сферы ), либо к изучению конформных многообразий, которые являются римановыми или псевдоримановыми многообразиями. с классом метрик , определенных до масштабов. Изучение плоских структур иногда называют геометрией Мёбиуса , и это разновидность геометрии Клейна .

Конформные многообразия [ править ]

Конформное многообразие является псевдориманово многообразием оборудован классом эквивалентности метрических тензоров , в котором две метрики г и ч эквивалентны тогда и только тогда ,

${\displaystyle h=\lambda ^{2}g,}$

где λ - вещественнозначная гладкая функция, определенная на многообразии. Класс эквивалентности таких метрик известен как конформная метрика или конформный класс . Таким образом, конформную метрику можно рассматривать как метрику, которая определяется только «до масштаба». Часто конформные метрики обрабатываются путем выбора метрики в конформном классе и применения к выбранной метрике только «конформно инвариантных» конструкций.

Конформная метрика является конформно плоской, если существует метрика, представляющая ее, которая является плоской в ​​обычном смысле, когда тензор кривизны Римана равен нулю. В конформном классе можно найти только метрику, плоскую в открытой окрестности каждой точки. Когда необходимо различить эти случаи, последний называют локально конформно плоским , хотя часто в литературе такого различия не проводится. П -сферыявляется локально конформно плоским многообразием, которое не является глобально конформно плоским в этом смысле, тогда как евклидово пространство, тор или любое конформное многообразие, которое покрывается открытым подмножеством евклидова пространства, является (глобально) конформно плоским в этом смысле. Локально конформно плоское многообразие локально конформно геометрии Мёбиуса , что означает, что существует угол, сохраняющий локальный диффеоморфизм многообразия в геометрию Мёбиуса. В двух измерениях каждая конформная метрика локально конформно плоская. В размерности n > 3 конформная метрика является локально конформно плоской тогда и только тогда, когда ее тензор Вейля равен нулю; в размерности n = 3 , если и только если тензор Коттона исчезает.

Конформная геометрия имеет ряд особенностей, которые отличают ее от (псевдо) римановой геометрии. Во-первых, хотя в (псевдо) римановой геометрии у каждого есть четко определенная метрика в каждой точке, в конформной геометрии есть только класс метрик. Таким образом, длина касательного вектора не может быть определена, но угол между двумя векторами все еще может быть определен. Другой особенностью является отсутствие связи Леви-Чивиты, потому что если g и λ ² g являются двумя представителями конформной структуры, то символы Кристоффеля для g и λ ² g не будут согласованы. Связанные с λ ²g будет включать производные функции λ, тогда как те, которые связаны с g , не будут.

Несмотря на эти различия, конформная геометрия все еще поддается обработке. Тензор связности и кривизны Леви-Чивиты , хотя и определяется только после того, как был выделен конкретный представитель конформной структуры, удовлетворяет определенным законам преобразования, включающим λ и его производные, когда выбирается другой представитель. В частности, (в размерности больше 3) тензор Вейля оказывается не зависящим от λ и, следовательно, является конформным инвариантом . Более того, даже если на конформном многообразии нет связности Леви-Чивиты, вместо этого можно работать с конформной связностью , которая может рассматриваться либо как тип связности Картана.смоделированный на связанной геометрии Мёбиуса, или как связь Вейля . Это позволяет определять конформную кривизну и другие инварианты конформной структуры.

Геометрия Мебиуса [ править ]

Геометрия Мёбиуса - это исследование « евклидова пространства с точкой, добавленной на бесконечности», или « пространства Минковского (или псевдоевклидова) с нулевым конусом, добавленным на бесконечности». То есть сеттинг - это компактификация знакомого пространства; геометрия связана с последствиями сохраняющих углов.

На абстрактном уровне с евклидовым и псевдоевклидовым пространствами можно обращаться практически одинаково, за исключением случая измерения два. Компактифицированная двумерная плоскость Минковского демонстрирует обширную конформную симметрию . Формально его группа конформных преобразований бесконечномерна. Напротив, группа конформных преобразований компактифицированной евклидовой плоскости всего лишь 6-мерная.

Два измерения [ править ]

Самолет Минковского [ править ]

Конформной группы для Минковского квадратичной формы д ( х , у ) = 2 х в плоскости является абелева группа Ли

${\displaystyle \operatorname {CSO} (1,1)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}e^{a}&0\\0&e^{b}\end{pmatrix}}\right|a,b\in \mathbb {R} \right\},}$

с алгеброй Ли cso (1, 1), состоящей из всех вещественных диагональных матриц 2 × 2 .

Рассмотрим теперь плоскость Минковского ℝ ² с метрикой

${\displaystyle g=2\,dx\,dy~.}$

Однопараметрическая группа конформных преобразований порождает векторное поле X, обладающее тем свойством, что производная Ли от g вдоль X пропорциональна g . Символично,

L _X g = λg   для некоторого λ .

В частности, используя приведенное выше описание алгебры Ли cso (1, 1) , это означает, что

1. L _X   dx = а ( х ) dx
2. L _X   dy = b ( y ) dy

для некоторых действительных функций a и b, зависящих, соответственно, от x и y .

Наоборот, для любой такой пары вещественнозначных функций существует векторное поле X, удовлетворяющее 1. и 2. Следовательно, алгебра Ли бесконечно малых симметрий конформной структуры, алгебра Витта , бесконечномерна .

Конформная компактификация плоскости Минковского - это декартово произведение двух окружностей S ¹ × S ¹ . На универсальной крышке нет препятствий для интегрирования бесконечно малых симметрий, поэтому группа конформных преобразований - это бесконечномерная группа Ли

${\displaystyle (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1}))\times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Diff} (S^{1})),}$

где Diff ( S ¹ ) - группа диффеоморфизмов окружности. ^[1]

Конформная группа CSO (1, 1) и ее алгебра Ли представляют актуальный интерес в двумерной конформной теории поля .

Евклидово пространство [ править ]

Группа конформных симметрий квадратичной формы

${\displaystyle q(z,{\bar {z}})=z{\bar {z}}}$

группа GL ₁ ( C ) = C ^× , мультипликативная группа комплексных чисел. Ее алгебра Ли ГЛ ₁ ( C ) = C .

Рассмотрим (евклидову) комплексную плоскость с метрикой

${\displaystyle g=dz\,d{\bar {z}}.}$

Бесконечно малые конформные симметрии удовлетворяют

1. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,dz=f(z)\,dz}$
2. ${\displaystyle \mathbf {L} _{X}\,d{\bar {z}}=f({\bar {z}})\,d{\bar {z}},}$

где f удовлетворяет уравнению Коши – Римана , а значит, голоморфна над своей областью определения. (См. Алгебру Витта .)

Следовательно, конформные изометрии области состоят из голоморфных отображений в себя. В частности, на конформной компактификации - сфере Римана - конформные преобразования задаются преобразованиями Мёбиуса

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$

где ad - bc отлично от нуля.

Высшие измерения [ править ]

В двух измерениях группа конформных автоморфизмов пространства может быть довольно большой (как в случае лоренцевой сигнатуры) или переменной (как в случае евклидовой сигнатуры). Сравнительное отсутствие жесткости двумерного случая с случаем более высоких размерностей связано с аналитическим фактом, что асимптотическое развитие бесконечно малых автоморфизмов структуры относительно неограниченно. В лоренцевой сигнатуре свобода заключается в паре вещественнозначных функций. В евклидовом языке свобода заключается в единственной голоморфной функции.

В случае более высоких размерностей асимптотики бесконечно малых симметрий представляют собой не более чем квадратичные полиномы. ^[2] В частности, они образуют конечномерную алгебру Ли . Точечно инфинитезимальные конформные симметрии многообразия можно проинтегрировать именно тогда, когда многообразие является неким модельным конформно плоским пространством ( вплоть до взятия универсальных накрытий и дискретных групповых факторов). ^[3]

Общая теория конформной геометрии похожа, хотя и с некоторыми отличиями, в случаях евклидовой и псевдоевклидовой сигнатуры. ^[4] В любом случае есть несколько способов представить модельное пространство конформно-плоской геометрии. Если иное не ясно из контекста, эта статья рассматривает случай евклидовой конформной геометрии с пониманием того, что она также применяется, mutatis mutandis , к псевдоевклидовой ситуации.

Инверсивная модель [ править ]

Инверсивная модель конформной геометрии состоит из группы локальных преобразований на евклидовом пространстве E ^n, порожденных инверсией в сферах. По теореме Лиувилля любое сохраняющее угол локальное (конформное) преобразование имеет такой вид. ^[5] С этой точки зрения свойства преобразования плоского конформного пространства аналогичны свойствам инверсивной геометрии .

Проективная модель [ править ]

Проективная модель отождествляет конформную сферу с некоторой квадрикой в проективном пространстве . Обозначим через q лоренцеву квадратичную форму на R ^{n +2,} определенную формулой

${\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n+1})=-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

В проективном пространстве P ( R ^{n +2} ) пусть S - геометрическое место q = 0 . Тогда S - проективная (или мебиусовская) модель конформной геометрии. Конформное преобразование на S является проективным линейным преобразованием из Р ( Р ^{п + 2} ) , что листы квадрики инварианта.

В родственной конструкции квадрика S рассматривается как бесконечно ^{удаленная} небесная сфера нулевого конуса в пространстве Минковского R ^{n +1,1} , которое снабжено квадратичной формой q, как указано выше. Нулевой конус определяется как

${\displaystyle N=\left\{(x_{0},\ldots ,x_{n+1})\mid -2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=0\right\}.}$

Это аффинный конус над проективной квадрике S . Пусть N ⁺ будет будущей частью нулевого конуса (с удаленным источником). Тогда тавтологическое проекция Р ^{п + 1,1} ∖ {0} → P ( R ^{п + 2} ) сужается до проекции Н ⁺ → S . Это дает Св.ну ⁺ структуру линейного расслоения над S . Конформные преобразования на S индуцированы ортохронные преобразования Лоренца из R ^{п + 1,1}, поскольку это однородные линейные преобразования, сохраняющие будущий нулевой конус.

Евклидова сфера [ править ]

Интуитивно конформно плоская геометрия сферы менее жесткая, чем риманова геометрия сферы. Конформные симметрии сферы порождаются инверсией во всех ее гиперсферах . С другой стороны, римановы изометрии сферы порождаются инверсиями в геодезических гиперсферах (см. Теорему Картана – Дьедонне ). Евклидова сфера может быть отображена на конформную сферу каноническим образом, но не наоборот.

Евклидова единичная сфера - это геометрическое место в R ^{n +1}

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Это может быть отображено в пространстве Минковского R ^{п + 1,1} , позволяя

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\sqrt {2}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

Легко видеть, что изображение сферы при этом преобразовании равно нулю в пространстве Минковского и, следовательно, лежит на конусе N ⁺ . Следовательно, она определяет поперечное сечение линии расслоения N ⁺ → S .

Тем не менее, выбор был произвольный. Если κ ( x ) - любая положительная функция от x = ( z , x ₀ , ..., x _n ) , то присвоение

${\displaystyle x_{0}={\frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n},\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

также дает отображение в N ⁺ . Функция κ - произвольный выбор конформной шкалы .

Репрезентативные показатели [ править ]

Представитель риманова метрика на сфере является метрикой , которая пропорциональна стандартной сфере метрики. Это дает реализацию сферы как конформного многообразия . Стандартная сферическая метрика - это ограничение евклидовой метрики на R ^{n +1.}

${\displaystyle g=dz^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}$

в сферу

${\displaystyle z^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

Конформным представителем g является метрика вида λ ² g , где λ - положительная функция на сфере. Конформный класс g , обозначенный [ g ], - это совокупность всех таких представителей:

${\displaystyle [g]=\left\{\lambda ^{2}g\mid \lambda >0\right\}.}$

Вложение евклидовых сфер в N ⁺ , как и в предыдущем разделе, определяет конформную шкалу на S . Наоборот, любая конформная шкала на S задается таким вложением. Таким образом, линейное расслоение N ⁺ → S отождествляется с расслоением конформных шкал на S : дать часть этого расслоения равносильно определению метрики в конформном классе [ g ].

Модель внешней метрики [ править ]

Другой способ реализовать репрезентативные метрики - использовать специальную систему координат на R ^{n +1, 1} . Предположим, что евклидова n- сфера S имеет стереографическую систему координат . Он состоит из следующего отображения R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbf {R} ^{n}\mapsto \left({\frac {2\mathbf {y} }{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right)\in S\subset \mathbf {R} ^{n+1}.}$

В терминах этих стереографических координат можно задать систему координат на нулевом конусе N ⁺ в пространстве Минковского. Используя приведенное выше вложение, репрезентативное метрическое сечение нулевого конуса равно

${\displaystyle x_{0}={\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Введем новую переменную t, соответствующую растяжениям вверх на N ⁺ , чтобы нулевой конус координировался

${\displaystyle x_{0}=t{\sqrt {2}}{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}}{1+\left|\mathbf {y} \right|^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}=t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Наконец, пусть ρ - следующая определяющая функция N ⁺ :

${\displaystyle \rho ={\frac {-2x_{0}x_{n+1}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{t^{2}}}.}$

В координатах t , ρ , y на R ^{n +1,1} метрика Минковского принимает вид:

${\displaystyle t^{2}g_{ij}(y)\,dy^{i}\,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

где g _ij - метрика на сфере.

В этих терминах часть связки N ⁺ состоит из спецификации значения переменной t = t ( y ⁱ ) как функции y ⁱ вдоль нулевого конуса ρ = 0 . Это дает следующего представителя конформной метрики на S :

${\displaystyle t(y)^{2}g_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j}.}$

Кляйнианская модель [ править ]

Сначала рассмотрим случай плоской конформной геометрии в евклидовой сигнатуре. П - мерный модель является небесной сферы в ( п + 2) n - мерном пространстве лоренцевского R ^{п + 1,1} . Здесь модель является геометрия Клейн : а однородное пространство G / H , где G = SO ( п + 1, 1) , действующий на ( п + 2) n - мерном пространстве лоренцевского R ^{п + 1,1} и Н является группой изотропии из фиксированный нулевой луч всветовой конус . Таким образом, конформно-плоские модели - это пространства инверсивной геометрии . Для псевдоевклидова метрической сигнатуры ( p , q ) модельная плоская геометрия определяется аналогично как однородное пространство O ( p + 1, q + 1) / H , где H снова берется как стабилизатор нулевой прямой. Обратите внимание, что как евклидово, так и псевдоевклидово модельное пространство компактно .

Конформные алгебры Ли [ править ]

Чтобы описать группы и алгебры, входящие в плоское модельное пространство, зафиксируйте следующую форму на R ^{p +1, q +1} :

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&J&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}}$

где J - квадратичная форма сигнатуры ( p , q ) . Тогда G = О ( р + 1, д + 1) , состоит из ( п + 2) × ( п + 2) матриц стабилизации Q  : ^т ДМК = Q . Алгебра Ли допускает разложение Картана

${\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {g} _{-1}\oplus \mathbf {g} _{0}\oplus \mathbf {g} _{1}}$

куда

${\displaystyle \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&^{t}p&0\\0&0&J^{-1}p\\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{0}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}-a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak {so}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

С другой стороны, это разложение согласуется с естественной структурой алгебры Ли, определенной на R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

Стабилизатор нулевого луча, направленного вверх на последний координатный вектор, задается борелевской подалгеброй

ч = г ₀ ⊕ г ₁ .

См. Также [ править ]

• Конформная геометрическая алгебра
• Конформная гравитация
• Конформное уравнение Киллинга
• Программа Эрланген
• Самолет Мебиуса

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кобаяси, Шошичи (1970). Группы преобразований в дифференциальной геометрии (Первое изд.). Springer. ISBN 3-540-05848-6.
• Slovák, Ян (1993). Инвариантные операторы на конформных многообразиях . Записки исследовательских лекций, Венский университет (Диссертация).
• Штернберг, Шломо (1983). Лекции по дифференциальной геометрии . Нью-Йорк: Челси. ISBN 0-8284-0316-3.

Внешние ссылки [ править ]

• Г.В. Бушманова (2001) [1994], "Конформная геометрия" , Энциклопедия математики , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm