Касательный вектор

Для более общей, но гораздо более технической обработки касательных векторов, см. Касательное пространство .

В математике , А касательный вектор представляет собой вектор , который является касательной к кривой или поверхности в данной точке. Касательные векторы описываются в дифференциальной геометрии кривых в контексте кривых в R ⁿ . В более общем смысле , касательные векторы являются элементами касательного пространства в виде дифференцируемого многообразия . Касательные векторы также можно описать в терминах ростков . Формально касательный вектор в точке является линейным производным алгебры, определяемой множеством ростков в точке .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Мотивация [ править ]

Прежде чем перейти к общему определению касательного вектора, мы обсудим его использование в исчислении и его тензорные свойства.

Исчисление [ править ]

Позвольте быть параметрической гладкой кривой . Касательный вектор задается как , где мы использовали штрих вместо обычной точки для обозначения дифференцирования по параметру t . ^[1] Единичный касательный вектор задается формулой${\ Displaystyle \ mathbf {r} (т)}$${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }(t)}$

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.}$

Пример [ править ]

Учитывая кривую

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}}$

в единичный касательный вектор в задается формулой${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$

Контравариантность [ править ]

Если задано параметрически в n -мерной системе координат x ⁱ (здесь мы использовали верхние индексы в качестве индекса вместо обычного нижнего индекса) посредством или${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$

${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$

то касательное векторное поле задается формулой${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$

${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$

При смене координат

${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$

касательный вектор в u ⁱ -системе координат задается формулой${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$

${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$

где мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании . Следовательно, касательный вектор гладкой кривой при изменении координат преобразуется в контравариантный тензор первого порядка. ^[2]

Определение [ править ]

Позвольте быть дифференцируемой функцией и пусть быть вектором в . Определим производную по направлению в точке как${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$

Тогда касательный вектор в точке может быть определен ^[3] как${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (D_{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}$

Свойства [ править ]

Позвольте быть дифференцируемыми функциями, пусть быть касательными векторами в at , и пусть . потом${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$

Касательный вектор на многообразиях [ править ]

Пусть - дифференцируемое многообразие и пусть - алгебра вещественнозначных дифференцируемых функций на . Тогда касательный вектор к в точке на многообразии задается дифференцированием, которое должно быть линейным, т. Е. Для любого, и мы имеем${\displaystyle M}$${\displaystyle A(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f,g\in A(M)}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

Обратите внимание, что вывод по определению будет обладать свойством Лейбница

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Грей, Альфред (1993), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Бока-Ратон: CRC Press.
• Стюарт, Джеймс (2001), Исчисление: концепции и контексты , Австралия: Томсон / Брукс / Коул.
• Кей, Дэвид (1988), Обзор теории и проблем тензорного исчисления Шаумсом , Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.