Обозначения Эйнштейна

В математике , особенно в приложениях линейной алгебры к физике , обозначение Эйнштейна или соглашение о суммировании Эйнштейна - это условное обозначение, которое подразумевает суммирование по набору проиндексированных членов в формуле, что обеспечивает краткость обозначений. Как часть математики, это подмножество обозначений исчисления Риччи ; однако он часто используется в приложениях в физике, которые не различают касательные и котангенсные пространства. Он был введен в физику Альбертом Эйнштейном в 1916 году ^[1].

Введение [ править ]

Заявление о соглашении [ править ]

Согласно этому соглашению, когда индексная переменная встречается дважды в одном термине и не определяется иначе (см. Свободные и связанные переменные ), это подразумевает суммирование этого члена по всем значениям индекса. Таким образом, если индексы могут варьироваться в пределах набора ${1, 2, 3}$ ,

y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}

упрощено соглашением до:

y=c_{i}x^{i}.

Верхние индексы не являются показателями, а являются индексами координат, коэффициентов или базисных векторов . То есть в этом контексте $x 2$ следует понимать как второй компонент $x,$ а не как квадрат $x$ (иногда это может приводить к двусмысленности). Верхняя позиция индекса в $x i$ обусловлена тем, что, как правило, индекс встречается один раз в верхней (надстрочный) и один раз в нижней (подстрочной) позиции в термине (см. § Приложение ниже). Как правило, $(x 1 x 2 x 3)$ будет эквивалентно традиционному $(x y z)$ .

В общей теории относительности принято считать, что

греческий алфавит используется для пространственных и временных компонентов, где индексы принимать значения 0, 1, 2 или 3 (часто используемые буквы $μ, ν, ...$ ),
латинский алфавит используется только для пространственных компонент, где индексы принимают значения 1, 2 или 3 (часто используемые буквы являются $я, J, ...$ ),

В общем, индексы могут варьироваться по любому набору индексации , включая бесконечный набор . Это не следует путать с типографически похожим соглашением, используемым для различения нотации тензорного индекса и тесно связанной, но отличной от базисно-независимой нотации абстрактного индекса .

Суммируемый индекс является индексом суммирования , в данном случае « $i$ ». Он также называется фиктивным индексом, поскольку любой символ может заменить « $i$ » без изменения значения выражения при условии, что он не конфликтует с индексными символами в том же термине.

Индекс, который не суммируется, является бесплатным индексом и должен появляться только один раз за термин. Если такой индекс действительно появляется, он обычно также появляется в терминах, принадлежащих той же сумме, за исключением специальных значений, таких как ноль.

Примером связанного индекса является «i» в выражении , которое эквивалентно . Обратите внимание, что даже когда «i» появляется дважды в правой части уравнения, неявное суммирование не применяется. $v_{i}=A_{ij}-A_{ji}$ $v_{i}=\sum _{j}(A_{ij}-A_{ji})$

Заявление [ править ]

Обозначения Эйнштейна можно применять несколько иначе. Как правило, каждый индекс встречается один раз в верхнем (верхний индекс) и один раз в нижнем (нижний) позициях в термине; однако это соглашение может применяться в более общем смысле к любым повторяющимся индексам в пределах термина. ^[2] При работе с ковариантными и контравариантными векторами, где позиция индекса также указывает тип вектора, обычно применяется первый случай; ковариантный вектор может быть сжат только с контравариантным вектором, соответствующим суммированию произведений коэффициентов. С другой стороны, когда есть фиксированный базис координат (или когда не рассматриваются координатные векторы), можно выбрать использование только индексов; см. § Верхние и нижние индексы по сравнению только с нижними индексами ниже.

Векторные представления [ править ]

Верхние и нижние индексы вместо только нижних индексов [ править ]

С точкой зрения Контравариантного Вектора ,

верхние индексы представляют собой компоненты контравариантных векторов ( векторов ),
нижние индексы представляют собой компоненты ковариантных векторов ( ковекторов ).

Они преобразуются контравариантно или ковариантно, соответственно, относительно изменения базиса.

Признавая этот факт, в следующих обозначениях используется один и тот же символ как для вектора или ковектора, так и для его компонентов , как в:

v=v^{i}e_{i}={\begin{bmatrix}e_{1}&e_{2}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\\vdots \\v^{n}\end{bmatrix}}\qquad w=w_{i}e^{i}={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{1}\\e^{2}\\\vdots \\e^{n}\end{bmatrix}}

где $v$ - вектор, а $v i$ - его компоненты (не $i-$ й ковектор $v$ ), $w$ - ковектор, а $w i$ - его компоненты. Элементы базисного вектора - это каждый вектор-столбец, а базисные элементы ковектора - это ковекторы каждой строки. (См. Также абстрактное описание; двойственность ниже и примеры ) $e_{i}$ $e^{i}$

При наличии невырожденной формы (изоморфизм $V \to V *$ , например, риманова метрика или метрика Минковского ) индексы можно повышать и понижать .

Базис дает такую форму (через двойственный базис ), поэтому при работе с $ℝ n$ с евклидовой метрикой и фиксированным ортонормированным базисом можно работать только с индексами.

Однако, если изменить координаты, способ изменения коэффициентов зависит от дисперсии объекта, и нельзя игнорировать различие; см. ковариацию и контравариантность векторов .

Мнемоника [ править ]

В приведенном выше примере векторы представлены как матрицы размера $n \times 1$ (векторы-столбцы), а ковекторы представлены как матрицы $1 \times n$ (ковекторы строк).

При использовании соглашения о векторе столбца:

« Up на индексы идут вверх вниз, л Ауэр индексы идут л EFT направо.»
« Ко вариантные тензоры - это векторы- строки , у которых есть индексы, расположенные ниже ( co-row-below )».
Ковекторы - это векторы-строки:
${\begin{bmatrix}w_{1}&\cdots &w_{k}\end{bmatrix}}.$
Следовательно, нижний индекс указывает, в каком столбце вы находитесь.
Контравариантные векторы - это векторы-столбцы:
${\begin{bmatrix}v^{1}\\\vdots \\v^{k}\end{bmatrix}}$
Следовательно, верхний индекс указывает, в какой строке вы находитесь.

Описание аннотации [ править ]

Достоинство обозначений Эйнштейна в том, что они представляют инвариантные величины с помощью простых обозначений.

В физике скаляр инвариантен относительно преобразований базиса . В частности, скаляр Лоренца инвариантен относительно преобразования Лоренца. Отдельных терминов в сумме нет. При изменении базиса компоненты вектора изменяются линейным преобразованием, описываемым матрицей. Это привело Эйнштейна к предложению соглашения о том, что повторяющиеся индексы подразумевают, что суммирование должно выполняться.

Что касается ковекторов, то они меняются обратной матрицей. Это сделано для того, чтобы гарантировать, что линейная функция, связанная с ковектором, сумма, указанная выше, одинакова, независимо от того, каков базис.

Ценность соглашения Эйнштейна в том, что оно применяется к другим векторным пространствам, построенным из $V$ с использованием тензорного произведения и двойственности . Например, $V \otimes V$ , тензорное произведение $V$ на себя, имеет базис, состоящий из тензоров вида $e ij = e i \otimes e j$ . Любой тензор $T$ в $V \otimes V$ можно записать как:

\mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}

.

$V *$ , двойственное к $V$ , имеет базис $e 1$ , $e 2$ , ..., $e n,$ который подчиняется правилу

\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{j}^{i}.

где $δ$ - символ Кронекера . В качестве

\operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W

координаты строки / столбца на матрице соответствуют верхним / нижним индексам на тензорном произведении.

Общие операции в этой нотации [ править ]

В обозначениях Эйнштейна обычная ссылка на элемент $A mn$ для $m-$ й строки и $n-$ го столбца матрицы $A$ становится $A m n$ . Тогда мы можем записать следующие операции в обозначениях Эйнштейна следующим образом.

Внутренний продукт (отсюда и векторный скалярный продукт ) [ править ]

Используя ортогональный базис , внутренний продукт представляет собой сумму соответствующих компонентов, умноженных вместе:

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{j}v^{j}

Это также можно вычислить, умножив ковектор на вектор.

Векторное произведение [ править ]

Опять же, используя ортогональный базис (в 3-х измерениях), перекрестное произведение по сути включает суммирование по перестановкам компонентов:

\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon ^{i}{}_{jk}u^{j}v^{k}\mathbf {e} _{i}

куда

\varepsilon ^{i}{}_{jk}=\delta ^{il}\varepsilon _{ljk}

$ε ijk$ - символ Леви-Чивиты , а $δ il$ - обобщенная дельта Кронекера . Исходя из этого определения $ε$ , между $ε i jk$ и $ε ijk нет разницы,$ кроме положения индексов.

Умножение матрицы на вектор [ править ]

Произведение матрицы $A ij$ на вектор-столбец $v j$ :

\mathbf {u} _{i}=(\mathbf {A} \mathbf {v} )_{i}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}v_{j}

эквивалентно

u^{i}=A^{i}{}_{j}v^{j}

Это частный случай умножения матриц.

Умножение матриц [ править ]

Матричное произведение двух матриц $Ij$ и $B$ $JK$ является:

\mathbf {C} _{ik}=(\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}

эквивалентно

C^{i}{}_{k}=A^{i}{}_{j}B^{j}{}_{k}

След [ править ]

Для квадратной матрицы $A i j$ след представляет собой сумму диагональных элементов, следовательно, сумму по общему индексу $A i i$ .

Внешний продукт [ править ]

Внешнее произведение вектора-столбца $u i$ на вектор-строку $v j$ дает матрицу $A$ размера $m \times n$ :

A^{i}{}_{j}=u^{i}v_{j}=(uv)^{i}{}_{j}

Поскольку $i$ и $j$ представляют два разных индекса, суммирование не производится, и индексы не удаляются при умножении.

Повышение и понижение индексов [ править ]

Учитывая тензор, можно поднять индекс или понизить индекс договаривающегося тензора с метрическим тензором , $г μν$ . Например, возьмем тензор $T α β$ , можно поднять индекс:

T^{\mu \alpha }=g^{\mu \sigma }T_{\sigma }{}^{\alpha }

Или можно понизить индекс:

T_{\mu \beta }=g_{\mu \sigma }T^{\sigma }{}_{\beta }

См. Также [ править ]

Тензор
Обозначение абстрактного индекса
Обозначение Бра – Кет
Графическое обозначение Пенроуза
Символ Леви-Чивита
Обозначение ДеВитта

Заметки [ править ]

Это касается только числовых индексов. Для абстрактных индексов ситуация обратная . Затем сами векторы несут верхние абстрактные индексы, а ковекторы - нижние абстрактные индексы, как в примере во введении к этой статье. Элементы базиса векторов могут иметь нижний числовой индекс и верхний абстрактный индекс.

Ссылки [ править ]

^ Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности» . Annalen der Physik . Bibcode : 1916AnP ... 354..769E . DOI : 10.1002 / andp.19163540702 . Архивировано из оригинального ( PDF ) 29 августа 2006 года . Проверено 3 сентября 2006 .
^ «Суммирование Эйнштейна» . Wolfram Mathworld . Проверено 13 апреля 2011 года .

Библиография [ править ]

Купцов, Л.П. (2001) [1994], "Правило Эйнштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press.

Внешние ссылки [ править ]

В Викибуке Общая теория относительности есть страница по теме: Обозначение суммирования Эйнштейна.

Роулингс, Стив (01.02.2007). «Лекция 10 - Конвенция Эйнштейна о суммировании и тождества векторов» . Оксфордский университет. Архивировано из оригинала на 2017-01-06 . Проверено 2 июля 2008 .
«Понимание einsum NumPy» . Переполнение стека .

[Ein1916-1] Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности» . Annalen der Physik . Bibcode : 1916AnP ... 354..769E . DOI : 10.1002 / andp.19163540702 . Архивировано из оригинального ( PDF ) 29 августа 2006 года . Проверено 3 сентября 2006 .

[wolfram-2] «Суммирование Эйнштейна» . Wolfram Mathworld . Проверено 13 апреля 2011 года .

[1].