В математике , А множество B векторов в векторном пространстве V называется базисом , если каждый элемент из V может быть записан единственным образом в виде конечной линейной комбинации элементов B . Коэффициенты этой линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора по отношению к B . Элементы основы называютсябазисные векторы .
Эквивалентно, множество B является базисом , если ее элементы являются линейно независимыми , и каждый элемент из V является линейной комбинацией элементов B . [1] Другими словами, базис - это линейно независимое остовное множество .
Векторное пространство может иметь несколько оснований; однако все базы имеют одинаковое количество элементов, называемое размерностью векторного пространства.
Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.
Определение
Базис Б из векторного пространства V над полем F (например, действительных чисел R или комплексные числа C ) является линейно независимой подмножество из V , что пролеты V . Это означает, что подмножество B в V является базисом, если оно удовлетворяет двум следующим условиям:
- линейная независимость собственности:
- для каждого конечного подмножества из B , если для некоторых в F , то ; а также
- охватывающее свойство:
- для каждого вектора v в V можно выбрать в F и в B такой, что .
В скалярах называются координатами вектора v относительно базиса B и по первому свойству определяются однозначно.
Векторное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным . В этом случае конечное подмножество может быть взято за само B для проверки линейной независимости в приведенном выше определении.
Часто бывает удобно или даже необходимо иметь упорядочение по базисным векторам, например, при обсуждении ориентации или когда кто-то рассматривает скалярные коэффициенты вектора по отношению к базису без явной ссылки на базисные элементы. В этом случае порядок необходим для привязки каждого коэффициента к соответствующему базисному элементу. Такое упорядочение может быть выполнено путем нумерации базовых элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок был выбран, говорят об упорядоченной основе , которая, следовательно, является не просто неструктурированным набором , а последовательностью , индексированным семейством или подобным; см. § Упорядоченные базы и координаты ниже.
Примеры
- Множество R 2 из упорядоченных пар из действительных чисел является векторным пространством для следующих свойств:
- покомпонентное сложение
- и скалярное умножение
- где - любое действительное число. Простая основа этого векторного пространство, называется стандартный базис состоит из двух векторов х 1 = (1,0) и х 2 = (0,1) , так как , любой вектор V = ( , б ) из R 2 может быть однозначно записанным как
- Любая другая пара линейно независимые векторы R 2 , такие как (1, 1) и (-1, 2) , формы и основа из R 2 .
- покомпонентное сложение
- В более общем смысле, если F - поле , множествоиз п -кортежей элементов F является векторным пространством для аналогично определенного сложения и умножения. Позволять
- - n -набор, все компоненты которого равны 0, кроме i- го, равного 1. Тогда является основой который называется стандартным базисом из
- Если Р является поле, тем кольцо многочленов F [ X ] из многочленов в одном неопределимых является F -векторного пространства, и имеет базис B , называется мономиальный базисом , состоящим из всех одночленов :
- Любой набор многочленов такой, что существует ровно один многочлен каждой степени, также является базисом. Такой набор полиномов называется полиномиальной последовательностью . Примеры (среди многих) таких полиномиальных последовательностей являются Bernstein базисных полиномов и полиномов Чебышева .
Характеристики
Многие свойства конечных базисов являются результатом леммы об обмене Стейница , которая гласит, что для любого векторного пространства V , учитывая конечное остовное множество S и линейно независимое множество L из n элементов V , можно заменить n правильно выбранных элементов S элементы L , чтобы получить охватывающее множество , содержащее L , имеющие других его элементы в S , и имеющий одинаковое число элементов , как S .
Большинство свойств, проистекающих из леммы об обмене Стейница, остаются верными, когда нет конечного остовного множества, но их доказательства в бесконечном случае обычно требуют аксиомы выбора или ее более слабой формы, такой как лемма об ультрафильтре .
Если V - векторное пространство над полем F , то:
- Если L - линейно независимое подмножество остовного множества S ⊆ V , то существует базис B такой, что
- V имеет основу (это предыдущее свойство, где L - пустое множество , а S = V ).
- Все основы V имеют одинаковую мощность , которая называется размерность в V . Это теорема о размерности .
- Производящее множество S является основой V тогда и только тогда , когда она минимальна, то есть не собственное подмножество из S не является также порождающим множеством V .
- Линейно независимое множество L является базисом тогда и только тогда, когда оно максимальное, то есть не является собственным подмножеством какого-либо линейно независимого множества.
Если V - векторное пространство размерности n , то:
- Подмножество V с n элементами является базисом тогда и только тогда, когда оно линейно независимое.
- Подмножество V с п элементов является базисом тогда и только тогда , когда оно охватывает множество V .
Координаты
Пусть V - векторное пространство конечной размерности n над полем F и
базис V . По определению базиса каждое v в V может быть записано уникальным образом как
где коэффициенты скаляры (то есть, элементы F ), которые называются координатами из V над B . Однако, если говорить о наборе коэффициентов, теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов могут иметь один и тот же набор коэффициентов. Например, а также имеют одинаковый набор коэффициентов {2, 3} и различаются. Поэтому часто бывает удобно работать с упорядоченной базой ; обычно это делается путем индексации базовых элементов по первым натуральным числам. Тогда координаты вектора образуют последовательность, индексируемую аналогично, и вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченная основа также называется фреймом , это слово обычно используется в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определять координаты.
Пусть, как обычно, множество из п -кортежей элементов F . Этот набор представляет собой F- векторное пространство с покомпонентным определением сложения и скалярного умножения. Карта
является линейным изоморфизмом из векторного пространствана V . Другими словами,это координатное пространство из V , а п -кратногоявляется координатный вектор из V .
Прообраз по из это n -наборвсе компоненты которого равны 0, кроме i- го, который равен 1. сформировать упорядоченную основу , который называется его стандартным базисом или каноническим базисом . Упорядоченный базис B - это изображение канонической основы .
Из предшествующего следует, что каждый упорядоченный базис является образом линейным изоморфизмом канонического базиса , и что любой линейный изоморфизм изна V можно определить как изоморфизм, отображающий канонический базисна данной упорядоченной основе V . Другими словами, это эквивалентно определению упорядоченного базиса V или линейного изоморфизма изна V .
Смена основы
Пусть V векторное пространство размерности п над полем F . Учитывая две (упорядоченные) базы а также относительно V часто бывает полезно выразить координаты вектора x относительно через координаты относительно Это можно сделать с помощью формулы изменения базиса , которая описана ниже. Индексы «старый» и «новый» выбраны потому, что принято ссылаться на а также как старая основа и новая основа соответственно. Полезно описывать старые координаты в терминах новых, потому что, как правило, есть выражения, включающие старые координаты, и если кто-то хочет получить эквивалентные выражения в терминах новых координат; это достигается заменой старых координат их выражениями в терминах новых координат.
Обычно новые базисные векторы задаются их координатами по старому базису, то есть
Если а также - координаты вектора x над старым и новым базисом соответственно, формула замены базиса
для i = 1,…, n .
Эта формула может быть кратко записана в матричной записи. Пусть A - матрица, и
быть векторами-столбцами координат v в старом и новом базисе соответственно, тогда формула для изменения координат
Формулу можно доказать, рассматривая разложение вектора x на два базиса: один имеет
а также
Формула замены базиса получается тогда из единственности разложения вектора по базису, здесь ; это
для i = 1,…, n .
Связанные понятия
Бесплатный модуль
Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, кольцом , получится определение модуля . Для модулей линейная независимость и остовные множества определены точно так же, как и для векторных пространств, хотя « порождающий набор » используется чаще, чем «остовный набор».
Как и в случае векторных пространств, базис модуля - это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Основное отличие теории векторных пространств состоит в том, что не каждый модуль имеет основу. Модуль, имеющий основу, называется свободным модулем . Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку они могут использоваться для описания структуры несвободных модулей с помощью свободных разрешений .
Модуль над целыми числами - это то же самое, что и абелева группа . Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяются модулями над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и, если G является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы H (то есть абелевой группой с конечным базисом), существует базисиз H и целое число 0 ≤ K ≤ N такое , чтоявляется базисом G , для некоторых ненулевых целых чисел. Подробнее см. Свободная абелева группа § Подгруппы .
Анализ
В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами термин Базис Гамеля (названный в честьГеорга Хамеля) илиалгебраический базисможет использоваться для обозначения базиса, как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы отличать другие понятия «базис», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важные альтернативыортогональные базисынагильбертовых пространствах,Шаудер базеиМаркушевич базахналинейных нормированных пространствах. В случае действительных чиселR,рассматриваемых как векторное пространство над полемрациональных чиселQ, базисы Гамеля неисчислимы и имеют, в частности,мощностьконтинуума, которая являетсякардинальным числом , где наименьший бесконечный кардинал, кардинал целых чисел.
Общей чертой других понятий является то, что они позволяют брать бесконечные линейные комбинации базисных векторов для генерации пространства. Это, конечно, требует, чтобы в этих пространствах содержательно определялись бесконечные суммы, как в случае топологических векторных пространств - большого класса векторных пространств, включая, например, гильбертовы пространства , банаховы пространства или пространства Фреше .
Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится «слишком большим» в банаховых пространствах: если X - бесконечномерное нормированное векторное пространство, которое является полным (т. Е. X - банахово пространство ), то любой базис Гамеля в X обязательно несчетен . Это следствие теоремы Бэра о категории . Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предположениями в предыдущем утверждении. В самом деле, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, а существуют бесконечномерные ( неполные ) нормированные пространства, которые имеют счетные базисы Гамеля. Рассмотреть возможность, пространство последовательностей действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой . Его стандартный базис , состоящий из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля.
Пример
В исследовании рядов Фурье , Узнает , что функции {1} ∪ {sin ( NX ), соз ( NX ): п = 1, 2, 3, ...} являются "ортогональным базисом" из (вещественных или комплексных) векторное пространство всех (действительных или комплексных) функций на интервале [0, 2π], которые интегрируются с квадратом на этом интервале, т. е. функций f, удовлетворяющих
Функции {1} ∪ {sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3,…} линейно независимы, и каждая функция f , интегрируемая с квадратом на [0, 2π], является «бесконечной линейная комбинация "из них, в том смысле, что
для подходящих (действительных или комплексных) коэффициентов a k , b k . Но многие [2] интегрируемые с квадратом функции не могут быть представлены как конечные линейные комбинации этих базисных функций, которые, следовательно , не составляют базиса Гамеля. Каждый базис Гамеля в этом пространстве намного больше, чем просто счетно бесконечный набор функций. Базисы Гамеля пространств такого типа обычно бесполезны, тогда как ортонормированные базисы этих пространств важны в анализе Фурье .
Геометрия
Геометрические понятия аффинного пространства , проективного пространства , выпуклого множества и конуса связаны с понятиями основание . [3] аффинное базис для п - мерного аффинного пространстваточки в общем линейном положении . Апроективный базис являетсяточки общего положения в проективном пространстве размерности n . Авыпуклая основа измногогранникаесть множество вершин еговыпуклой оболочки. Абазис конуса [4] состоит из одной точки по ребру многоугольного конуса. См. Такжебазис Гильберта (линейное программирование).
Случайная основа
Для распределения вероятностей в R n с функцией плотности вероятности , такого как эквираспределение в n -мерном шаре относительно меры Лебега, можно показать, что n случайно и независимо выбранных векторов сформируют базис с вероятностью единица , которая равна в связи с тем, что n линейно зависимых векторов x 1 ,…, x n в R n должны удовлетворять уравнению det [ x 1 ⋯ x n ] = 0 (нулевой определитель матрицы со столбцами x i ), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к разработке методов аппроксимации случайных оснований. [5] [6]
Численно проверить линейную зависимость или точную ортогональность сложно. Поэтому используется понятие ε-ортогональности. Для пространств с внутренним произведением , х есть ε-ортогональны у , если(то есть косинус угла между x и y меньше ε ).
В больших размерностях два независимых случайных вектора с высокой вероятностью почти ортогональны, а количество независимых случайных векторов, которые все с заданной высокой вероятностью попарно почти ортогональны, растет экспоненциально с увеличением размерности. Точнее, рассмотрим равнораспределение в n- мерном шаре. Выберите N независимых случайных векторов из шара (они независимы и одинаково распределены ). Пусть θ - небольшое положительное число. Тогда для
(Уравнение 1)
Все N случайных векторов попарно ε-ортогональны с вероятностью 1 - θ . [6] Это N растет экспоненциально с размерностью n идля достаточно больших n . Это свойство случайных оснований является проявлением так называемого феномена концентрации меры . [7]
На рисунке (справа) показано распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n- мерного куба [-1, 1] n как функция размерности n . Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка выбирается случайным образом в том же кубе. Если угол между векторами находился в пределах π / 2 ± 0,037π / 2, то вектор сохранялся. На следующем этапе в том же гиперкубе генерируется новый вектор, и оцениваются его углы с ранее сгенерированными векторами. Если эти углы находятся в пределах π / 2 ± 0,037π / 2, вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепочка почти ортогональности не разорвется, и не будет зафиксировано количество таких попарно почти ортогональных векторов (длина цепочки). Для каждого n численно построено 20 попарно почти ортогональных цепочек для каждого измерения. Представлено распределение длин этих цепочек.
Доказательство того, что каждое векторное пространство имеет базис
Пусть V любое векторное пространство над некоторым полем F . Пусть Х множество всех линейно независимых подмножеств V .
Множество X не пусто , так как пустое множество является независимым подмножество V , и это частично упорядоченное по включению, который обозначается, как обычно, с помощью ⊆ .
Пусть Y - подмножество X , которое полностью упорядочено ⊆ , и пусть L Y - объединение всех элементов Y (которые сами являются некоторыми подмножествами V ).
Поскольку ( Y , ⊆) полностью упорядочено, каждое конечное подмножество L Y является подмножеством элемента Y , который является линейно независимым подмножеством V , и, следовательно, L Y линейно независим. Таким образом , L Y представляет собой элемент X . Поэтому L Y представляет собой верхнюю границу для Y в ( X , ⊆): это элемент X , который содержит каждый элемент Y .
Поскольку X непусто и каждое полностью упорядоченное подмножество ( X , ⊆) имеет верхнюю границу в X , лемма Цорна утверждает, что X имеет максимальный элемент. Другими словами, существует некоторый элемент L max из X, удовлетворяющий условию, что если L max ⊆ L для некоторого элемента L из X , то L = L max .
Осталось доказать , что L макс является основой V . Так как L макс принадлежит X , мы уже знаем , что L макс является линейно независимым подмножеством V .
Если бы был некоторый вектор w из V, который не находится в промежутке L max , то w также не был бы элементом L max . Пусть L w = L max ∪ { w }. Этот набор является элементом X , то есть это линейно независимое подмножество V (поскольку w не входит в диапазон L max , а L max не зависит). Поскольку L max ⊆ L w и L max ≠ L w (поскольку L w содержит вектор w, который не содержится в L max ), это противоречит максимальности L max . Таким образом , это показывает , что L MAX пролетов V .
Следовательно , L макс является линейно независимой и пролеты V . Таким образом, это базис V , и это доказывает, что у каждого векторного пространства есть базис.
Это доказательство опирается на лемму Цорна, которая эквивалентна выбранной аксиоме . Наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна. [8] Таким образом, два утверждения эквивалентны.
Смотрите также
- Смена базы - Смена координат для векторного пространства
- Каркас векторного пространства
- Сферический базис - базис, используемый для выражения сферических тензоров.
- Основа матроида
Заметки
- ^ Халмос, Пол Ричард (1987). Конечномерные векторные пространства (4-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.
- ^ Обратите внимание, что нельзя сказать «большинство», потому что мощности двух наборов (функций, которые могут и не могут быть представлены конечным числом базисных функций) одинаковы.
- ^ Рис, Элмер Г. (2005). Примечания по геометрии . Берлин: Springer. п. 7. ISBN 978-3-540-12053-7.
- ^ Кучма, Марек (1970). «Несколько замечаний об аддитивных функциях на конусах». Aequationes Mathematicae . 4 (3): 303–306. DOI : 10.1007 / BF01844160 . S2CID 189836213 .
- ^ Игельник, Б .; Пао, Ю.-Х. (1995). «Стохастический выбор базисных функций в приближении адаптивных функций и функционально-связной сети». IEEE Trans. Neural Netw . 6 (6): 1320–1329. DOI : 10.1109 / 72.471375 . PMID 18263425 .
- ^ а б в Горбань, Александр Н .; Тюкин, Иван Юрьевич; Прохоров, Данил В .; Софейков, Константин И. (2016). «Аппроксимация со случайным основанием: Pro et Contra». Информационные науки . 364–365: 129–145. arXiv : 1506.04631 . DOI : 10.1016 / j.ins.2015.09.021 . S2CID 2239376 .
- ^ Артштейн, С. (2002). «Явление пропорциональной концентрации сферы» (PDF) . Israel J. Math. 132 (1): 337–358. CiteSeerX 10.1.1.417.2375 . DOI : 10.1007 / BF02784520 . S2CID 8095719 .
- ^ Бласс, Андреас (1984). Существование основ подразумевает Аксиому Выбора . Современная математика. 31 . С. 31-33.
Рекомендации
Общие ссылки
- Бласс, Андреас (1984), «Существование базисов подразумевает аксиому выбора», Теория аксиоматических множеств , Современная математика, том 31, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, Руководство по ремонту 0763890
- Браун, Уильям А. (1991), Матрицы и векторные пространства , Нью-Йорк: М. Деккер, ISBN 978-0-8247-8419-5
- Ланг, Серж (1987), Линейная алгебра , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6
Исторические ссылки
- Банах, Стефан (1922), «Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (Об операциях в абстрактных множествах и их применении к интегральным уравнениям)» (PDF) , Fundamenta Mathematicae (на французском), 3 : 133– 181, DOI : 10,4064 / фм 3-1-133-181 , ISSN 0016-2736
- Больцано, Бернард (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Соображения некоторых аспектов элементарной геометрии) (на немецком языке)
- Бурбаки, Николя (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Элементы истории математики) (на французском языке), Париж: Герман
- Dorier, Жан-Люк (1995), "Общая схема генезиса теории векторного пространства" , Хистория Mathematica , 22 (3): 227-261, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1024 , МР 1347828
- Фурье, Жан Батист Жозеф (1822), Аналитическая Теория Шалера (на французском языке), Chez Firmin Didot, père et fils
- Грассманн, Герман (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (на немецком языке), перепечатка: Герман Грассманн. Перевод Ллойда К. Канненберга. (2000), Теория расширений , Канненберг, LC, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2031-5
- Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам , Королевская ирландская академия
- Мёбиус, Август Фердинанд (1827), Der Barycentrische Calcul: ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Барицентрическое исчисление: новая утилита для аналитического обращения с геометрией) (на немецком языке), архивировано из оригинала 12 апреля 2009 г.
- Мур, Gregory H. (1995), "аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940гг", Historia Mathematica , 22 (3): 262-303, DOI : 10,1006 / hmat.1995.1025
- Пеано, Джузеппе (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann Preduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (на итальянском языке), Турин
Внешние ссылки
- Обучающие видео от Khan Academy
- Введение в базисы подпространств
- Доказательство того, что любой базис подпространства имеет одинаковое количество элементов
- «Линейные комбинации, промежуток и базисные векторы» . Сущность линейной алгебры . 6 августа 2016 г. - через YouTube .
- «Основа» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]