В математике , то теорема размерности для векторных пространств состояний , что все основания из в векторном пространстве имеют одинаково много элементов. Это количество элементов может быть конечным или бесконечным (в последнем случае это кардинальное число ) и определяет размерность векторного пространства.
Формально теорема размерности векторных пространств утверждает, что
- Для векторного пространства V любые две базы имеют одинаковую мощность .
В качестве основы является генераторной установкой , которая является линейно независимой , теоремой является следствием следующей теоремы, которая также полезно:
- В векторном пространстве V , если G является порождающим множеством, и я являюсь линейно независимым множеством, то мощность I не больше , чем мощность G .
В частности , если V имеет конечное число образующих , то все ее основания являются конечными и имеют одинаковое число элементов.
В то время как доказательство существования базиса для любого векторного пространства в общем случае требует леммы Цорна и на самом деле эквивалентно к аксиоме выбора , уникальность мощности базиса требует только ультрафильтрационной леммы , [1] , которая является строго слабее (однако, приведенное ниже доказательство предполагает трихотомию , т. е. что все кардинальные числа сравнимы, что также эквивалентно выбранной аксиоме). Теорема может быть обобщена на произвольные R -модули для колец R, имеющих инвариантный базисный номер .
В конечно порожденном случае доказательство использует только элементарные аргументы алгебры и не требует аксиомы выбора или ее более слабых вариантов.
Доказательство [ править ]
Пусть V - векторное пространство, { a i : i ∈ I } - линейно независимый набор элементов V , а { b j : j ∈ J } - порождающее множество . Надо доказать , что мощность в I не больше , чем J .
Если J конечно, это следует из леммы об обмене Стейница . (Действительно, лемма об обмене Стейница подразумевает, что каждое конечное подмножество I имеет мощность не больше, чем мощность J , следовательно, I конечно с мощностью не больше, чем у J. ) Если J конечно, возможно доказательство, основанное на теории матриц . [2]
Предположим, что J бесконечно. Если я конечно, то доказывать нечего. Таким образом, мы можем считать, что I также бесконечно. Предположим , что мощность I больше , чем J . [примечание 1] Мы должны доказать, что это приводит к противоречию.
По лемме Цорна , каждый линейно независимое множество содержится в максимальном линейно независимое множество K . Эта максимальность подразумевает, что K охватывает V и, следовательно, является базисом (максимальность подразумевает, что каждый элемент V линейно зависит от элементов K и, следовательно, является линейной комбинацией элементов K ). Поскольку мощность K больше или равна мощности I , можно заменить { a i : i ∈ I } на K, т.е. без ограничения общности можно предположить, что { a i : i ∈ I } является базисом.
Таким образом, каждый b j можно записать в виде конечной суммы
где представляет собой конечное подмножество As J бесконечно, имеет ту же мощность, что и J . [примечание 1] Поэтому имеет мощность меньше , чем я . Так что есть такие, которых нет ни в одном . Соответствующее может быть выражено как конечная линейная комбинация s, которая, в свою очередь, может быть выражена как конечная линейная комбинация s, не включающая . Следовательно , линейно зависит от других s, что дает желаемое противоречие.
Теорема о расширении ядра для векторных пространств [ править ]
Это приложение теоремы о размерности иногда называют теоремой о размерности . Позволять
- Т : U → V
- линейное преобразование . потом
- dim ( диапазон ( T )) + dim ( ядро ( T )) = dim ( U ),
то есть размерность U равна размерности преобразования в диапазоне плюс размерность ядра . См. Более подробное обсуждение теоремы ранга – недействительности .
Примечания [ править ]
Ссылки [ править ]
