Неопределенный (переменный)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Неопределенная» переменная  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В математике , и / или , в частности , в формальной алгебре , неопределенными является символом , который рассматривается в качестве переменной, не стоит ничего другого , кроме себя, и часто используется в качестве заполнителя в объектах , таких как полиномами и формальных степенных рядов . ^{[1] [2] [3]} В частности:

• Он не обозначает константу или параметр проблемы.
• Неизвестно, что можно решить.
• Это не переменная, обозначающая аргумент функции, или переменная, по которой суммируются или интегрируются.
• Это не какой-либо тип связанной переменной .
• Это просто символ, используемый в формальном смысле. ^[4]

Полиномы [ править ]

Многочлен от неопределенного - это выражение вида , где называются коэффициентами многочлена. Два таких многочлена равны, только если равны соответствующие коэффициенты. ^[5] Напротив, две полиномиальные функции в переменной могут быть равны или не равны при определенном значении .${\ displaystyle X}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Например, функции

${\displaystyle f(x)=2+3x,\quad g(x)=5+2x}$

равны, когда и не равны в противном случае. Но два полинома${\displaystyle x=3}$

${\displaystyle 2+3X,\quad 5+2X}$

не равны, так как 2 не равно 5, а 3 не равно 2. На самом деле,

${\displaystyle 2+3X=a+bX}$

не держит разве что и . Это потому , что не является числом и не обозначает его.${\displaystyle a=2}$${\displaystyle b=3}$${\displaystyle X}$

Различие тонкое, поскольку полином in может быть заменен на функцию in путем подстановки. Но различие важно, потому что при такой замене информация может быть потеряна. Например, работая по модулю 2 , мы имеем следующее:${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle 0-0^{2}=0,\quad 1-1^{2}=0,}$

поэтому полиномиальная функция тождественно равна 0 для любого значения в системе по модулю 2. Однако многочлен не является нулевым многочленом, поскольку не все коэффициенты 0, 1 и -1 соответственно равны нулю.${\displaystyle x-x^{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X-X^{2}}$

Формальный степенной ряд [ править ]

Формальный степенной ряд в неопределенном является выражением формы , где значения не присвоенный символу . ^[6] Это похоже на определение многочлена, за исключением того, что бесконечное число коэффициентов может быть отличным от нуля. В отличие от степенных рядов, встречающихся в исчислении, вопросы сходимости не имеют значения (поскольку здесь нет функции). Так что степенные ряды, которые расходятся при значениях , например , допустимы.${\displaystyle X}$${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,}$

Как генераторы [ править ]

Неопределенные значения полезны в абстрактной алгебре для создания математических структур . Например, для данного поля набор многочленов с коэффициентами в представляет собой кольцо многочленов с полиномиальным сложением и умножением в качестве операций. В частности, если используются два неопределенных и , тогда кольцо многочленов также использует эти операции, и это считается соглашением .${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle K[X,Y]}$${\displaystyle XY=YX}$

Неопределенные значения также можно использовать для создания свободной алгебры над коммутативным кольцом . Например, с двумя неопределенными и свободная алгебра включает суммы строк в и , с коэффициентами в , и с пониманием того, что и не обязательно идентичны (поскольку свободная алгебра по определению некоммутативна).${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A\langle X,Y\rangle }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle XY}$${\displaystyle YX}$

См. Также [ править ]

• Неопределенное уравнение
• Неопределенная форма
• Неопределенная система
• Полиномиальный
• Формальный степенной ряд

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Герштейн, IN (1975). Темы по алгебре . Вайли.
• Маккой, Нил Х. (1973), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN  68015225

Эта статья включает в себя материалы из undeterminate с сайта PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .