Конформная карта

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой (внизу). Видно, что пары линий, пересекающихся под углом 90 ° , сопоставляются с парами кривых, которые все еще пересекаются под углом 90 °.

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f}

В математике , конформное отображение является функция , которая локально сохраняет углы , но не обязательно длина.

Более формально, пусть и будут открытыми подмножествами . Функция называется конформным (или угол , сохраняющих ) в точке , если оно сохраняет углы между направленными кривыми через , а также сохранение ориентации. Конформные карты сохраняют как углы, так и формы бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизну . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle f: U \ to V}$ ${\ displaystyle u_ {0} \ in U}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$

Конформное свойство может быть описано в терминах матрицы производной Якоби преобразования координат . Преобразование конформно, если якобиан в каждой точке является положительным скаляром, умноженным на матрицу вращения ( ортогональную с определителем). Некоторые авторы определяют конформность, чтобы включить отображения с изменением ориентации, якобианы которых могут быть записаны как любое скалярное умножение на любую ортогональную матрицу. ^[1]

Для двумерных отображений конформные отображения (сохраняющие ориентацию) - это в точности локально обратимые комплексные аналитические функции. В трех и более высоких измерениях теорема Лиувилля резко ограничивает конформные отображения несколькими типами.

Понятие конформности естественным образом обобщается на отображения римановых или полуримановых многообразий .

Конформные карты в двух измерениях [ править ]

Если - открытое подмножество комплексной плоскости , то функция конформна тогда и только тогда, когда она голоморфна и ее производная всюду отлична от нуля на . Если он антиголоморфен ( сопряжен с голоморфной функцией), он сохраняет углы, но меняет их ориентацию. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle f}$

В литературе есть другое определение конформности: отображение, которое взаимно однозначно и голоморфно на открытом множестве на плоскости. Теорема об открытом отображении заставляет обратную функцию (определенную на образе ) быть голоморфной. Таким образом, согласно этому определению отображение конформно тогда и только тогда, когда оно биголоморфно. Два определения конформных отображений не эквивалентны. Взаимно однозначность и голоморфность подразумевают наличие ненулевой производной. Однако экспоненциальная функция является голоморфной функцией с ненулевой производной, но не взаимно однозначна, поскольку она периодична. ^[2] ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

Теорема об отображении Римана , один из глубоких результатов комплексного анализа , утверждает, что любое непустое открытое односвязное собственное подмножество допускает биективное конформное отображение в открытый единичный круг в . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Глобальные конформные отображения на сфере Римана [ править ]

Отображение сферы Римана на себя конформно тогда и только тогда, когда это преобразование Мёбиуса .

Комплексно сопряженное преобразование Мебиуса сохраняет углы, но меняет ориентацию. Например, перевороты кругов .

Конформные карты в трех или более измерениях [ править ]

Риманова геометрия [ править ]

В римановой геометрии две римановы метрики и на гладком многообразии называются конформно эквивалентными, если для некоторой положительной функции на . Функция называется конформным фактором . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g = uh}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle u}$

Диффеоморфизм между двумя риманова многообразия называется конформным отображением , если отстранился метрика конформно эквивалентна исходной. Например, стереографическая проекция из сферы на плоскость дополненной с точкой на бесконечности является конформным отображением.

Можно также определить конформную структуру на гладком многообразии как класс конформно эквивалентных римановых метрик .

Евклидово пространство [ править ]

Классическая теорема о Лиувилль показывает , что гораздо меньше , конформные отображения в более высоких размерах , чем в двух измерениях. Любая конформная карта на части евклидова пространства размерности три или больше может быть составлена из трех типов преобразований: гомотетии , изометрии и специального конформного преобразования .

Приложения [ править ]

Картография [ править ]

В картографии несколько именованных картографических проекций , включая проекцию Меркатора и стереографическую проекцию, являются конформными. Они обладают тем свойством, что искажение форм можно сделать сколь угодно малым, сделав диаметр отображаемой области достаточно малым.

Физика и техника [ править ]

Конформные отображения неоценимы для решения инженерных и физических задач, которые могут быть выражены в терминах функций комплексной переменной, но демонстрируют неудобную геометрию. Выбрав подходящее отображение, аналитик может преобразовать неудобную геометрию в гораздо более удобную. Например, можно рассчитать электрическое поле, возникающее от точечного заряда, расположенного около угла двух проводящих плоскостей, разделенных определенным углом (где - комплексная координата точки в 2-м пространстве). Сама по себе эта задача довольно коряво решать в закрытом виде. Однако, используя очень простое конформное отображение, неудобный угол преобразуется в один из точных ${\ displaystyle E (z)}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ pi}$ радианы, что означает, что угол двух плоскостей преобразуется в прямую линию. В этой новой области довольно легко решить задачу (задачу расчета электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным возле проводящей стенки). Раствор , полученный в этой области, и затем отображается обратно в исходной области, отметив , что был получен в виде функции ( а именно ., То композиция из и ) из , откуда можно рассматривать как , который является функцией ${\ Displaystyle E (ш)}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ Displaystyle E (ш)}$ ${\ Displaystyle Е (вес (г))}$ ${\ displaystyle z}$ , исходный координатный базис. Обратите внимание, что это приложение не противоречит тому факту, что конформные отображения сохраняют углы, они делают это только для точек внутри своей области, а не на границе. Другой пример - применение техники конформного отображения для решения краевой задачи о плескании жидкости в резервуарах. ^[3]

Если функция является гармонической (то есть удовлетворяет уравнению Лапласа ) в плоской области (которая является двумерной) и преобразуется через конформное отображение в другую плоскую область, преобразование также является гармоническим. По этой причине любая функция, которая определяется потенциалом, может быть преобразована конформным отображением и по-прежнему управляться потенциалом. Примеры в физике уравнений, определяемых потенциалом, включают электромагнитное поле , гравитационное поле и, в гидродинамике , потенциальный поток , который является приближением к потоку жидкости, предполагая постоянную плотность , нулевую вязкость. ${\ Displaystyle \ набла ^ {2} е = 0}$ , и безвихревой поток . Одним из примеров применения конформной карты в гидродинамике является преобразование Жуковского .

Конформные отображения также полезны при решении нелинейных уравнений в частных производных в некоторых конкретных геометриях. Такие аналитические решения обеспечивают полезную проверку точности численного моделирования основного уравнения. Например, в случае обтекания полубесконечной стенки очень вязкой свободной поверхности, область может быть отображена в полуплоскость, в которой решение является одномерным и легко вычисляется. ^[4]

Для дискретных систем Нури и Янг представили способ преобразования корневого множества дискретных систем в непрерывное корневое множество с помощью хорошо известного конформного отображения в геометрии (также известного как отображение инверсии ). ^[5]

Уравнения Максвелла [ править ]

Большая группа конформных отображений для связи решений уравнений Максвелла была идентифицирована Эбенезером Каннингемом (1908 г.) и Гарри Бейтманом (1910 г.). Их обучение в Кембриджском университете дало им возможность освоить метод заряда изображения и связанные с ним методы изображения сфер и инверсии. Как рассказал Эндрю Уорвик (2003), магистры теории : ^[6]

Каждое четырехмерное решение можно было инвертировать в четырехмерную гиперсферу псевдорадиуса , чтобы получить новое решение.

{\ displaystyle K}

Уорвик выделяет эту «новую теорему относительности» как ответ Кембриджа Эйнштейну, основанный на упражнениях с использованием метода инверсии, например, в учебнике Джеймса Хопвуда Джинса « Математическая теория электричества и магнетизма» .

Общая теория относительности [ править ]

В общей теории относительности конформные отображения являются самым простым и, следовательно, наиболее распространенным типом причинных преобразований. Физически эти описывают разные вселенные , в которых все то же событие и взаимодействие по - прежнему (причинное) возможно, но новая дополнительная сила необходима для осуществления этого (то есть репликация всех те же траекторий потребует отклонений от геодезического движения , потому что метрика тензор другой). Его часто используют, чтобы попытаться сделать модели поддающимися расширению за пределы сингулярностей кривизны , например, чтобы позволить описание Вселенной еще до Большого взрыва .

См. Также [ править ]

Теорема Каратеодори - конформное отображение непрерывно продолжается до границы
Диаграмма Пенроуза
Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости внутрь простого многоугольника.
Специальная линейная группа - преобразования, сохраняющие объем (в отличие от углов) и ориентацию

Ссылки [ править ]

^ Блер, Дэвид (2000-08-17). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. 9 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. DOI : 10.1090 / stml / 009 . ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074 .
^ Ричард М. Тимони (2004), теорема отображения Римана из Тринити-колледжа, Дублин
^ Kolaei, Amir; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2014-01-06). «Диапазон применимости линейной теории выплескивания жидкости для прогнозирования переходного бокового выплескивания и устойчивости автоцистерн к качению». Журнал звука и вибрации . 333 (1): 263–282. Bibcode : 2014JSV ... 333..263K . DOI : 10.1016 / j.jsv.2013.09.002 .
^ Хинтон, Эдвард; Хогг, Эндрю; Хупперт, Герберт (2020). «Неглубокие потоки Стокса на свободной поверхности обтекают угол». Философские труды Королевского общества А . 378 (2174). DOI : 10,1098 / rsta.2019.0515 . PMC 7287310. PMID 32507085 .
^ Нури, Кейван; Ян, Бинген (2020). "Псевдо S-plane Отображение корневого годографа Z-плоскости" . Международный конгресс и выставка машиностроения ASME 2020 . Американское общество инженеров-механиков. DOI : 10,1115 / IMECE2020-23096 (неактивный 2021-01-19).CS1 maint: DOI inactive as of January 2021 (link)
^ Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и подъем математической физики . Издательство Чикагского университета . С. 404–424 . ISBN 978-0226873756.

Дальнейшее чтение [ править ]

Альфорс, Ларс В. (1973), Конформные инварианты: вопросы геометрической теории функций , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., MR 0357743
Константин Каратеодори (1932) Конформное представление , Кембриджские трактаты по математике и физике
Шансон, Х. (2009), Прикладная гидродинамика: введение в идеальные и реальные потоки жидкости , CRC Press, Taylor & Francis Group, Лейден, Нидерланды, 478 страниц, ISBN 978-0-415-49271-3
Черчилль, Руэль В. (1974), Комплексные переменные и приложения , Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
Е.П. Долженко (2001) [1994], "Конформное отображение" , Энциклопедия математики , EMS Press
Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту 0924157
Вайсштейн, Эрик В. «Конформное отображение» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с конформным отображением .

Интерактивная визуализация множества конформных карт
Конформные карты Майкла Тротта, Демонстрационный проект Вольфрама .
Конформное картирование изображений течения в различных геометрических формах без магнитного поля и с магнитным полем. Автор Герхард Брунталер.
Конформное преобразование: от круга к квадрату .
Графический редактор конформных карт онлайн .
Joukowski Transform Interactive WebApp
Конформное отображение, нарисованное М.К. Эшером

[1] Блер, Дэвид (2000-08-17). Теория инверсии и конформное отображение . Студенческая математическая библиотека. 9 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. DOI : 10.1090 / stml / 009 . ISBN 978-0-8218-2636-2. S2CID 118752074 .

[2] Ричард М. Тимони (2004), теорема отображения Римана из Тринити-колледжа, Дублин

[3] Kolaei, Amir; Ракхеджа, Субхаш; Ричард, Марк Дж. (2014-01-06). «Диапазон применимости линейной теории выплескивания жидкости для прогнозирования переходного бокового выплескивания и устойчивости автоцистерн к качению». Журнал звука и вибрации . 333 (1): 263–282. Bibcode : 2014JSV ... 333..263K . DOI : 10.1016 / j.jsv.2013.09.002 .

[4] Хинтон, Эдвард; Хогг, Эндрю; Хупперт, Герберт (2020). «Неглубокие потоки Стокса на свободной поверхности обтекают угол». Философские труды Королевского общества А . 378 (2174). DOI : 10,1098 / rsta.2019.0515 . PMC 7287310. PMID 32507085 .

[5] Нури, Кейван; Ян, Бинген (2020). "Псевдо S-plane Отображение корневого годографа Z-плоскости" . Международный конгресс и выставка машиностроения ASME 2020 . Американское общество инженеров-механиков. DOI : 10,1115 / IMECE2020-23096 (неактивный 2021-01-19).CS1 maint: DOI inactive as of January 2021 (link)

[6] Уорик, Эндрю (2003). Магистр теории: Кембридж и подъем математической физики . Издательство Чикагского университета . С. 404–424 . ISBN 978-0226873756.

[1]