В дифференциальной геометрии , то тензор хлопка на (псевдо) - риманово многообразие размерности п является третьим порядком тензора сопутствующее из метрики , как тензор Вейля . Обнуление тензора Коттона при n = 3 является необходимым и достаточным условием для того, чтобы многообразие было конформно плоским , как и в случае с тензором Вейля при n ≥ 4 . При n <3 тензор Коттона тождественно равен нулю. Концепция названа в честь Эмиля Коттона .
Доказательство классического результата о том, что при n = 3 исчезновение тензора Коттона равносильно тому, что метрика является конформно плоской, дано Эйзенхартом с использованием стандартного аргумента интегрируемости . Эта тензорная плотность однозначно характеризуется своими конформными свойствами в сочетании с требованием, чтобы она была дифференцируемой для произвольных метрик, как показано ( Aldersley 1979 ).
В последнее время изучение трехмерных пространств становится большой интерес, так как тензор Cotton ограничивает связь между тензором Риччи и тензор энергии-импульса материи в уравнениях Эйнштейна и играет важную роль в гамильтонова формализма в общей теории относительности .
Определение
В координатах и обозначая тензор Риччи через R ij и скалярную кривизну через R , компоненты тензора Коттона равны
Тензор Коттона можно рассматривать как векторнозначную 2-форму , и для n = 3 можно использовать звездный оператор Ходжа, чтобы преобразовать его в тензорную плотность без следов второго порядка
иногда его называют тензором Коттона – Йорка .
Характеристики
Конформное изменение масштаба
При конформном масштабировании метрики для некоторой скалярной функции . Мы видим, что символы Кристоффеля трансформируются как
где тензор
В тензора Римана кривизна преобразуется как
В -мерных многообразий, мы получаем тензор Риччи, стягивая преобразованный тензор Римана, чтобы увидеть, как он преобразуется как
Аналогично скаляр Риччи преобразуется как
Объединение всех этих фактов позволяет нам заключить, что тензорные преобразования Коттона-Йорка выглядят следующим образом:
или используя координатно-независимый язык как
где градиент подключен к симметричной части Вейля тензора W .
Симметрии
Тензор Коттона имеет следующие симметрии:
и поэтому
Кроме того, формулу Бианки для тензора Вейля можно переписать в виде
где является положительным расхождение в первом компоненте W .
Рекомендации
- Олдерсли, SJ (1979). «Комментарии к определенным бездивергентным тензорным плотностям в трехмерном пространстве». Журнал математической физики . 20 (9): 1905–1907. Bibcode : 1979JMP .... 20.1905A . DOI : 10.1063 / 1.524289 .
- Шоке-Брюа, Ивонн (2009). Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна . Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-923072-3.
- Хлопок, Э. (1899 г.). "Sur les varétés à trois sizes" . Анналы факультета наук Тулузы . II. 1 (4): 385–438. Архивировано из оригинала на 2007-10-10.
- Эйзенхарт, Лютер П. (1977) [1925]. Риманова геометрия . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08026-7.
- А. Гарсия, Ф. В. Хель, К. Хайнике, А. Масиас (2004) "Тензор Коттона в римановом пространстве-времени", Classical and Quantum Gravity 21: 1099–1118, Eprint arXiv: gr-qc / 0309008