В общей теории относительности в уравнении поля Эйнштейна ( EFe ; также известное как уравнения Эйнштейна ) относится к геометрии пространства - времени с распределением вещества в нем. [1]
Уравнения были впервые опубликованы Эйнштейном в 1915 году в форме тензорного уравнения [2], связывающего локальныекривизна пространства-времени (выраженнаятензором Эйнштейна) с локальной энергией,импульсоми напряжением в пределах этого пространства-времени (выраженнаятензором энергии-импульса). [3]
Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением зарядов и токов через уравнения Максвелла , EFE связывают геометрию пространства-времени с распределением массы-энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для данное расположение напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE в виде набора нелинейных уравнений в частных производных при использовании таким образом. Решения УЭФ являются компонентами метрического тензора. Затем инерционные траектории частиц и излучения ( геодезические ) в результирующей геометрии вычисляются с использованием уравнения геодезических .
Помимо локального сохранения энергии-импульса, EFE сводится к закону тяготения Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, которые намного меньше скорости света . [4]
Точные решения для EFE можно найти только при упрощающих предположениях, таких как симметрия . Чаще всего изучаются специальные классы точных решений , поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся Вселенная . Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего только небольшие отклонения от плоского пространства-времени , что приводит к линеаризованному EFE . Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны .
Математическая форма
Уравнения поля Эйнштейна (EFE) можно записать в виде: [5] [1]
где G μν - тензор Эйнштейна , g μν - метрический тензор , T μν - тензор энергии-импульса , Λ - космологическая постоянная и κ - гравитационная постоянная Эйнштейна.
Тензор Эйнштейна определяется как
где R μν - тензор кривизны Риччи , а R - скалярная кривизна . Это симметричный тензор второй степени, который зависит только от метрического тензора и его первой и второй производных.
Постоянная тяготения Эйнштейна определяется как [6] [7]
где G - ньютоновская постоянная гравитации, а c - скорость света в вакууме.
Таким образом, EFE также можно записать как
В стандартных единицах каждый член слева имеет единицы 1 / длина 2 .
Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определяемую метрикой; выражение справа представляет собой содержание напряжения-энергии-импульса пространства-времени. Затем EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как напряжение-энергия-импульс определяет кривизну пространства-времени.
Эти уравнения, вместе с геодезическим уравнением , [8] , который определяет , как движется свободно падающей материи через пространства - времени, формируют ядро математической формулировки из ОТО .
EFE - это тензорное уравнение, связывающее набор симметричных тензоров 4 × 4 . Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четыре тождества Бианки сокращают количество независимых уравнений с 10 до 6, оставляя метрику с четырьмя степенями свободы , фиксирующими калибровку , которые соответствуют свободе выбора системы координат.
Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в n измерениях. [9] Уравнения в контексте вне общей теории относительности все еще называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (получаемые, когда T μν всюду равна нулю) определяют многообразия Эйнштейна .
Уравнения сложнее, чем кажется. При заданном распределении материи и энергии в форме тензора энергии-импульса EFE понимаются как уравнения для метрического тензора g μν , поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. Полностью записанные EFE представляют собой систему из десяти связанных, нелинейных, гиперболо-эллиптических уравнений в частных производных . [10]
Подписать соглашение
Приведенная выше форма EFE является стандартом, установленным Мизнером, Торном и Уилером (MTW). [11] Авторы проанализировали существующие соглашения и классифицировали их по трем признакам ([S1] [S2] [S3]):
Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи:
С помощью этих определений Мизнер, Торн и Уиллер классифицируют себя как (+ + +) , тогда как Вайнберг (1972) [12] является (+ - -) , Пиблз (1980) [13] и Efstathiou et al. (1990) [14] являются (- + +) , Rindler (1977), [ необходима ссылка ] Atwater (1974), [ необходима цитата ] Collins Martin & Squires (1989) [15] и Peacock (1999) [16] являются (- + -) .
Авторы, включая Эйнштейна, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части был отрицательным:
Знак космологического члена изменился бы в обеих этих версиях, если бы использовалось соглашение о знаках метрики (+ - - -), а не принятое здесь соглашение о знаках метрики MTW (- + + +) .
Эквивалентные составы
Взяв след по метрике обеих сторон EFE, мы получаем
где D - размерность пространства-времени. Решив вместо R и подставив его в исходный EFE, мы получим следующую эквивалентную форму с обратной трассировкой:
В D = 4 измерениях это сводится к
Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращением следа может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда кто-то интересуется пределом слабого поля и может заменить g μν в выражении справа на метрику Минковского без значительной потери точности).
Космологическая постоянная
В уравнениях поля Эйнштейна
член, содержащий космологическую постоянную Λ, отсутствовал в версии, в которой он их первоначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил термин с космологической постоянной, чтобы учесть, что Вселенная не расширяется и не сжимается . Эта попытка не увенчалась успехом, потому что:
- любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, неустойчиво, и
- Наблюдения Эдвина Хаббла показали, что наша Вселенная расширяется .
Затем Эйнштейн отказался от Λ , заметив Джорджу Гамову, «что введение космологического термина было самой большой ошибкой в его жизни». [17]
Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно полагалась равной нулю. Более поздние астрономические наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной , и для объяснения этого необходимо положительное значение Λ . [18] [19] Космологическая постоянная пренебрежимо мала в масштабе галактики или меньше.
Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но его член в уравнении поля можно также алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса:
Этот тензор описывает вакуумное состояние с плотностью энергии ρ vac и изотропным давлением p vac, которые являются фиксированными константами и задаются выражением
где предполагается, что Λ имеет единицу СИ м −2, а κ определено, как указано выше.
Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.
Функции
Сохранение энергии и импульса
Общая теория относительности согласуется с локальным сохранением энергии и импульса, выражаемым как
- .
Вывод локального закона сохранения энергии-импульса. Сужение дифференциального тождества Бианки
с g αβ дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, т. е. g αβ ; γ = 0 ,
Антисимметрия тензора Римана позволяет переписать второй член в приведенном выше выражении:
что эквивалентно
используя определение тензора Риччи .
Затем снова заключите контракт с метрикой
получить
Затем определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны показывают, что
который можно переписать как
Окончательное сжатие с g εδ дает
что в силу симметрии заключенного в квадратные скобки члена и определения тензора Эйнштейна дает после переименования индексов
Используя EFE, это сразу дает:
что выражает локальное сохранение напряжения-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. Своими уравнениями поля Эйнштейн убедился, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.
Нелинейность
Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Так , например, уравнение Максвелла из электромагнетизма является линейным в электрических и магнитных полей , а также заряд и распределение токов (т.е. сумма двух решений также является решением); Другой пример является уравнением Шредингера в квантовой механике , которая является линейной в волновой функции .
Принцип соответствия
EFE сводится к закону тяготения Ньютона , используя как приближение слабого поля и приближение замедленного . Фактически, постоянная G, появляющаяся в EFE, определяется этими двумя приближениями.
Вывод закона всемирного тяготения Ньютона Ньютонову гравитацию можно записать как теорию скалярного поля Φ , которое представляет собой гравитационный потенциал в джоулях на килограмм гравитационного поля g = −∇Φ , см . Закон Гаусса для гравитации.
где ρ - массовая плотность. Орбита свободно падающей частицы удовлетворяет
В тензорных обозначениях они становятся
В общей теории относительности эти уравнения заменены уравнениями поля Эйнштейна в обращенной следом форме
для некоторой константы K и уравнения геодезических
Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, предположим, что скорость пробной частицы приблизительно равна нулю.
и поэтому
и что метрика и ее производные приблизительно статичны, а квадраты отклонений от метрики Минковского незначительны. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезических дает
где два фактора dt/dτбыли разделены. Это сведется к его ньютоновскому аналогу, если
Наши предположения приводят к тому, что α = i и производные по времени (0) равны нулю. Так что это упрощает
который удовлетворяется, позволяя
Переходя к уравнениям Эйнштейна, нам понадобится только временная составляющая
предположения о низкой скорости и статическом поле подразумевают, что
Так
и поэтому
Из определения тензора Риччи
Наши упрощающие предположения приводят к тому, что квадраты Γ исчезают вместе с производными по времени
Объединение приведенных выше уравнений вместе
которое сводится к уравнению поля Ньютона при условии
что произойдет, если
Уравнения вакуумного поля
Если тензор энергии-импульса T µν в рассматриваемой области равен нулю, то уравнения поля также называют уравнениями поля вакуума . Установив T μν = 0 в следовом Обращенных уравнениях поля , вакуумные уравнения могут быть записаны в виде
В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид
Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумными решениями . Плоское пространство Минковского - простейший пример вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают решение Шварцшильда и решение Керра .
Многообразия с исчезающим тензором Риччи , R µν = 0 , называются Риччи-плоскими многообразиями, а многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, - многообразиями Эйнштейна .
Уравнения Эйнштейна – Максвелла
Если тензор энергии-импульса T μν - это тензор электромагнитного поля в свободном пространстве , т. Е. Если электромагнитный тензор энергии-импульса
, то уравнения поля Эйнштейна называются уравнениями Эйнштейна – Максвелла (с космологической постоянной Λ , принимаемой равной нулю в традиционной теории относительности):
Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве:
где точка с запятой представляет ковариантную производную , а скобки обозначают антисимметризацию . Первое уравнение утверждает , что 4- расхождение в 2-формы F равна нулю, а вторая , что его внешняя производная равна нулю. Из последнего по лемме Пуанкаре следует, что в координатной карте можно ввести потенциал электромагнитного поля A α такой, что
в котором запятая обозначает частную производную. Это часто считается эквивалентом ковариантного уравнения Максвелла, из которого оно получено. [20] Однако существуют глобальные решения уравнения, которые могут не обладать глобально определенным потенциалом. [21]
Решения
Решения полевых уравнений Эйнштейна являются метриками из пространства - времени . Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерционное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, они не всегда могут быть решены полностью (то есть без приближения). Например, нет известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (которое, например, является теоретической моделью двойной звездной системы). Однако в этих случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновскими приближениями . Тем не менее, есть несколько случаев, когда уравнения поля решены полностью, и они называются точными решениями . [9]
Изучение точных решений уравнений поля Эйнштейна - одно из направлений деятельности космологии . Это приводит к предсказанию черных дыр и к различным моделям эволюции Вселенной .
Можно также открыть новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормированных систем отсчета, впервые предложенного Эллисом и МакКаллумом. [22] В этом подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к набору связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Хсу и Уэйнрайт [23], автомодельные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками получающейся динамической системы . Новые решения были обнаружены с помощью этих методов ЛеБланом [24], Коли и Хасламом. [25]
Линеаризованный EFE
Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля состоит в том, чтобы сделать приближение, а именно, что вдали от источника (источников) гравитирующей материи гравитационное поле очень слабое, а пространство-время приближается к пространству Минковского . Затем метрика записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от метрики Минковского , игнорируя члены более высокой степени. Эту процедуру линеаризации можно использовать для исследования явлений гравитационного излучения .
Полиномиальная форма
Несмотря на то, что EFE, как написано, содержит инверсию метрического тензора, они могут быть организованы в форме, которая содержит метрический тензор в полиномиальной форме и без его инверсии. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать
с использованием символа Леви-Чивита ; а величина, обратная метрике в четырех измерениях, может быть записана как:
Подстановка этого определения обратной метрики в уравнения, а затем умножение обеих частей на подходящую степень det ( g ), чтобы исключить ее из знаменателя, приводит к полиномиальным уравнениям для метрического тензора и его первой и второй производных. Действие, из которого выводятся уравнения, также может быть записано в полиномиальной форме путем подходящего переопределения полей. [26]
Смотрите также
- Действие Эйнштейна – Гильберта
- Принцип эквивалентности
- Точные решения в общей теории относительности
- Ресурсы по общей теории относительности
- История общей теории относительности
- Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна.
- Математика общей теории относительности
- Численная теория относительности
- Исчисление Риччи
Заметки
- ^ а б Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности» . Annalen der Physik . 354 (7): 769. Bibcode : 1916AnP ... 354..769E . DOI : 10.1002 / andp.19163540702 . Архивировано из оригинального ( PDF ) 06.02.2012.
- ^ Эйнштейн, Альберт (25 ноября 1915 г.). "Die Feldgleichungen der Gravitation" . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 844–847 . Проверено 21 августа 2017 .
- ^ Миснер, Торн и Уиллер (1973) , стр. 916 [гл. 34].
- ^ Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия - Введение в общую теорию относительности . С. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3.
- ^ Грён, Эйвинд; Хервик, Зигбьорн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии (иллюстрированный ред.). Springer Science & Business Media. п. 180. ISBN 978-0-387-69200-5.
- ^ При выборе гравитационной постоянной Эйнштейна, как указано здесь, κ = 8 πG / c 4 , тензор напряжения-энергии в правой части уравнения должен быть записан с каждым компонентом в единицах плотности энергии (т.е. , эквивалентно давлению). В оригинальной публикации Эйнштейна выбран вариант κ = 8 πG / c 2 , и в этом случае компоненты тензора энергии-импульса имеют единицы массовой плотности.
- ^ Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-000423-4. OCLC 1046135 .
- ^ Вайнберг, Стивен (1993). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы . Винтажная пресса. С. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
- ^ а б Стефани, Ганс; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C .; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7.
- ^ Рендалл, Алан Д. (2005). «Теоремы о существовании и глобальной динамике для уравнений Эйнштейна» . Живая преподобная теория относительности . 8 . Номер статьи: 6. doi : 10.12942 / lrr-2005-6 . PMID 28179868 .
- ^ Миснер, Торн и Уиллер (1973) , стр. 501ff.
- ^ Вайнберг (1972) .
- ^ Пиблз, Филип Джеймс Эдвин (1980). Крупномасштабная структура Вселенной . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08239-1.
- ^ Efstathiou, G .; Сазерленд, штат Висконсин; Мэддокс, SJ (1990). «Космологическая постоянная и холодная темная материя». Природа . 348 (6303): 705. Bibcode : 1990Natur.348..705E . DOI : 10.1038 / 348705a0 . S2CID 12988317 .
- ^ Коллинз, PDB; Мартин, AD; Сквайрс, EJ (1989). Физика элементарных частиц и космология . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-60088-1.
- ^ Павлин (1999) .
- ^ Гамов, Георгий (28 апреля 1970 г.). Моя мировая линия: неформальная автобиография . Викинг Взрослый . ISBN 0-670-50376-2. Проверено 14 марта 2007 .
- ^ Валь, Николь (22 ноября 2005 г.). «Была ли« самая большая ошибка »Эйнштейна звездным успехом?» . Новости @ UofT . Университет Торонто. Архивировано из оригинала на 2007-03-07.
- ^ Тернер, Майкл С. (май 2001 г.). «Осмысление новой космологии». Int. J. Mod. Phys. . 17 (S1): 180–196. arXiv : astro-ph / 0202008 . Bibcode : 2002IJMPA..17S.180T . DOI : 10.1142 / S0217751X02013113 . S2CID 16669258 .
- ^ Браун, Харви (2005). Физическая теория относительности . Издательство Оксфордского университета. п. 164. ISBN 978-0-19-927583-0.
- ^ Траутман, Анджей (1977). «Решения уравнений Максвелла и Янга – Миллса, связанные с расслоениями Хопфа». Международный журнал теоретической физики . 16 (9): 561–565. Bibcode : 1977IJTP ... 16..561T . DOI : 10.1007 / BF01811088 . S2CID 123364248 ..
- ^ Эллис, СКФ; МакКаллум, М. (1969). «Класс однородных космологических моделей». Comm. Математика. Phys . 12 (2): 108–141. Bibcode : 1969CMaPh..12..108E . DOI : 10.1007 / BF01645908 . S2CID 122577276 .
- ^ Hsu, L .; Уэйнрайт, Дж (1986). «Самоподобные пространственно-однородные космологии: ортогональная идеальная жидкость и вакуумные решения». Класс. Квантовая гравитация . 3 (6): 1105–1124. Bibcode : 1986CQGra ... 3.1105H . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 3/6/011 .
- ^ ЛеБлан, В.Г. (1997). «Асимптотические состояния магнитных космологий Бианки I. Класс. Квантовая гравитация . 14 (8): 2281. Bibcode : 1997CQGra..14.2281L . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 14/8/025 .
- ^ Коли, Икджйот Сингх; Хаслам, Майкл С. (2013). "Динамический системный подход к вязкой магнитогидродинамической модели типа Бьянки I.". Phys. Rev. D . 88 (6): 063518. arXiv : 1304.8042 . Bibcode : 2013PhRvD..88f3518K . DOI : 10.1103 / physrevd.88.063518 . S2CID 119178273 .
- ^ Катанаев, М.О. (2006). «Полиномиальная форма действия Гильберта – Эйнштейна». Gen. Rel. Грав . 38 (8): 1233–1240. arXiv : gr-qc / 0507026 . Bibcode : 2006GReGr..38.1233K . DOI : 10.1007 / s10714-006-0310-5 . S2CID 6263993 .
Рекомендации
См. Ресурсы по общей теории относительности .
- Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уиллер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 978-0-7167-0344-0.
- Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-92567-5.
- Павлин, Джон А. (1999). Космологическая физика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521410724.
Внешние ссылки
- "Уравнения Эйнштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Учебник Калифорнийского технологического института по теории относительности - простое введение в уравнения поля Эйнштейна.
- Значение уравнения Эйнштейна - объяснение уравнения поля Эйнштейна, его вывод и некоторые из его следствий
- Видео лекции по Уравнения поля Эйнштейна по MIT физики профессор Эдмунд Бертшингер.
- Арка и каркас: как Эйнштейн нашел свои уравнения поля Physics Today ноябрь 2015, История развития уравнений поля
- Уравнение поля Эйнштейна на стене музея Бурхааве в центре Лейдена