Симметрии пространства-времени

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается для удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. › Эта статья требует внимания специалиста-математика . Добавьте причину или параметр обсуждения в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Ноябрь 2008 г. ) Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Симметрии пространства-времени - это особенности пространства-времени, которые можно описать как проявление некоторой формы симметрии . Роль симметрии в физике важна для упрощения решений многих проблем. SpaceTime симметрия используется при изучении точных решений в полевых уравнениях Эйнштейна в общей теории относительности . Симметрии пространства-времени отличаются от внутренних симметрий .

Физическая мотивация [ править ]

Физические проблемы часто исследуются и решаются путем выявления особенностей, обладающих некоторой формой симметрии. Например, в решении Шварцшильда роль сферической симметрии важна для получения решения Шварцшильда и вывода физических последствий этой симметрии (таких как отсутствие гравитационного излучения в сферически пульсирующей звезде). В космологических проблемах симметрия играет роль в космологическом принципе , который ограничивает типы вселенных, которые согласуются с крупномасштабными наблюдениями (например, метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера (FLRW)). Симметрии обычно требуют некоторой формы сохранения свойства, наиболее важные из которых в общей теории относительности включают следующее:

• сохраняя геодезические пространства-времени
• сохраняя метрический тензор
• сохраняя тензор кривизны

Эти и другие симметрии будут рассмотрены ниже более подробно. Это свойство сохранения, которым обычно обладают симметрии (упомянутое выше), может быть использовано для обоснования полезного определения самих этих симметрий.

Математическое определение [ править ]

Строгое определение симметрий в общей теории относительности было дано Холлом (2004). В этом подходе идея состоит в использовании (гладких) векторных полей , диффеоморфизмы локального потока которых сохраняют некоторые свойства пространства-времени . (Обратите внимание, что в своем мышлении следует подчеркнуть, что это диффеоморфизм - преобразование дифференциального элемента. Подразумевается, что поведение объектов с протяженностью может быть не столь явно симметричным.) Это сохраняющее свойство диффеоморфизмов уточняется следующим образом. . Говорят, что гладкое векторное поле X на пространстве-времени M сохраняет гладкий тензор T на M (илиТ является инвариантным под X )если для каждого гладкого локального потока Диффеоморфизм φ _т , связанные с X , тензоры Т и ф^∗
_t( T ) равны на области определения ϕ _t . Это утверждение эквивалентно более удобному условию обращения в нуль производной Ли тензора относительно векторного поля:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T = 0}$

на M . Следствием этого является то, что для любых двух точек p и q на M координаты T в системе координат вокруг p равны координатам T в системе координат вокруг q . Симметрии на пространстве - времени является гладкое векторное поле, локальные диффеоморфизмы потока сохраняют некоторый (обычно геометрический) особенность пространства - времени. (Геометрическая) характеристика может относиться к определенным тензорам (таким как метрика или тензор энергии-импульса) или к другим аспектам пространства-времени, таким как его геодезическая структура. Векторные поля иногда называют коллинеациями ,векторные поля симметрии или просто симметрии . Множество всех векторных полей симметрии на M образует алгебру Ли при операции скобки Ли, как видно из тождества:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {[X, Y]} T = {\ mathcal {L}} _ {X} ({\ mathcal {L}} _ {Y} T) - {\ mathcal { L}} _ {Y} ({\ mathcal {L}} _ {X} T)}$

термин справа обычно пишется со злоупотреблением обозначениями , как

${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {X}, {\ mathcal {L}} _ {Y}] T.}$

Убивающая симметрия [ править ]

Векторное поле Киллинга является одним из наиболее важных типов симметрии и определяется как гладкое векторное поле , сохраняющее метрический тензор :

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = 0}$

Обычно это записывается в развернутом виде как:

${\ Displaystyle X_ {a; b} + X_ {b; a} \, = 0}$

Векторные поля Киллинга находят широкое применение (в том числе в классической механике ) и связаны с законами сохранения .

Гомотетическая симметрия [ править ]

Гомотетическое векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = 2cg_ {ab}}$

где c - действительная постоянная. Гомотетические векторные поля находят применение при изучении особенностей в общей теории относительности.

Аффинная симметрия [ править ]

Аффинное векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} g_ {ab}) _ {; c} = 0}$

Аффинное векторное поле сохраняет геодезические и сохраняет аффинный параметр.

Вышеупомянутые три типа векторных полей являются частными случаями проективных векторных полей, которые сохраняют геодезические без обязательного сохранения аффинного параметра.

Конформная симметрия [ править ]

Конформное векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = \ phi g_ {ab}}$

где φ гладкая вещественная функция на M .

Симметрия кривизны [ править ]

Коллинеация кривизны - это векторное поле, сохраняющее тензор Римана :

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} {R ^ {a}} _ {bcd} = 0}$

где R ^a _bcd - компоненты тензора Римана. Множество всех гладких коллинеация кривизны образует алгебру Ли под кронштейном Ли операции (если условие гладкости отбрасывается, множество всех кривизны коллинеаций нужно не образует алгебры Ли). Алгебра Ли обозначается CC ( M ) и может быть бесконечным - мерная . Каждое аффинное векторное поле является коллинеацией кривизны.

Симметрия материи [ править ]

Менее известная форма симметрии касается векторных полей, сохраняющих тензор энергии-импульса. Они по-разному называются коллинеациями материи или симметриями материи и определяются:

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} T_ {ab} = 0}$

где T _ab - компоненты тензора энергии-импульса. Здесь можно выделить тесную связь между геометрией и физикой, поскольку векторное поле X рассматривается как сохраняющее определенные физические величины вдоль потоковых линий X , что верно для любых двух наблюдателей. В связи с этим можно показать, что каждое векторное поле Киллинга является коллинеацией материи (с помощью уравнений поля Эйнштейна с космологической постоянной или без нее ). Таким образом, при заданном решении УЭЭ векторное поле, сохраняющее метрику, обязательно сохраняет соответствующий тензор энергии-импульса. Когда тензор энергии-импульса представляет собой идеальную жидкость, каждое векторное поле Киллинга сохраняет плотность энергии, давление и векторное поле потока жидкости. Когда тензор энергии-импульса представляет собой электромагнитное поле, векторное поле Киллинга не обязательно сохраняет электрическое и магнитное поля.

Локальные и глобальные симметрии [ править ]

Приложения [ править ]

Как упоминалось в начале этой статьи, основное применение этих симметрий происходит в общей теории относительности, где решения уравнений Эйнштейна могут быть классифицированы путем наложения некоторых определенных симметрий на пространство-время.

Классификации пространства-времени [ править ]

Классификация решений EFE составляет значительную часть исследований общей теории относительности. Различные подходы к классификации хронотопы, в том числе с использованием классификации Сегре тензора энергии-импульса или классификации Петрова в Вейль Тензор были изучены многими исследователями, в первую очередь Stephani и др.(2003). Они также классифицируют пространство-время, используя векторные поля симметрии (особенно симметрии Киллинга и гомотетические симметрии). Например, векторные поля Киллинга могут использоваться для классификации пространства-времени, поскольку существует ограничение на количество глобальных гладких векторных полей Киллинга, которыми может обладать пространство-время (максимум 10 для четырехмерного пространства-времени). Вообще говоря, чем выше размерность алгебры векторных полей симметрии в пространстве-времени, тем большую симметрию допускает пространство-время. Например, решение Шварцшильда имеет алгебру Киллинга размерности 4 (три пространственных векторных поля вращения и сдвиг во времени), тогда как метрика Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера (FLRW) (исключая статическую Эйнштейнаподслучай) имеет алгебру Киллинга размерности 6 (три переноса и три поворота). Статическая метрика Эйнштейна имеет алгебру Киллинга размерности 7 (предыдущие 6 плюс перевод времени).

Предположение о пространстве-времени, допускающем определенное векторное поле симметрии, может накладывать ограничения на пространство-время.

Список симметричных пространств времени [ править ]

У следующих пространств времени есть свои отдельные статьи в Википедии:

• Статическое пространство-время
• Стационарное пространство-время
• Сферически симметричное пространство-время

См. Также [ править ]

• Поле (физика)
• Тензор убийства
• Группы Ли
• Теорема Нётер
• Разложение Риччи
• Симметрия в физике
• Симметрия в квантовой механике
• Вывод преобразований Лоренца.

Ссылки [ править ]

• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные лекции по физике) . Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5.. См. Определение симметрии в разделе 10.1 .
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7.
• Шютц, Бернард (1980). Геометрические методы математической физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29887-3.. См. Главу 3 для получения информации о свойствах производной Ли и раздел 3.10 для определения инвариантности.