Метрика Шварцшильда

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Общая ковариация Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Кадр с центром импульса Кривизна Геодезический Геон Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

В Эйнштейна теории «ы из ОТО , то метрика Шварцшильда (также известный как вакуум шварцшильдовской или решения Шварцшильда ) является решением для полевых уравнений Эйнштейна , описывающее гравитационное поле вне сферической массы, исходя из предположения , что электрический заряд из масса, угловой момент массы и универсальная космологическая постоянная равны нулю. Решение представляет собой полезное приближение для описания медленно вращающихся астрономических объектов, таких как многие звезды и планеты., включая Землю и Солнце. Его нашел Карл Шварцшильд в 1916 году и примерно в то же время независимо Иоганнес Дросте , опубликовавший свое гораздо более полное и современное обсуждение всего через четыре месяца после Шварцшильда.

Согласно теореме Биркгофа , метрика Шварцшильда является наиболее общим сферически-симметричным вакуумным решением уравнений поля Эйнштейна. Шварцшильд черная дыра или статическая черная дыра является черной дырой , которая не имеет ни электрический заряд , ни угловой момент. Черная дыра Шварцшильда описывается метрикой Шварцшильда, и ее нельзя отличить от любой другой черной дыры Шварцшильда, кроме ее массы.

Черная дыра Шварцшильда характеризуется окружающей сферической границей, называемой горизонтом событий , которая расположена на радиусе Шварцшильда , часто называемом радиусом черной дыры. Граница не является физической поверхностью, и если человек упадет за горизонт событий (до того, как его разорвет на части приливные силы), он не заметит никакой физической поверхности в этом месте; это математическая поверхность, которая играет важную роль в определении свойств черной дыры. Любая невращающаяся и незаряженная масса, которая меньше ее радиуса Шварцшильда, образует черную дыру. Решение уравнений поля Эйнштейна справедливо для любой массы M, поэтому в принципе (согласно общей теории относительности) черная дыра Шварцшильда любой массы могла бы существовать, если бы условия стали достаточно благоприятными для ее образования.

Формулировка [ править ]

Метрика Шварцшильда является сферически симметричной лоренцевой метрикой (здесь, с соглашением о сигнатуре (-, +, +, +) ,), определенной на (подмножестве)

${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ left (E ^ {3} -O \ right) \ cong \ mathbb {R} \ times (0, \ infty) \ times S ^ {2}}$

где - трехмерное евклидово пространство, а - две сферы. Группа вращения действует на фактор или как вращение вокруг центра , оставляя первый фактор неизменным. Метрика Шварцшильда является решением уравнений поля Эйнштейна в пустом пространстве, что означает, что она действительна только вне гравитирующего тела. То есть для сферического тела радиуса решение верно при . Чтобы описать гравитационное поле как внутри, так и снаружи гравитирующего тела, решение Шварцшильда должно быть согласовано с некоторым подходящим внутренним решением в , ^[1], таким как внутренняя метрика Шварцшильда .${\ displaystyle E ^ {3}}$${\ Displaystyle S ^ {2} \ подмножество E ^ {3}}$${\ displaystyle SO (3) = SO (E ^ {3})}$${\ displaystyle E ^ {3} -O}$${\ Displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle O}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r> R}$${\ displaystyle r = R}$

В координатах Шварцшильда метрика Шварцшильда (или, что эквивалентно, элемент линии для собственного времени ) имеет вид${\ Displaystyle (т, г, \ тета, \ фи)}$

${\displaystyle g=-c^{2}\,{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}g_{\Omega },}$

где есть метрика на две сферы, то есть . Более того, ${\displaystyle g_{\Omega }}$${\displaystyle g_{\Omega }=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle d\tau ^{2}}$положительно для кривых, подобных времени, и является собственным временем (время, измеряемое часами, движущимися вдоль одной мировой линии с пробной частицей ),${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle c}$это скорость света ,
• ${\displaystyle t}$ - координата времени (измеряется стационарными часами, расположенными бесконечно далеко от массивного тела),
• ${\displaystyle r}$- радиальная координата (измеренная как длина окружности, деленная на 2 π , сферы с центром вокруг массивного тела),
• ${\displaystyle \Omega }$точка на двух сферах ,${\displaystyle S^{2}}$
• ${\displaystyle \theta }$ является коширота из (угол с севера, в единицах радиан ) , определенных после того, как произвольно выбирая г ось,${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \phi }$это долгота из (также в радианах) , вокруг выбранной г оси х, и${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle r_{s}}$- радиус Шварцшильда массивного тела, масштабный коэффициент, связанный с его массой соотношением , где - гравитационная постоянная . ^[2]${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$${\displaystyle G}$

Метрика Шварцшильда имеет особенность, для которой характерна особенность внутренней кривизны. Также кажется, что на горизонте событий есть особенность . Таким образом, в зависимости от точки зрения метрика определяется только для внешней области , только для внутренней области или их непересекающегося объединения. Однако на самом деле метрика не является сингулярной на горизонте событий, как можно видеть в подходящих координатах (см. Ниже). Действительно , метрика Шварцшильда асимптотична стандартной метрике Лоренца на пространстве Минковского. Практически для всех астрофизических объектов это отношение крайне мало. Например, радиус Земли по Шварцшильду примерно равен${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r=r_{s}}$${\displaystyle r>r_{s}}$${\displaystyle r<r_{s}}$${\displaystyle r\gg r_{s}}$${\displaystyle {\frac {r_{s}}{R}}}$${\displaystyle r_{s}^{(\mathrm {Earth} )}}$8,9 мм , а Солнце, котороеВ 3,3 × 10 ⁵ раз массивнее ^[3], имеет радиус Шварцшильда примерно 3,0 км. Отношение становится большим только в непосредственной близости от черных дыр и других сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды .${\displaystyle r_{s}^{(\mathrm {Sun} )}}$

Радиальная координата имеет физическое значение как «правильное расстояние между двумя событиями, которые происходят одновременно относительно радиально движущихся геодезических часов, причем эти два события лежат на одной и той же радиальной координатной линии». ^[4]

Решение Шварцшильда аналогично классической ньютоновской теории гравитации, которая соответствует гравитационному полю вокруг точечной частицы. Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну часть на миллиард. ^[5]

История [ править ]

Решение Шварцшильда названо в честь Карла Шварцшильда , который нашел точное решение в 1915 году и опубликовал его в январе 1916 года ^[6], чуть более чем через месяц после публикации общей теории относительности Эйнштейна. Это было первое точное решение уравнений поля Эйнштейна, отличное от тривиального решения в плоском пространстве . Шварцшильд умер вскоре после публикации своей статьи в результате болезни, которую он развил во время службы в немецкой армии во время Первой мировой войны . ^[7]

Йоханнес Дросте в 1916 году ^[8] независимо получил то же решение, что и Шварцшильд, используя более простой и прямой вывод. ^[9]

В первые годы общей теории относительности было много недоразумений относительно природы сингулярностей, обнаруженных в Шварцшильде и других решениях уравнений поля Эйнштейна . В оригинальной статье Шварцшильда он поместил то, что мы теперь называем горизонтом событий, в начало своей системы координат. ^{[10] [ самостоятельно опубликованный источник? ]} В этой статье он также ввел так называемую радиальную координату Шварцшильда ( r в приведенных выше уравнениях) в качестве вспомогательной переменной. В своих уравнениях Шварцшильд использовал другую радиальную координату, равную нулю на радиусе Шварцшильда.

Более полный анализ структуры сингулярностей был дан Дэвидом Гильбертом ^[11] в следующем году, идентифицировав сингулярности как при r = 0, так и при r = r _s . Хотя был общий консенсус в отношении того, что сингулярность при r = 0 была «настоящей» физической сингулярностью, природа сингулярности при r = r _s оставалась неясной. ^[12]

В 1921 году Поль Пенлеве и в 1922 Гульстранд самостоятельно произвел метрика, сферически - симметричное решение уравнений Эйнштейна, которые мы теперь знаем, преобразование координат метрики, шварцшильдовых координат Голстранда Пенлеве , в которых не было никакой сингулярности при г = г _s . Однако они не осознавали, что их решения были просто преобразованиями координат, и фактически использовали свое решение, чтобы доказать, что теория Эйнштейна ошибочна. В 1924 году Артур Эддингтон произвел первое преобразование координат (координаты Эддингтона – Финкельштейна ), которое показало, что сингулярность при r = r_s был координатным артефактом, хотя он, похоже, также не осознавал значение этого открытия. Позже, в 1932 году, Жорж Лемэтр применил другое преобразование координат ( координаты Лемэтра ) к тому же результату и первым осознал, что это означает, что сингулярность при r = r _s не является физической. В 1939 году Говард Робертсон показал, что свободно падающий наблюдатель, спускающийся в метрике Шварцшильда, пересечетсингулярность r = r _s за конечное количество собственного времени, даже если это займет бесконечное количество времени с точки зрения координатного времени t.. ^[12]

В 1950 году Джон Синдж опубликовал статью ^{[13], в} которой было показано максимальное аналитическое расширение метрики Шварцшильда, снова показав, что сингулярность при r = r _s была координатным артефактом и представляла два горизонта. Через Аналогичный результат был заново открыт Джордж Szekeres , ^[14] и независимо друг от друга Мартина Крускала . ^[15] Новые координаты, ныне известные как координаты Крускала-Секереса.были намного проще, чем у Synge, но оба обеспечивали единый набор координат, охватывающий все пространство-время. Однако, возможно, из-за неизвестности журналов, в которых были опубликованы статьи Лемэтра и Синджа, их выводы остались незамеченными, поскольку многие из основных игроков в этой области, включая Эйнштейна, полагали, что сингулярность в радиусе Шварцшильда была физической. ^[12]

Настоящий прогресс был достигнут в 1960-х годах, когда более точные инструменты дифференциальной геометрии вошли в область общей теории относительности, позволив более точные определения того, что означает сингулярность лоренцевого многообразия . Это привело к окончательной идентификации особенности r = r _s в метрике Шварцшильда как горизонта событий (гиперповерхность в пространстве-времени, которую можно пересечь только в одном направлении). ^[12]

Сингулярности и черные дыры [ править ]

Решение Шварцшильда имеет особенности при r = 0 и r = r _s ; некоторые компоненты метрики «взрываются» (влекут за собой деление на ноль или умножение на бесконечность) на этих радиусах. Поскольку ожидается, что метрика Шварцшильда действительна только для тех радиусов, которые больше, чем радиус R гравитирующего тела, проблем нет, пока R > r _s . Для обычных звезд и планет это всегда так. Например, радиус Солнца примерно равен700 000  км , а его радиус Шварцшильда только3 км .

Особенность при r = r _s делит координаты Шварцшильда на два несвязанных участка . Внешнее решение Шварцшильда с г > г _s является тот , который связан с гравитационными полями звезд и планет. Решение интерьера Шварцшильд с 0 ≤ г < г _с , которая содержит особенность при г = 0 , полностью отделен от внешнего патча особенности при г = г _ы. Таким образом, координаты Шварцшильда не дают физической связи между двумя пятнами, которые можно рассматривать как отдельные решения. Однако особенность при r = r _s является иллюзией; это пример того, что называется координатной сингулярностью . Как следует из названия, сингулярность возникает из-за неправильного выбора координат или координатных условий . При переходе к другой системе (например , координаты LEMAITRE координат , координаты Эддингтона-Финкельштейн , координата Крускала-Szekeres , координаты Новиков, или координаты Гульстранда-Пенлеве ) метрика становится регулярной при г =r _s и может расширить внешний фрагмент до значений r, меньших, чем r _s . Затем, используя другое преобразование координат, можно связать расширенный внешний фрагмент с внутренним фрагментом. ^[16]

Однако случай r = 0 другой. Если кто-то спрашивает, что решение было справедливым для всех r, он сталкивается с истинной физической сингулярностью или гравитационной сингулярностью в начале координат. Чтобы увидеть, что это настоящая особенность, нужно посмотреть на величины, не зависящие от выбора координат. Одной из таких важных величин является инвариант Кречмана , который задается формулой

${\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

При r = 0 кривизна становится бесконечной, что указывает на наличие особенности. На данный момент метрика и само пространство-время больше не определены. Долгое время считалось, что такое решение было нефизическим. Однако более глубокое понимание общей теории относительности привело к осознанию того, что такие особенности были общей чертой теории, а не просто экзотическим частным случаем.

Решение Шварцшильда, допустимое для всех r > 0 , называется черной дырой Шварцшильда . Это совершенно правильное решение уравнений поля Эйнштейна, хотя (как и другие черные дыры) оно имеет довольно странные свойства. При r < r _s радиальная координата Шварцшильда r становится времениподобной, а временная координата t становится пространственноподобной . ^[17] Кривая при постоянном r больше не является возможной мировой линией.частицы или наблюдателя, даже если приложена сила, чтобы попытаться удержать ее там; это происходит потому, что пространство-время искривлено настолько, что направление причины и следствия ( световой конус частицы будущего ) указывает на сингулярность. ^{[ необходима цитата ]} Поверхность r = r _s ограничивает то, что называется горизонтом событий черной дыры. Он представляет собой точку, за которой свет больше не может покинуть гравитационное поле. Любой физический объект, радиус R которого становится меньше или равен радиусу Шварцшильда, подвергся гравитационному коллапсу и стал черной дырой.

Альтернативные координаты [ править ]

Решение Шварцшильда может быть выражено в диапазоне различных вариантов координат помимо координат Шварцшильда, используемых выше. Различные варианты, как правило, подчеркивают разные особенности решения. В таблице ниже показаны некоторые популярные варианты.

Альтернативные координаты ^[18]

Координаты	Элемент линии	Примечания	Функции
Координаты Эддингтона – Финкельштейна (входящие)	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}\,g_{\Omega }}$		регулярно на горизонте будущего - горизонт в прошлом находится на v = - бесконечность
Координаты Эддингтона – Финкельштейна (исходящие)	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}g_{\Omega }}$		регулярный на прошлом горизонте распространяется на прошлый горизонт. Горизонт будущего в u = бесконечность
Координаты Гуллстранда – Пенлеве	${\displaystyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)\,dT^{2}\pm 2{\sqrt {\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}\,dT\,dr+dr^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }}$		регулярный на горизонте (+ будущее / прошлое)
Изотропные координаты	${\displaystyle -{\frac {\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{2}}}\,{dt}^{2}+\left(1+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{4R}}\right)^{4}\,\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}$	${\displaystyle R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$[19] Действительно только за пределами горизонта событий:${\displaystyle R>r_{s}/4}$	изотропные световые конусы на постоянных временных срезах
Координаты Крускала – Секереса	${\displaystyle -{\frac {4r_{\mathrm {s} }^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}\,\left(dT^{2}-dR^{2}\right)+r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}\right)e^{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}}$	регулярно на горизонте Максимально распространяется на все пространство-время
Координаты Лемэтра	${\displaystyle -dT^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\,dR^{2}+r^{2}\,g_{\Omega }}$	${\displaystyle r=\left({\tfrac {3}{2}}(R\pm T)\right)^{\frac {2}{3}}r_{\mathrm {s} }^{\frac {1}{3}}}$	регулярно в будущем / прошлом горизонте
Гармонические координаты	${\displaystyle -{\frac {\rho -r_{\mathrm {s} }/2}{\rho +r_{\mathrm {s} }/2}}dt^{2}+{\frac {\rho +r_{\mathrm {s} }/2}{\rho -r_{\mathrm {s} }/2}}d\rho ^{2}+(\rho +r_{\mathrm {s} }/2)^{2}g_{\Omega }}$	${\displaystyle \rho =r-r_{\mathrm {s} }/2}$

В таблице выше для краткости введено некоторое сокращение. Скорость света c была установлена равной единице . Обозначение

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

используется для метрики двумерной сферы единичного радиуса. Более того, в каждой записи и обозначены альтернативные варианты выбора радиальной и временной координаты для конкретных координат. Обратите внимание, что и / или могут отличаться от записи к записи.${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$

Координаты Крускала – Секереса имеют вид, к которому можно применить преобразование Белинского – Захарова . Это означает, что черная дыра Шварцшильда является формой гравитационного солитона .

Параболоид Фламма [ править ]

Пространственная кривизна решения Шварцшильда для r > r _s может быть визуализирована, как показано на графике. Рассмотрит постоянное время экваториального срез решения Шварцшильда ( θ = ^π / ₂ , т = константа) , и пусть положение частицы , двигающуюся в этой плоскости будет описано с остальными координатами Шварцшильда ( г , ф ) . Теперь представьте, что есть дополнительное евклидово измерение w , которое не имеет физической реальности (не является частью пространства-времени). Затем заменим ( r , φ )плоскость с углублением на поверхности в направлении w согласно уравнению ( параболоид Фламма )

${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.}$

Эта поверхность обладает тем свойством, что расстояния, измеренные на ней, соответствуют расстояниям в метрике Шварцшильда, потому что с определением w выше,

${\displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}}$

Таким образом, параболоид Фламма полезен для визуализации пространственной кривизны метрики Шварцшильда. Однако его не следует путать с гравитационным колодцем . Никакая обычная (массивная или безмассовая) частица не может иметь мировую линию, лежащую на параболоиде, поскольку все расстояния на ней пространственноподобны (это поперечное сечение в один момент времени, поэтому любая частица, движущаяся по ней, будет иметь бесконечную скорость ). Тахион может иметь пространственноподобности , что лежит мировая линия целиком на одном параболоида. Однако даже в этом случае его геодезическаяПуть - это не траектория, которую можно пройти через аналогию гравитационного колодца с «резиновым листом»: в частности, если ямка нарисована направленной вверх, а не вниз, геодезический путь тахиона по-прежнему изгибается к центральной массе, а не в сторону. См. Статью о гравитационном колодце для получения дополнительной информации.

Параболоид Фламма может быть получен следующим образом. Евклидова метрика в цилиндрических координатах ( r , φ , w ) записывается

${\displaystyle ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

Пусть поверхность описывается функцией w = w ( r ) , евклидова метрика может быть записана как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

Сравнивая это с метрикой Шварцшильда в экваториальной плоскости ( θ =π/2) в фиксированный момент времени ( t = константа, dt = 0 )

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

дает интегральное выражение для w ( r ) :

${\displaystyle w(r)=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{\mathrm {s} }{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}+{\mbox{constant}}}$

решением которой является параболоид Фламма.

Орбитальное движение [ править ]

Частица, вращающаяся в метрике Шварцшильда, может иметь стабильную круговую орбиту с r > 3 r _s . Круговые орбиты с r между 1,5 r _s и 3 r _s нестабильны, и круговые орбиты не существуют для r <1,5 r _s . Круговая орбита с минимальным радиусом 1.5 R _сек соответствует орбитальной скорости , близкой к скорости света. Частица может иметь постоянное значение r от r _s до 1,5 r _s., но только если действует какая-то сила, чтобы удержать его там.

Некруглые орбиты, такие как орбиты Меркурия , задерживаются на малых радиусах дольше, чем можно было бы ожидать при ньютоновской гравитации . Это можно рассматривать как менее экстремальную версию более драматичного случая, когда частица проходит через горизонт событий и остается внутри него навсегда. Между случаем Меркурия и случаем падения объекта за горизонт событий существуют экзотические возможности, такие как острые орбиты, на которых спутник может совершать сколь угодно большое количество почти круговых орбит, после чего он летит обратно наружу.

Симметрии [ править ]

Группа изометрий метрики Шварцшильда - это подгруппа десятимерной группы Пуанкаре, которая переводит ось времени (траекторию звезды) в себя. В нем отсутствуют пространственные трансляции (три измерения) и ускорения (три измерения). Он сохраняет временные переводы (одно измерение) и вращения (три измерения). Таким образом, он имеет четыре измерения. Как и группа Пуанкаре, она имеет четыре компонента связности: компонент тождества; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, обращенный как во времени, так и в пространстве.

Кривизны [ править ]

Скаляр кривизны Риччи и тензор кривизны Риччи равны нулю. Ненулевые компоненты тензора кривизны Римана равны ^[20]

${\displaystyle R^{t}{}_{rrt}=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{s}}{r^{2}(r_{s}-r)}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\theta \theta t}=2R^{r}{}_{\theta \theta r}=R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }={\frac {r_{s}}{r}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\phi \phi t}=2R^{r}{}_{\phi \phi r}=-R^{\theta }{}_{\phi \phi \theta }={\frac {r_{s}\sin ^{2}(\theta )}{r}},}$

${\displaystyle R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{s}(r_{s}-r)}{r^{4}}}}$

Компоненты, которые можно получить с помощью симметрии тензора Римана, не отображаются.

Чтобы понять физический смысл этих величин, полезно выразить тензор кривизны в ортонормированном базисе. В ортонормированном базисе наблюдателя ненулевые компоненты в геометрических единицах равны ^[20]

${\displaystyle R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{s}}{r^{3}}},}$

${\displaystyle R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{s}}{2r^{3}}}.}$

Опять же, компоненты, которые можно получить с помощью симметрии тензора Римана, не отображаются. Эти результаты инвариантны к любому усилению Лоренца, поэтому компоненты не меняются для нестатических наблюдателей. Уравнение геодезического отклонения показывает, что приливное ускорение между двумя наблюдателями, разделенными расстоянием, составляет , поэтому тело длиной растягивается в радиальном направлении за счет кажущегося ускорения и сжимается в перпендикулярных направлениях на .${\displaystyle \xi ^{\hat {j}}}$${\displaystyle D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (r_{s}/r^{3})c^{2}L}$${\displaystyle -(r_{s}/(2r^{3}))c^{2}L}$

См. Также [ править ]

• Вывод решения Шварцшильда.
• Метрика Рейсснера – Нордстрема (заряженное, невращающееся решение)
• Метрика Керра (незаряженное, вращающееся решение)
• Метрика Керра – Ньюмана (заряженное вращающееся решение)
• Черная дыра , общий обзор
• Координаты Шварцшильда
• Координаты Крускала – Секереса
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна
• Координаты Гуллстранда – Пенлеве
• Координаты Леметра (решение Шварцшильда в синхронных координатах )
• Фреймовые поля в общей теории относительности (наблюдатели Леметра в вакууме Шварцшильда)
• Уравнение Толмена – Оппенгеймера – Волкова (метрические уравнения и уравнения давления статического сферически-симметричного тела из изотропного материала)
• Планковская длина

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Шварцшильд, К. (1916). "Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 7 : 189–196. Bibcode : 1916AbhKP1916..189S .

• Текст оригинальной статьи в Wikisource
• Перевод: Antoci, S .; Loinger, A. (1999). «О гравитационном поле материальной точки по теории Эйнштейна». arXiv : физика / 9905030 .
• Комментарий к статье, дающий более простой вывод: Bel, L. (2007). "Uber das Gravitationsfeld eines Massenpunktesnach der Einsteinschen Theorie". arXiv : 0709.2257 [ gr-qc ].

• Шварцшильд, К. (1916). "Uber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften . 1 : 424.

• Текст оригинальной статьи в Wikisource
• Перевод: Antoci, S. (1999). «О гравитационном поле сферы несжимаемой жидкости по теории Эйнштейна». arXiv : физика / 9912033 .

• Фламм, Л. (1916). "Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift . 17 : 448.
• Адлер, Р .; Базин, М .; Шиффер, М. (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Макгроу-Хилл . Глава 6. ISBN 0-07-000423-4.
• Ландау, ЛД; Лифшиц Е.М. (1951). Классическая теория поля . Курс теоретической физики . 2 (4-е пересмотренное английское издание). Pergamon Press . Глава 12. ISBN 0-08-025072-6.
• Миснер, CW; Торн, Канзас; Уиллер, Дж. А. (1970). Гравитация . WH Freeman . Главы 31 и 32. ISBN 0-7167-0344-0.
• Вайнберг, С. (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Джон Вили и сыновья . Глава 8. ISBN 0-471-92567-5.
• Тейлор, EF; Уиллер, Дж. А. (2000). Изучение черных дыр: введение в общую теорию относительности . Эддисон-Уэсли . ISBN 0-201-38423-X.
• Heinzle, JM; Стейнбауэр Р. (2002). «Замечания о распределительной геометрии Шварцшильда». Журнал математической физики . 43 (3): 1493–1508. arXiv : gr-qc / 0112047 . Bibcode : 2002JMP .... 43.1493H . DOI : 10.1063 / 1.1448684 . S2CID  119677857 .