Рамка центра импульса

В физике система отсчета центра импульса (также система отсчета с нулевым импульсом или система отсчета COM ) является единственной (с точностью до скорости, но не источником) инерциальной системой отсчета, в которой полный импульс системы равен нулю. Центр импульса системы не местоположение (а набор относительных импульсов / скоростей: опорный кадр). Таким образом, «центр импульса» означает « система координат центра импульса » и является краткой формой этой фразы. ^[1]

Частным случаем системы отсчета центра импульса является система отсчета центра масс : инерциальная система отсчета, в которой центр масс (который является физической точкой) остается в начале координат. Во всех кадрах COM центр масс находится в покое, но он не обязательно находится в начале системы координат.

В специальной теории относительности COM-кадр обязательно уникален только тогда, когда система изолирована.

Свойства [ править ]

Общие [ править ]

Центр импульса определяется как инерциальная система отсчета, в которой сумма линейных импульсов всех частиц равна 0. Пусть S обозначает лабораторную систему отсчета, а S 'обозначает систему отсчета центра импульса. Используя преобразование Галилея , скорость частицы в S ′ равна

${\ displaystyle v '= v-V_ {c},}$

куда ${\ displaystyle V_ {c} = {\ frac {\ sum _ {i} m_ {i} v_ {i}} {\ sum _ {i} m_ {i}}}}$

- скорость центра масс. Тогда полный импульс в системе центра импульса обращается в нуль:

${\ displaystyle \ sum _ {i} p '_ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} v' _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} (v_ {i} -V_ {c}) = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} {\ frac {\ sum _ {j} m_ {j} v_ {j}} { \ sum _ {j} m_ {j}}} = \ sum _ {i} m_ {i} v_ {i} - \ sum _ {j} m_ {j} v_ {j} = 0.}$

Кроме того, полная энергия системы является минимальной энергией, как видно из всех инерциальных систем отсчета .

Специальная теория относительности [ править ]

В теории относительности COM-фрейм существует для изолированной массивной системы. Это следствие теоремы Нётер . В кадре COM полная энергия системы - это энергия покоя , и эта величина (при делении на множитель c ² , где c - скорость света ) дает массу покоя ( инвариантную массу ) системы:

{\ displaystyle m_ {0} = {\ frac {E_ {0}} {c ^ {2}}}.}

Инвариантной массы системы дается в любой инерциальной системе релятивистской инвариантной связи

m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},

но при нулевом импульсе импульсный член ( p / c ) ² обращается в нуль и, таким образом, полная энергия совпадает с энергией покоя.

Системы, которые имеют ненулевую энергию, но нулевую массу покоя (такие как фотоны, движущиеся в одном направлении, или, что эквивалентно, плоские электромагнитные волны ), не имеют СОМ-фреймов, потому что нет фреймов, в которых они имеют нулевой чистый импульс. Из - за инвариантность скорости света , безмассова система должна двигаться со скоростью света в любой системе, и всегда имеет чистый импульс. Его энергия - для каждой системы отсчета - равна величине импульса, умноженной на скорость света:

E=pc.

Проблема двух тел [ править ]

Пример использования этой рамы приведен ниже - при столкновении двух тел, не обязательно упругого (где кинетическая энергия сохраняется). СОМ-фрейм можно использовать для определения импульса частиц намного проще, чем в лабораторном фрейме : фрейм, в котором выполняются измерения или вычисления. Ситуация анализируется с использованием преобразований Галилея и сохранения импульса (для общности, а не только кинетических энергий) для двух частиц масс m ₁ и m ₂ , движущихся с начальными скоростями (до столкновения) u ₁ и u _2.соответственно. Преобразования применяются, чтобы взять скорость кадра из скорости каждой частицы из лабораторного кадра (без штриха) в COM-кадр (со штрихом): ^[1]

\mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V}

где V - скорость COM-кадра. Поскольку V - это скорость COM, то есть производная по времени от местоположения COM R (положение центра масс системы): ^[2]

{\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}

поэтому в начале кадра COM, R ' = 0 , это означает

m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}

Те же результаты можно получить, применяя сохранение импульса в лабораторной системе отсчета, где импульсы равны p ₁ и p ₂ :

\mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}

и в кадре COM, где окончательно утверждается, что полные импульсы частиц p ₁ 'и p ₂ ' равны нулю:

\mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}

Использование уравнения кадра COM для решения для V возвращает уравнение лабораторного кадра выше, демонстрируя, что любой кадр (включая кадр COM) может использоваться для вычисления импульсов частиц. Было установлено, что скорость COM-кадра может быть исключена из вычислений с использованием вышеуказанного кадра, поэтому импульсы частиц в COM-кадре могут быть выражены в терминах величин в лабораторном кадре (т. Е. Заданных начальных значениях ):

{\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}

обратите внимание, что относительная скорость в лабораторной системе отсчета частиц с 1 по 2 равна

\Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}

и 2-тело приведенная масса является

\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

так что импульсы частиц компактно сводятся к

\mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u}

Это существенно более простой расчет импульсов обеих частиц; приведенная масса и относительная скорость могут быть вычислены из начальных скоростей в лабораторной системе отсчета и масс, а импульс одной частицы просто отрицателен для другой. Расчет можно повторить для конечных скоростей v ₁ и v ₂ вместо начальных скоростей u ₁ и u ₂ , поскольку после столкновения скорости все еще удовлетворяют приведенным выше уравнениям: ^[3]

{\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}

поэтому в начале кадра COM, R = 0 , это означает, что после столкновения

m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}

В лабораторных условиях сохранение импульса полностью гласит:

m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V}

Это уравнение не означает, что

m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V}

вместо этого он просто указывает, что полная масса M, умноженная на скорость центра масс V, является полным импульсом P системы:

{\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}

Анализ, аналогичный приведенному выше, дает

\mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u}

где конечная относительная скорость в лабораторной системе отсчета частиц с 1 по 2 равна

\Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Динамика и относительность, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
^ Классическая механика, TWB Kibble, European Physics Series, 1973, ISBN 0-07-084018-0
^ Введение в механику , Д. Клеппнер, Р. Дж. Коленков, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9

[Forshaw_and_Smith-1] Динамика и относительность, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8

[2] Классическая механика, TWB Kibble, European Physics Series, 1973, ISBN 0-07-084018-0

[3] Введение в механику , Д. Клеппнер, Р. Дж. Коленков, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9

[1]