Относительная скорость

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Относительная скорость (также или ) есть скорость объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или наблюдателя A .${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A}}$${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {BA}}$${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ operatorname {rel} A}}$

Классическая механика [ править ]

В одном измерении (нерелятивистском) [ править ]

Мы начнем с относительного движения в классическом (или нерелятивистском , или ньютоновском приближении ), когда все скорости намного меньше скорости света. Этот предел связан с преобразованием Галилея. На рисунке изображен мужчина на крыше поезда, у заднего края. В 13:00 он начинает идти вперед со скоростью 10 км / ч (километров в час). Поезд движется со скоростью 40 км / ч. На рисунке изображены мужчина и поезд в два разных времени: сначала в начале пути, а также на час позже, в 14:00. На рисунке видно, что мужчина находится в 50 км от отправной точки после одного часа пути (пешком и на поезде). Это, по определению, составляет 50 км / ч, что предполагает, что рецепт для расчета относительной скорости таким образом состоит в сложении двух скоростей.

На рисунке показаны часы и линейки, чтобы напомнить читателю, что, хотя логика этого расчета кажется безупречной, она делает ложные предположения о том, как ведут себя часы и линейки. (См . Мысленный эксперимент с поездом и платформой .) Чтобы признать, что эта классическая модель относительного движения нарушает специальную теорию относительности , мы обобщаем этот пример в уравнение:

${\ displaystyle \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid E}} _ {\ text {50 км / ч}} = \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid T} } _ {\ text {10 км / ч}} + \ underbrace {{\ vec {v}} _ {T \ mid E}} _ {\ text {40 км / ч}},}$

куда:

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M \ mid E}}$- скорость M an относительно E arth,

${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M \ mid T}}$- скорость M an относительно дождя T ,

${\displaystyle {\vec {v}}_{T\mid E}}$- скорость T дождя относительно E арт.

Полностью законные выражения для «скорости A относительно B» включают «скорость A относительно B» и «скорость A в системе координат, где B всегда находится в состоянии покоя». Нарушение специальной теории относительности происходит потому , что это уравнение для относительной скорости ложно предсказывает , что различные наблюдатели будут измерять различные скорости при наблюдении за движением света. ^{[примечание 1]}

В двух измерениях (нерелятивистских) [ править ]

На рисунке показаны два объекта A и B, движущиеся с постоянной скоростью. Уравнения движения:

${\displaystyle {\vec {r}}_{A}={\vec {r}}_{Ai}+{\vec {v}}_{A}t,}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{B}={\vec {r}}_{Bi}+{\vec {v}}_{B}t,}$

где индекс i относится к начальному смещению (в момент времени t, равном нулю). Разница между двумя векторами смещения , представляет собой положение точки B, как видно из A.${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}=\underbrace {{\vec {r}}_{Bi}-{\vec {r}}_{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {({\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A})t} _{\text{relative velocity}}.}$

Следовательно:

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A}.}$

После выполнения замен и имеем:${\displaystyle {\vec {v}}_{A|C}={\vec {v}}_{A}}$${\displaystyle {\vec {v}}_{B|C}={\vec {v}}_{B}}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid A}={\vec {v}}_{B\mid C}-{\vec {v}}_{A\mid C}\Rightarrow }$   ${\displaystyle {\vec {v}}_{B\mid C}={\vec {v}}_{B\mid A}+{\vec {v}}_{A\mid C}.}$

Преобразование Галилея (нерелятивистское) [ править ]

Чтобы построить теорию относительного движения, совместимую со специальной теорией относительности, мы должны принять другое соглашение. Продолжая работать в (нерелятивистском) ньютоновском пределе, мы начнем с преобразования Галилея в одном измерении: ^{[примечание 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

где x '- это положение, которое видит система отсчета, которая движется со скоростью v, в «незаштрихованной» (x) системе отсчета. ^{[примечание 3]} Взяв дифференциал первого из двух приведенных выше уравнений, мы имеем , и, что может показаться очевидным ^{[примечание 4],} утверждение, что мы имеем:${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$${\displaystyle dt'=dt}$

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

Чтобы восстановить предыдущие выражения для относительной скорости, мы предполагаем, что частица A следует по пути, определяемому dx / dt в эталонной системе без штриха (и, следовательно, dx ′ / dt ′ в системе со штрихом). Таким образом, и , где и относятся к движению A, наблюдаемому наблюдателем в кадрах без штриха и со штрихом, соответственно. Напомним, что v - это движение неподвижного объекта в кадре со штрихом, если смотреть из кадра без штриховки. Таким образом, мы имеем и:${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O'}$${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

где последняя форма имеет желаемую (легко усваиваемую) симметрию.

Специальная теория относительности [ править ]

Как и в классической механике, в специальной теории относительности относительной скорости есть скорость объекта или наблюдатель B в системе покое другого объекта или наблюдатель A . Однако, в отличие от классической механики, в специальной теории относительности, как правило, не так.${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }=-{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }}$

Это своеобразное отсутствие симметрии связано с прецессией Томаса и тем фактом, что два последовательных преобразования Лоренца вращают систему координат. Это вращение не влияет на величину вектора, поэтому относительная скорость симметрична.

${\displaystyle \|{\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }\|=\|{\vec {v}}_{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

Параллельные скорости [ править ]

В случае, когда два объекта движутся в параллельных направлениях, релятивистская формула для относительной скорости аналогична по форме формуле для сложения релятивистских скоростей.

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}{1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Относительная скорость определяется по формуле:

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|v_{\mathrm {B} }-v_{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {v_{\mathrm {A} }v_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

Перпендикулярные скорости [ править ]

В случае, когда два объекта движутся в перпендикулярных направлениях, релятивистская относительная скорость определяется формулой:${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }}$

куда

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}})^{2}}}}}$

Относительная скорость определяется формулой

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2})(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2})}}{c}}}$

Общий случай [ править ]

Общая формула для относительной скорости объекта или наблюдателя B в системе покоя другого объекта или наблюдателя A дается формулой: ^[1]${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }{\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[{\vec {v}}_{\mathrm {B} }-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }+{\vec {v}}_{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

куда

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}})^{2}}}}}$

Относительная скорость определяется формулой

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2})(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2})}{(c^{2}-{\vec {v}}_{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}_{\mathrm {B} })^{2}}}}}\cdot c}$

См. Также [ править ]

• Эффект Допплера
• Неевклидова геометрия # Кинематические геометрии
• Пекулярная скорость
• Правильное движение
• Радиальная скорость
• Релятивистская скорость
• Космическая скорость (астрономия)

Примечания по относительной скорости [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Алонсо и Финн, ISBN по  фундаментальной университетской физике 0-201-56518-8
• Гринвуд, Дональд Т. Принципы динамики.
• Гудман и Уорнер, Dynamics.
• Бир и Джонстон, Статика и динамика.
• Словарь МакГроу Хилла по физике и математике.
• Риндлер В. Существенная теория относительности.
• ХУРМИ РС, Механика, Инженерная механика, Статика, Динамика

Внешние ссылки [ править ]

• Относительное движение в HyperPhysics
• Java-апплет, иллюстрирующий относительную скорость, Эндрю Даффи
• Relatív mozgás (1) ... (3) Относительное движение двух поездов (1) ... (3). Видео на портале ФизКапу . (на венгерском)
• Sebességek összegzése Относительное спокойствие форели в ручье. Видео на портале ФизКапу . (на венгерском)