Гравитационный потенциал

График двумерного среза гравитационного потенциала внутри и вокруг однородного сферического тела. В точках перегиба поперечного сечения находятся на поверхности тела.

В классической механике , то гравитационный потенциал в месте равен работе ( энергия переносится) на единицу массы , которая была бы необходимо , чтобы переместить объект в это место от неподвижного опорного местоположения. Это аналогично к электрическому потенциалу с массами играют роль заряда . Исходное местоположение, где потенциал равен нулю, по соглашению бесконечно далеко от любой массы, что приводит к отрицательному потенциалу на любом конечном расстоянии.

В математике гравитационный потенциал также известен как ньютоновский потенциал и является фундаментальным в изучении теории потенциала . Его также можно использовать для решения электростатических и магнитостатических полей, создаваемых однородно заряженными или поляризованными эллипсоидальными телами. ^[1]

Потенциальная энергия [ править ]

Гравитационный потенциал ( V ) в определенном месте - это потенциальная энергия гравитации ( U ) в этом месте на единицу массы:

${\ displaystyle V = {\ frac {U} {m}},}$

где m - масса объекта. Потенциальная энергия равна (по величине, но отрицательна) работе, совершаемой гравитационным полем, перемещающим тело из бесконечности в его заданное положение в пространстве. Если тело имеет массу 1 килограмм, то потенциальная энергия, которая должна быть присвоена этому телу, равна гравитационному потенциалу. Таким образом, потенциал можно интерпретировать как отрицательный результат работы, совершаемой гравитационным полем, перемещающим единицу массы из бесконечности.

В некоторых ситуациях уравнения можно упростить, если предположить, что поле почти не зависит от положения. Так , например, в области , близкой к поверхности Земли, ускорение силы тяжести , г , можно считать постоянным. В этом случае разница в потенциальной энергии от одной высоты к другой в хорошем приближении линейно связана с разницей в высоте:

${\ Displaystyle \ Delta U \ прибл. мг \ Delta ч.}$

Математическая форма [ править ]

Гравитационный потенциал V на расстояние х от точечной массы массы M может быть определен как работа Вт , что должно быть сделано с помощью внешнего агента , чтобы довести единицы массы из бесконечности к этой точке: ^{[2] [3] [ 4] [5]}

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = {\ frac {W} {m}} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} \ mathbf {F } \ cdot d \ mathbf {x} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} {\ frac {GmM} {x ^ {2}}} dx = - {\ frac {GM} {x}},}$

где G - гравитационная постоянная , а F - гравитационная сила. Произведение GM является стандартным гравитационным параметром и часто известно с более высокой точностью, чем G или M по отдельности. Потенциал имеет единицы энергии на массу, например, Дж / кг в системе MKS . По соглашению, он всегда отрицателен там, где он определен, и, поскольку x стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

Гравитационное поле , и , следовательно , ускорение малого тела в пространстве вокруг массивного объекта, является отрицательным градиентом гравитационного потенциала. Таким образом, отрицательное значение отрицательного градиента дает положительное ускорение к массивному объекту. Поскольку потенциал не имеет угловых составляющих, его градиент равен

${\ displaystyle \ mathbf {a} = - {\ frac {GM} {x ^ {3}}} \ mathbf {x} = - {\ frac {GM} {x ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {x}}},}$

где x - вектор длины x, направленный от точечной массы к малому телу, и единичный вектор, направленный от точечной массы к маленькому телу. Следовательно, величина ускорения подчиняется закону обратных квадратов :${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}$

${\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ frac {GM} {x ^ {2}}}.}$

Потенциал, связанный с распределением масс, представляет собой суперпозицию потенциалов точечных масс. Если распределение масс представляет собой конечный набор точечных масс, и если точечные массы расположены в точках x ₁ , ..., x _n и имеют массы m ₁ , ..., m _n , то потенциал распределения в точке х является

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {x} -\mathbf {x_{i}} |}}.}$

Точки x и r , где r содержится в распределенной массе (серый цвет), а дифференциальная масса dm ( r ) находится в точке r .

Если распределение масс задано как мера массы dm в трехмерном евклидовом пространстве R ³ , то потенциал представляет собой свертку −G / | г | с дм . ^[6] В хороших случаях ^{[ требуется пояснение ]} это равно интегралу

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,dm(\mathbf {r} ),}$

где | х  -  г | - расстояние между точками x и r . Если существует функция ρ ( r ), представляющая плотность распределения в точке r , так что dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) , где dv ( r ) - евклидов элемент объема , то гравитационный потенциал равен интегральный объем

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}$

Если V - потенциальная функция, полученная из непрерывного распределения масс ρ ( r ), то ρ можно восстановить с помощью оператора Лапласа Δ:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}$

Это поточечно, если р непрерывно и равно нулю вне ограниченного множества. Вообще говоря, мера массы dm может быть восстановлена ​​таким же образом, если оператор Лапласа взять в смысле распределений . Как следствие, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона . См. Также функцию Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными и ньютоновского потенциала .

Интеграл может быть выражен через известные трансцендентные функции для всех эллипсоидальных форм, включая симметричные и вырожденные. ^[7] Сюда входит сфера, где три полуоси равны; сплюснутые (см. справочный эллипсоид ) и вытянутые сфероиды, у которых две полуоси равны; вырожденные, где одна полуось бесконечна (эллиптический и круговой цилиндр), и неограниченный лист, где две полуоси бесконечны. Все эти формы широко используются в приложениях интеграла гравитационного потенциала (кроме постоянной G , где 𝜌 - постоянная плотность заряда) к электромагнетизму.

Сферическая симметрия [ править ]

Сферически-симметричное распределение массы ведет себя для наблюдателя полностью вне распределения, как если бы вся масса была сосредоточена в центре и, таким образом, эффективно как точечная масса согласно теореме о оболочке . На поверхности земли ускорение определяется так называемой стандартной силой тяжести g , приблизительно 9,8 м / с ² , хотя это значение немного меняется в зависимости от широты и высоты. Величина ускорения на полюсах немного больше, чем на экваторе, потому что Земля представляет собой сплюснутый сфероид .

В сферически-симметричном распределении массы можно решить уравнение Пуассона в сферических координатах . Внутри однородного сферического тела радиуса R , плотности ρ и массы m гравитационная сила g внутри сферы изменяется линейно с расстоянием r от центра, давая гравитационный потенциал внутри сферы, который равен ^{[8] [9]}

${\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho [r^{2}-3R^{2}]={\frac {Gm}{2R^{3}}}[r^{2}-3R^{2}],\qquad r\leq R,}$

который дифференцируемо соединяется с потенциальной функцией за пределами сферы (см. рисунок вверху).

Общая теория относительности [ править ]

В общей теории относительности гравитационный потенциал заменен метрическим тензором . Когда гравитационное поле слабое, а источники движутся очень медленно по сравнению со скоростью света, общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации, а метрический тензор может быть расширен с точки зрения гравитационного потенциала. ^[10]

Многополюсное расширение [ править ]

Потенциал в точке x определяется выражением

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}$

Потенциал можно разложить до ряда полиномов Лежандра . Представьте точки x и r как векторы положения относительно центра масс. Знаменатель в интеграле выражается как квадратный корень из квадрата, что дает

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\{}&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}G\,\left/\,{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}\right.\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

где в последнем интеграле r = | г | и θ - угол между x и r .

(См. «Математическую форму».) Подынтегральное выражение может быть разложено в ряд Тейлора по Z  =  r / | x |, явным вычислением коэффициентов. Менее трудоемкий способ добиться того же результата - использовать обобщенную биномиальную теорему . ^[11] Результирующий ряд является производящей функцией полиномов Лежандра:

${\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}$

действительно для | X | ≤ 1 и | Z | <1. Коэффициенты P _n - многочлены Лежандра степени n . Следовательно, коэффициенты Тейлора подынтегрального выражения задаются полиномами Лежандра от X  = cos θ. Таким образом, потенциал можно разложить в ряд, сходящийся для таких позиций x , что r  <| х | для всех массовых элементов системы (т. е. вне сферы с центром в центре масс, которая окружает систему):

${\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\{}&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

Интеграл - это составляющая центра масс в направлении x ; это исчезает, потому что вектор x исходит из центра масс. Итак, занесение интеграла под знаком суммы дает${\displaystyle \int r\cos \theta dm}$

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }$

Это показывает, что удлинение тела вызывает более низкий потенциал в направлении удлинения и более высокий потенциал в перпендикулярных направлениях по сравнению с потенциалом из-за сферической массы, если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до центра масс. (Если мы сравним случаи с одинаковым расстоянием до поверхности , все будет наоборот.)

Числовые значения [ править ]

Абсолютное значение гравитационного потенциала в ряде мест с относительно гравитации с ^{[ разъяснения необходимости ]} Земля , то Солнце , и Млечный Путь даются в следующей таблице; то есть объекту на поверхности Земли потребуется 60 МДж / кг, чтобы "покинуть" гравитационное поле Земли, еще 900 МДж / кг, чтобы также покинуть гравитационное поле Солнца, и более 130 ГДж / кг, чтобы покинуть гравитационное поле Млечного Пути. Потенциал равен половине квадрата космической скорости .

Сравните силу тяжести в этих местах .

См. Также [ править ]

• Приложения полиномов Лежандра в физике
• Стандартный гравитационный параметр ( GM )
• Геоид
• Геопотенциал

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]