Ньютоновский потенциал

В математике , то ньютонов потенциал или ньютоновского потенциала является оператор в векторном исчислении , который действует как обратная к отрицательному лапласианом , на функции , которые являются гладкими и распадаться достаточно быстро на бесконечности. Таким образом, это фундаментальный объект изучения теории потенциала . В своей общей природе, она является сингулярный интегральный оператор , определяемый свертки с функцией , имеющей математическую особенность в нуле, ньютоновской ядром Г , которая является фундаментальным решением из уравнения Лапласа . Он назван в честьИсаак Ньютон , который первым открыл его и доказал, что это гармоническая функция в частном случае трех переменных , где он служил фундаментальным гравитационным потенциалом в законе всемирного тяготения Ньютона . В современной теории потенциала ньютоновский потенциал рассматривается как электростатический потенциал .

Ньютонов потенциал интегрируемой функции с компактным носителем определяется как свертка

${\ displaystyle u (x) = \ Gamma * f (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ Gamma (xy) f (y) \, dy}$

где ядро ​​Ньютона Γ в размерности d определяется формулой

${\ displaystyle \ Gamma (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ log {| x |} & d = 2 \\ {\ frac {1} {d (2- г) \ omega _ {d}}} | x | ^ {2-d} & d \ neq 2. \ end {cases}}}$

Здесь ω _d - объем единичного d- шара (иногда знаки могут меняться; сравните ( Evans 1998 ) и ( Gilbarg & Trudinger 1983 )). Например, у нас есть${\ displaystyle d = 3}$${\ Displaystyle \ Gamma (x) = - 1 / (4 \ pi | x |).}$

Ньютонов потенциал ш из ƒ является решением уравнения Пуассона

${\ Displaystyle \ Delta W = F, \,}$

это означает, что операция взятия ньютоновского потенциала функции является частично обратной по отношению к оператору Лапласа. w будет классическим решением, дважды дифференцируемым, если f ограничено и локально непрерывно по Гёльдеру, как показал Отто Гёльдер . Вопрос о том, достаточно ли одной преемственности, оставался открытым. Это было показано Хенриком Петрини, который привел пример непрерывного f, для которого w не дифференцируемо дважды. Решение не является уникальным, поскольку добавление любой гармонической функции к w не повлияет на уравнение. Этот факт может быть использован для доказательства существования и единственности решения задачи Дирихле. для уравнения Пуассона в подходящих регулярных областях и для подходящих хороших функций ƒ: сначала применяется ньютоновский потенциал, чтобы получить решение, а затем корректируется, добавляя гармоническую функцию, чтобы получить правильные граничные данные.

Ньютоновский потенциал определяется в более широком смысле как свертка

${\ Displaystyle \ Gamma * \ mu (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ Gamma (xy) \, d \ mu (y)}$

когда μ - мера Радона с компактным носителем . Он удовлетворяет уравнению Пуассона

${\ displaystyle \ Delta w = \ mu \,}$

в смысле распределений . Более того, когда мера положительна , ньютоновский потенциал субгармоничен на R ^d .

Если ƒ является компактным носителем непрерывной функции (или, в более общем случае , конечная мера) , которая является вращательно инвариантным , то свертку из ƒ с Г удовлетворяет при х вне поддержки ƒ

${\ displaystyle f * \ Gamma (x) = \ lambda \ Gamma (x), \ quad \ lambda = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} f (y) \, dy.}$

В размерности d  = 3 это сводится к теореме Ньютона о том, что потенциальная энергия малой массы за пределами гораздо большего сферически-симметричного распределения масс такая же, как если бы вся масса большего объекта была сосредоточена в его центре.

Когда мера μ связана с распределением массы на достаточно гладкой гиперповерхности S (на поверхность Ляпунова из гёльдеровой класса C ^{1, & alpha} ; ) , который делит R ^d на две области D ₊ и D _- , то ньютонов потенциал ц называется как потенциал простого слоя . Простые потенциалы слоя являются непрерывными и решить уравнение Лапласа , кроме как на S . Они естественно появляются при изучении электростатики в контексте электростатического потенциала.связано с распределением заряда на замкнутой поверхности. Если d μ  =  ƒ  д Н является продуктом непрерывной функции на S с ( г  - 1) -мерные Хаусдорфовы меры , то в точке у из S , то нормальная производная испытывает скачок разрыва ƒ ( у ) при пересечении слой. Кроме того, нормальная производная от ж хорошо определенной непрерывной функции на S . Это делает простые слои особенно подходящими для исследования задачи Неймана для уравнения Лапласа.

См. Также [ править ]

• Потенциал двойного слоя
• Функция Грина
• Потенциал Рисса
• Функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными

Ссылки [ править ]

• Эванс, Л.К. (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D .; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Потенциал Ньютона" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Потенциал простого слоя" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Поверхностный потенциал" , Энциклопедия математики , EMS Press