Мера Хаусдорфа

В математике , мера Хаусдорфа является обобщением традиционных представлений о площади и объеме до нецелых размеров, в частности , фрактал и их размеров Хаусдорфовых . Это тип внешней меры , названный в честь Феликса Хаусдорфа , который присваивает число в [0, ∞] каждому множеству в или, в более общем смысле, в любом метрическом пространстве .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Нульмерная мера Хаусдорфа - это количество точек в множестве (если множество конечно) или ∞, если множество бесконечно. Точно так же, одномерная мера Хаусдорфа в простой кривой в равна длине кривой, а двумерная Хаусдорфово мера Лебега измеримого подмножества из пропорционально площади набора. Таким образом, понятие меры Хаусдорфа обобщает меру Лебега и ее понятия счета, длины и площади. Это также обобщает объем. Фактически, существуют d -мерные меры Хаусдорфа для любого d  ≥ 0, которое не обязательно является целым числом. Эти меры являются фундаментальными в геометрической теории меры.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$. Они естественным образом появляются в гармоническом анализе или теории потенциала .

Определение [ править ]

Позвольте быть метрическое пространство . Для любого подмножества , пусть обозначим его диаметр, то есть${\ displaystyle (X, \ rho)}$${\ Displaystyle U \ подмножество X}$${\displaystyle \mathrm {diam} \;U}$

${\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset :=0}$

Позвольте быть любое подмножество и действительное число. Определять${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U_{i})^{d}:\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

где нижняя грань берется по всем счетным покрытиям множествами, удовлетворяющими .${\displaystyle S}$${\displaystyle U_{i}\subset X}$${\displaystyle \operatorname {diam} U_{i}<\delta }$

Обратите внимание, что это монотонный невозрастание, поскольку чем больше , тем больше наборов наборов разрешено, что делает нижнюю грань меньше. Таким образом, существует, но может быть бесконечным. Позволять${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S)}$

${\displaystyle H^{d}(S):=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{d}(S)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{d}(S).}$

Видно, что это внешняя мера (точнее, метрическая внешняя мера ). По теореме о продолжении Каратеодори его ограничение на σ-поле множеств, измеримых по Каратеодори, является мерой. Это называется - мерная мера Хаусдорфа о . В связи с метрической внешней мерой собственности, все борелевские подмножества являются измеримыми.${\displaystyle H^{d}(S)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{d}}$

В приведенном выше определении множества в покрытии произвольны.

Однако мы можем потребовать, чтобы накрывающие множества были открытыми или замкнутыми, или в нормированных пространствах даже выпуклыми, что даст те же числа, а значит, и ту же меру. В ограничении множества облицовочного быть шарики могут изменить меры , но не меняет размерность измеренных множеств.${\displaystyle H_{\delta }^{d}(S)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Свойства мер Хаусдорфа [ править ]

Обратите внимание, что если d - положительное целое число, d- мерная мера Хаусдорфа является перемасштабированием обычной d -мерной меры Лебега, которая нормирована так, что мера Лебега единичного куба [0,1] ^d равна 1. Фактически, для любое борелевское множество E ,${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda _{d}}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)=2^{-d}\alpha _{d}H^{d}(E),}$

где α _d - объем единичного d- шара ; это может быть выражено с помощью гамма-функции Эйлера

${\displaystyle \alpha _{d}={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})^{d}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.}$

Замечание . Некоторые авторы принимают определение меры Хаусдорфа, немного отличное от выбранного здесь, с той разницей, что оно нормировано таким образом, что d- мерная мера Хаусдорфа в случае евклидова пространства в точности совпадает с мерой Лебега.

Связь с хаусдорфовой размерностью [ править ]

Оказывается, что if может иметь конечное ненулевое значение не более одного . То есть мера Хаусдорфа равна нулю для любого значения выше определенного измерения и бесконечности ниже определенного измерения, аналогично тому, как площадь линии равна нулю, а длина 2D-формы равна бесконечности. Это приводит к одному из нескольких возможных эквивалентных определений размерности Хаусдорфа:${\displaystyle H^{d}(S)}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle \dim _{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup \left(\{d\geq 0:H^{d}(S)=\infty \}\cup \{0\}\right),}$

где мы берем

${\displaystyle \inf \emptyset =\infty .}$

Обратите внимание, что не гарантируется, что мера Хаусдорфа должна быть конечной и отличной от нуля для некоторого d , и действительно, мера в размерности Хаусдорфа может все еще быть нулевой; в этом случае размерность Хаусдорфа по-прежнему действует как точка перегиба между мерой нуля и бесконечности.

Обобщения [ править ]

В геометрической теории меры и связанных областях содержание Минковского часто используется для измерения размера подмножества метрического пространства меры. Для подходящих областей в евклидовом пространстве два понятия размера совпадают, вплоть до общих нормализаций в зависимости от соглашений. Точнее, подмножество называется -спрямляемым, если оно является образом ограниченного множества в под липшицевой функцией . Если , то -мерное содержание Минковского замкнутого -спрямляемого подмножества в равно умноженному на -мерную меру Хаусдорфа ( Федерер, 1969 , теорема 3.2.29).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ m {\displaystyle m} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2^{-m}\alpha _{m}}$${\displaystyle m}$

Во фрактальной геометрии некоторые фракталы с хаусдорфовой размерностью имеют нулевую или бесконечномерную меру Хаусдорфа. Например, почти наверняка образ плоского броуновского движения имеет размерность Хаусдорфа 2, а его двумерная мера Хаусдова равна нулю. Чтобы «измерить» «размер» таких множеств, математики рассмотрели следующий вариант понятия меры Хаусдорфа:${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

В определении меры заменяется на где - любая монотонно возрастающая функция множества, удовлетворяющая${\displaystyle (\operatorname {diam} U_{i})^{d}}$${\displaystyle \phi (U_{i}),}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

Это мера Хаусдорфа с калибровочной функцией или мера Хаусдорфа. Мерное множество может удовлетворить , но с соответствующими Примерами калибровочных функций включают в себя${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi ,}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H^{d}(S)=0,}$${\displaystyle H^{\phi }(S)\in (0,\infty )}$${\displaystyle \phi .}$

${\displaystyle \phi (t)=t^{2}\log \log {\frac {1}{t}}\quad {\text{or}}\quad \phi (t)=t^{2}\log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.}$

Первый дает почти наверняка положительную и -конечную меру броуновскому пути в отношении когда , а второй - когда .${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=2}$

См. Также [ править ]

• Хаусдорфово измерение
• Геометрическая теория меры
• Теория меры
• Внешняя мера

Ссылки [ править ]

• Эванс, Лоуренс С .; Гариепи, Рональд Ф. (1992), Теория меры и тонкие свойства функций , CRC Press.
• Федерер, Герберт (1969), геометрическая теория меры , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Хаусдорфа, Феликс (1918), "Размеры унд äusseres масса" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1-2): 157-179, DOI : 10.1007 / BF01457179.
• Морган, Франк (1988), Геометрическая теория меры , Academic Press.
• Роджерс, Калифорния (1998), меры Хаусдорфа , Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
• Szpilrajn, E (1937), "La Dimension et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81–89.

Внешние ссылки [ править ]

• Измерение Хаусдорфа в энциклопедии математики
• Мера Хаусдорфа в энциклопедии математики