Геометрическая теория меры

В математике , теории геометрической мера ( GMT ) является изучение геометрических свойств множеств ( как правило , в евклидовом пространстве ) по теории меры . Это позволяет математикам расширять инструменты от дифференциальной геометрии до гораздо более широкого класса поверхностей , которые не обязательно являются гладкими .

История [ править ]

Геометрическая теория меры родилась из желания решить проблему Плато (названный в честь Джозефа плато ) , который спрашивает , если для любой гладкой замкнутой кривой в существует поверхность наименьшей площади среди всех поверхностей, граница равна заданной кривой. Такие поверхности имитируют мыльные пленки .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Проблема оставалась открытой с момента ее постановки в 1760 году Лагранжем . Она была решена независимо в 1930-х годах Джесси Дугласом и Тибором Радо при определенных топологических ограничениях. В 1960 году Герберт Федерер и Венделл Флеминг использовали теорию токов, с помощью которой они смогли решить задачу ориентируемого Плато аналитически без топологических ограничений, тем самым положив начало геометрической теории меры. Позже Джин Тейлор после Фреда Альмгрена доказала законы Плато. для вида особенностей, которые могут иметь место в этих более общих мыльных пленках и скоплениях мыльных пузырей.

Важные понятия [ править ]

Следующие объекты занимают центральное место в геометрической теории меры:

• Спрямляемые множества (или меры Радона ), которые представляют собой множества с минимально возможной регулярностью, необходимой для допуска приближенных касательных пространств .
• Токи , обобщение концепции ориентированных многообразий , возможно, с краем .
• Плоские цепи, альтернативное обобщение концепции многообразий , возможно, с краем .
• Множества Каччопполи (также известные как множества локально конечного периметра), обобщение концепции многообразий, на которых применяется теорема о дивергенции .

Следующие теоремы и концепции также являются центральными:

• Формула площади, обобщающая концепцию замены переменных при интегрировании.
• Формула коплощади , которая обобщает и адаптирует теорему Фубини к геометрической теории меры.
• Изопериметрическая неравенство , в котором говорится , что наименьший возможный периметр для данной области является то , что круглый круг .
• Плоская сходимость , обобщающая понятие сходимости многообразий.

Примеры [ править ]

Неравенство Брунна- Минковский для п - мерных объемов выпуклых тел K и L ,

${\ Displaystyle \ mathrm {vol} {\ big (} (1- \ lambda) K + \ lambda L {\ big)} ^ {1 / n} \ geq (1- \ lambda) \ mathrm {vol} (K) ^ {1 / n} + \ lambda \, \ mathrm {vol} (L) ^ {1 / n},}$

можно доказать на одной странице и быстро приводит к классическому изопериметрическому неравенству . Неравенство Брунна – Минковского также приводит к теореме Андерсона в статистике. Доказательство неравенства Брунна – Минковского предшествовало современной теории меры; Развитие теории меры и интегрирования Лебега позволило установить связь между геометрией и анализом до такой степени, что в интегральной форме неравенства Брунна – Минковского, известной как неравенство Прекопа – Лейндлера, геометрия кажется почти полностью отсутствующей.

См. Также [ править ]

• Набор Caccioppoli
• Формула Coarea
• Течения
• Герберт Федерер
• Кривая Осгуда

Ссылки [ править ]

• Федерер, Герберт ; Флеминга, Уэнделл Х. (1960), "Нормальные и интегральные токи", Анналы математики , II, 72 (4): 458-520, DOI : 10,2307 / 1970227 , JSTOR  1970227 , МР  0123260 , Zbl  +0187,31301. Первая статья Федерера и Флеминга, иллюстрирующая их подход к теории периметров, основанный на теории токов .
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , серия Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 153, New York: Springer-Verlag New York Inc., стр. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR  0257325
• Федерер, Х. (1978), "Коллоквиумные лекции по геометрической теории меры", Бюл. Амер. Математика. Soc. , 84 (3): 291-338, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1978-14462-0
• Фоменко, Анатолий Т. (1990), Вариационные принципы в топологии (многомерная теория минимальных поверхностей) , математика и ее приложения (Книга 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308
• Гарднер, Ричард Дж. (2002), "Неравенство Брунна-Минковского", Бюлл. Амер. Математика. Soc. (NS) , 39 (3): 355-405 (электронный), DOI : 10,1090 / S0273-0979-02-00941-2 , ISSN  0273-0979 , МР  1898210
• Маттила, Пертти (1999), Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах , Лондон: Cambridge University Press, стр. 356, ISBN 978-0-521-65595-8
• Морган, Франк (2009), Геометрическая теория меры: руководство для начинающих (четвертое издание), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press Inc., стр. Viii + 249, ISBN. 978-0-12-374444-9, Руководство по ремонту  2455580
• Тейлор, Джин Э. (1976), «Структура сингулярностей в минимальных поверхностях, подобных мыльному пузырю и мыльной пленке», Annals of Mathematics , Second Series, 103 (3): 489–539, doi : 10.2307 / 1970949 , JSTOR  1970949 , Руководство по ремонту  0428181.
• О'Нил, TC (2001) [1994], "Геометрическая теория меры" , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

• Страница Питера Мёртерса по Гринвичу [1]
• Страница GMT Тоби О'Нила со ссылками [2]