В математике , в частности , в функциональном анализе , дифференциальной топологии и геометрической теории меры , к -current в смысле Ж. де Рама является функциональным на пространстве с компактным носителем дифференциального к -формы , на гладком многообразии M . Формально токи ведут себя как распределения Шварца в пространстве дифференциальных форм, но в геометрической обстановке они могут представлять интегрирование по подмногообразию, обобщая дельта-функцию Дирака или, в более общем смысле, дажеНаправленные производные дельты - функции ( мультиполи ) распространяются вдоль подмножества M .
Определение
Позволять обозначим пространство гладких m - форм с компактным носителем на гладком многообразии . Ток - это линейный функционал накоторое непрерывно в смысле распределений . Таким образом, линейный функционал
является m -мерным током, если он непрерывен в следующем смысле: если последовательность гладких форм с носителями в одном и том же компактном множестве такова, что все производные всех их коэффициентов равномерно стремятся к 0, когда стремится к бесконечности, то стремится к 0.
Космос в м - мерных токов наявляется реальным векторным пространством с операциями, определяемыми
Большая часть теории распределений переносится на токи с минимальными корректировками. Например, можно определить поддержку текущегокак дополнение самого большого открытого набора такой, что
- в любое время
Линейное подпространство в состоящий из токов с носителем (в указанном выше смысле), который является компактным подмножеством обозначается .
Гомологическая теория
Интегрирование по компактному спрямляемому ориентированному подмногообразию M ( с краем ) размерности m определяет m -ток, обозначаемый:
Если граница ∂ M из M спрямляема, то он тоже определяет ток по интеграции, а также в силу Стокса теоремы один имеет:
Это относится к внешнему производному д с граничным оператором ∂ на гомологии с M .
С учетом этой формулы можно определить в граничный оператор на произвольных токах
через двойственность с внешней производной на
для всех m -форм ω с компактным носителем.
Определенные подклассы токов, закрытые при может использоваться вместо всех токов для создания теории гомологии, которая может удовлетворять аксиомам Эйленберга – Стинрода в некоторых случаях. Классический пример - подкласс интегральных токов на ретрактах липшицевых окрестностей.
Топология и нормы
Пространство токов естественным образом наделено слабой топологией * , которую в дальнейшем мы будем называть просто слабой сходимостью . Последовательность Т к токам, сходится к текущему T , если
На подпространствах пространства всех токов можно определить несколько норм . Одной из таких норм является норма массы . Если ω является m -формой, то определим ее комас как
Итак, если ω - простая m -форма, то ее массовая норма является обычной L ∞ -нормой ее коэффициента. Тогда масса тока T определяется как
Масса тока представляет собой взвешенную площадь обобщенной поверхности. Ток такой, что M ( T ) <∞, можно представить интегрированием регулярной борелевской меры с помощью версии теоремы Рисса о представлении . Это отправная точка гомологической интеграции .
Промежуточная норма - это плоская норма Уитни , определяемая формулой
Два тока близки по норме массы, если они совпадают вдали от малой части. С другой стороны, они близки в плоской норме, если совпадают с точностью до небольшой деформации.
Примеры
Напомним, что
так что следующее определяет нулевой ток:
В частности, каждое подписанное регулярное мероприятие 0-ток:
Пусть ( x , y , z ) - координаты в ℝ 3 . Затем следующее определяет 2-ток (один из многих):
Смотрите также
Рекомендации
- де Рам, Г. (1973), Variétés Différentiables , Actualites Scientifiques et Industrielles (на французском языке), 1222 (3-е изд.), Париж: Герман, стр. X + 198, Zbl 0284.58001.
- Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 153 , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, Руководство по ремонту 0257325 , Zbl 0176.00801.
- Уитни, Х. (1957), Теория геометрической интеграции , Princeton Mathematical Series, 21 , Принстон, Нью-Джерси и Лондон: Princeton University Press и Oxford University Press , стр. XV + 387, MR 0087148 , Zbl 0083.28204.
- Линь, Фанхуа; Ян, Сяопин (2003), Геометрическая теория меры: Введение , Высшая математика (Пекин / Бостон), 1 , Пекин / Бостон: Science Press / International Press, стр. X + 237, ISBN 978-1-57146-125-4, MR 2030862 , Zbl 1074.49011
Эта статья включает материал из Current on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .