Теорема Рисса о представлении

В этой статье описывается теорема о двойственном гильбертовом пространстве . О теоремах, связывающих линейные функционалы с мерами , см. Теорему Рисса – Маркова – Какутани о представлении .

Теорема Рисса о представлении , иногда называемая теоремой Рисса – Фреше о представлении , названная в честь Фриджеса Рисса и Мориса Рене Фреше , устанавливает важную связь между гильбертовым пространством и его непрерывным сопряженным пространством . Если основное поле - действительные числа , они изометрически изоморфны ; если базовое поле - комплексные числа , эти два изометрически антиизоморфны . (Анти-) изоморфизм является особенно естественным, как будет описано ниже; аестественный изоморфизм .

Предварительные сведения и обозначения [ править ]

Позвольте быть гильбертовым пространством над полем, где либо действительные числа, либо комплексные числа. Если (соответственно, если ), то называется комплексным гильбертовым пространством (соответственно реальным гильбертовым пространством ). Каждое реальное гильбертово пространство может быть расширено до плотного подмножества уникального (с точностью до биективной изометрии ) комплексного гильбертова пространства, называемого его комплексификацией , поэтому гильбертовы пространства часто автоматически считаются комплексными. Вещественные и комплексные гильбертовы пространства имеют много общего, но далеко не все свойства и результаты / теоремы. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathbb {F},}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle H}$

Эта статья предназначена как для математиков, так и для физиков и описывает теоремы для обоих. Как в математике, так и в физике, если гильбертово пространство предполагается реальным (т. Е. Если ), то это обычно становится ясным. Часто в математике, и особенно в физике, если не указано иное, «гильбертово пространство» обычно автоматически подразумевается как «комплексное гильбертово пространство». В зависимости от автора, в математике «гильбертово пространство» обычно означает либо (1) комплексное гильбертово пространство, либо (2) действительное или комплексное гильбертово пространство. ${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$

Линейные и антилинейные карты [ править ]

По определению, антилинейная карта (также называемая сопряженно-линейной картой ) - это аддитивная карта между векторными пространствами :${\ displaystyle f: от H \ до Y}$

${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) + е (у)}$      для всех ${\ displaystyle x, y \ in H,}$

и антилинейные (также называемые сопряженно-линейными или сопряженно-однородными ):

${\ Displaystyle f (cx) = {\ overline {c}} f (x)}$     для всех и всех скалярных${\ displaystyle x \ in H}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {F}.}$

Напротив, карта является линейной, если она аддитивна и однородна : ${\ displaystyle f: от H \ до Y}$

${\ Displaystyle f (cx) = cf (x)}$     для всех и всех скалярных${\ displaystyle x \ in H}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {F}.}$

Любая постоянная карта 0 всегда является линейной и антилинейной. Если, то определения линейных отображений и антилинейных отображений полностью идентичны. Линейное отображение гильбертова пространства в банахово пространство (или, в более общем смысле, из любого банахова пространства в любое топологическое векторное пространство ) непрерывно тогда и только тогда, когда оно ограничено ; то же самое и с антилинейными отображениями. Обратное к любой антилинейной (соответственно линейной) биекции снова является антилинейной (соответственно линейной) биекцией. Состав двух анти линейных отображений является линейным отображением. ${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$

Непрерывные двойственные и антидвойственные пространства

Функционала на является функцией которого кообласть является основной скалярное поле Обозначим через (соотв. С помощью множества всех линейных непрерывных (соответственно. Непрерывной антилинейных) функционалов на которое называется (непрерывным) сопряженное пространство (или соотв. (Непрерывно) анти -двойное пространство ) из ^[1] Если тогда линейные функционалы на аналогичны антилинейным функционалам и, следовательно, то же самое верно для таких непрерывных отображений: то есть,${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H \ to \ mathbb {F}}$${\displaystyle \mathbb {F} .}$${\displaystyle H^{*}}$${\displaystyle {\overline {H}}^{*})}$${\displaystyle H,}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}.}$

Однозначное соответствие между линейными и антилинейными функционалами

С учетом любого функционала сопряженный е является функционал обозначается ${\displaystyle f~:~H\to \mathbb {F} ,}$

${\displaystyle {\overline {f}}~:~H\to \mathbb {F} }$      и определяется      ${\displaystyle h\mapsto {\overline {f(h)}}.}$

Это назначение наиболее полезно, когда, если тогда и назначение сводится к карте идентичности. ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle f={\overline {f}}}$${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

Назначение определяет антилинейное биективное соответствие из множества ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

все функционалы (соответственно, все линейные функционалы, все непрерывные линейные функционалы ) на${\displaystyle H^{*}}$${\displaystyle H,}$

на множество

все функционалы (соотв. все анти линейные функционалы, все непрерывные анти линейных функционалов ) на${\displaystyle {\overline {H}}^{*}}$${\displaystyle H.}$

Математические и физические обозначения и определения внутреннего продукта [ править ]

Гильбертово пространство имеет связанный с ним внутренний продукт , который представляет собой карту ценится в H основного поля «s , который является линейным по одной координате и антилинейный в другой (как подробно описано ниже). Если это комплексное гильбертово пространство (то есть, если ), что очень часто бывает, то какая координата антилинейна, а какая линейна, становится очень важной технической особенностью. Однако, если тогда внутренний продукт является симметричным отображением, которое одновременно линейно по каждой координате (т.е. билинейно) и антилинейно по каждой координате. Следовательно, вопрос о том, какая координата является линейной, а какая антилинейной, не имеет значения для${\displaystyle H}$${\displaystyle H\times H\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} ,}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$вещественные гильбертовы пространства.

Обозначение для внутреннего продукта

В математике внутренний продукт в гильбертовом пространстве часто обозначается или, в то время как в физике , обозначается скобкой или обычно используется вместо него. В этой статье эти два обозначения будут связаны равенством:${\displaystyle H}$${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle _{H}}$ ${\displaystyle \left\langle \cdot |\cdot \right\rangle }$${\displaystyle \left\langle \cdot |\cdot \right\rangle _{H}}$

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y|x\right\rangle }$      для всех ${\displaystyle x,y\in H.}$

Завершение определений внутреннего продукта

Предполагается, что карты и имеют следующие два свойства:${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$${\displaystyle \left\langle \cdot |\cdot \right\rangle }$

1. Карта является линейным в его первой координате; эквивалентно, карта линейна по своей второй координате. Явное, это означает , что для каждой фиксированной карты , которая обозначается ⟨ у | •⟩ = ⟨•, у ⟩: H → 𝔽 и определяется${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$${\displaystyle \left\langle \cdot |\cdot \right\rangle }$${\displaystyle y\in H,}$

   ч   ↦   ⟨ у | ч ⟩ = ⟨ ч , у ⟩      для всех${\displaystyle h\in H}$

   является линейным функционалом на ${\displaystyle H.}$
   • На самом деле, этот линейный функционал непрерывен, поэтому ⟨ у | •⟩ = ⟨•, у ⟩ ∈ H * .
2. Карта является анти линейна в своей второй координате; что то же самое, что отображение является анти линейно в своей первой координате. Явно это означает, что для каждого фиксированного отображения, обозначаемого ⟨• | у ⟩ = ⟨ у , •⟩: H → 𝔽 и определяется${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$${\displaystyle \left\langle \cdot |\cdot \right\rangle }$${\displaystyle y\in H,}$

   ч   ↦   ⟨ ч | у ⟩ = ⟨ у , ч ⟩      для всех${\displaystyle h\in H}$

   антилинейный функционал на H
   • На самом деле этот антилинейный функционал непрерывен, поэтому ⟨• | у ⟩ = ⟨ у , •⟩ ∈ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}.}$

В математике преобладающее соглашение (т. Е. Определение внутреннего продукта) состоит в том, что внутренний продукт является линейным по первой координате и антилинейным по другой координате. В физике соглашение / определение, к сожалению, противоположное , что означает, что внутренний продукт линейен по второй координате и антилинейен по другой координате. В этой статье одно определение не будет предпочтительнее другого. Вместо этого, сделанные выше допущения делают так, что математическая нотация удовлетворяет математическому соглашению / определению для внутреннего продукта (т.е. линейна по первой координате и антилинейна по другой), в то время как физика${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$Обозначение bra-ket удовлетворяет физическому соглашению / определению для внутреннего продукта (т.е. линейно по второй координате и антилинейно по другой). Следовательно, два вышеупомянутых предположения делают обозначение, используемое в каждом поле, совместимым с соглашением / определением этого поля, для которого координата является линейной, а какая - антилинейной.${\displaystyle \left\langle \cdot |\cdot \right\rangle }$

Каноническая норма и внутренний продукт в двойственном и анти-дуальном пространстве [ править ]

Если затем ⟨ х | х ⟩ = ⟨ х , х ⟩ является неотрицательное действительное число и карта${\displaystyle x=y}$

${\displaystyle \left\|x\right\|:={\sqrt {\left\langle x,x\right\rangle }}={\sqrt {\left\langle x|x\right\rangle }}}$

определяет каноническую норму на, которая превращается в банахово пространство . ^[1] Как и все банаховы пространства, (непрерывное) сопряженное пространство несет каноническую норму, называемую двойственной нормой , которая определяется формулой ^[1]${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H^{*}}$

${\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\,}$      для каждого ${\displaystyle f\in H^{*}.}$

Каноническая норма на (непрерывном) антидвойственном пространстве, обозначенная как, определяется с помощью того же уравнения: ^[1]${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$${\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}},}$

${\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\,}$      для каждого ${\displaystyle f\in {\overline {H}}^{*}.}$

Эта каноническая норма удовлетворяет закону параллелограмма , что означает, что поляризационное тождество может использоваться для определения канонического внутреннего продукта, на котором в данной статье мы будем обозначать понятиями ${\displaystyle H^{*}}$${\displaystyle H^{*},}$

${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g|f\right\rangle _{H^{*}},}$

где это внутреннее произведение превращается в гильбертово пространство. Более того, каноническая норма, индуцированная этим внутренним произведением (т. Е. Норма, определяемая ), согласуется с двойственной нормой (т. Е. Как определено выше супремумом по единичному шару); явно это означает, что для каждого выполняется следующее :${\displaystyle H^{*}}$${\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}}$${\displaystyle f\in H^{*}}$

${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f|f\rangle _{H^{*}}}}.}$

Как будет описано позже, теорема Рисса о представлении может использоваться для получения эквивалентного определения канонической нормы и канонического скалярного произведения на ${\displaystyle H^{*}.}$

Те же самые уравнения , которые были использованы выше , также могут быть использованы для определения нормы и скалярного произведения на «S анти-сопряженного пространстве ^[1]${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}.}$

Каноническая изометрия между двойственным и антидвойственным

Комплексно сопряженное функционала , который был определен выше, удовлетворяет ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f,}$

${\displaystyle \left\|f\right\|_{H^{*}}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}}$      и,      ${\displaystyle \left\|{\overline {g}}\right\|_{H^{*}}~=~\left\|g\right\|_{{\overline {H}}^{*}}}$

для всех и каждого. Это в точности говорит о том, что каноническая антилинейная биекция, определяемая формулой${\displaystyle f\in H^{*}}$${\displaystyle g\in {\overline {H}}^{*}.}$

${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}$      куда      ${\displaystyle \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$

а также обратное ему - антилинейные изометрии и, следовательно, гомеоморфизмы . Если тогда, и эта каноническая карта сводится к карте идентичности.${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}}$${\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}$

Теорема Рисса о представлении [ править ]

Наблюдения:

• ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\left\langle f_{\varphi },f_{\varphi }\right\rangle =\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\left\|\varphi \right\|^{2}.}$Так, в частности, у нас всегда есть вещественное число, где ⇔ f _φ = 0 ⇔ φ = 0 .${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0}$${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=0}$
• Показано , что существует ненулевой вектор в опирается на непрерывность и полноту Коши в . Это единственное место в доказательстве, в котором используются эти свойства.${\displaystyle v}$${\displaystyle M^{\perp }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle H}$

Конструкции [ править ]

Используя обозначения из приведенной выше теоремы, мы теперь предлагаем способы построения из${\displaystyle f_{\varphi }}$${\displaystyle \varphi \in H^{*}.}$

• Если φ = 0, то f _φ  : = 0, а в противном случае для любого${\displaystyle f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (g)}}g}{\|g\|^{2}}}}$${\displaystyle 0\neq g\in \left(\operatorname {ker} \varphi \right)^{\perp }.}$
• Если - единичный вектор, то${\displaystyle g\in \left(\operatorname {ker} \varphi \right)^{\perp }}$${\displaystyle f_{\varphi }:={\overline {\varphi (g)}}g.}$
  • Если g - единичный вектор, удовлетворяющий вышеуказанному условию, то то же самое верно и для - g (единственного другого единичного вектора в ). Однако оба этих вектора приводят к одному и тому же${\displaystyle \left(\operatorname {ker} \varphi \right)^{\perp }}$${\displaystyle {\overline {\varphi (-g)}}(-g)={\overline {\varphi (g)}}g=f_{\varphi }}$${\displaystyle f_{\varphi }.}$
• Если φ ( x ) ≠ 0 и x _K - ортогональная проекция на ker φ , то ^{[примечание 2]}${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}(x-x_{K}).}$
• Пусть φ ≠ 0 , и пусть где заметят , что , поскольку реально и является собственным подмножеством Если мы переинтерпретировать в качестве вещественного гильбертова пространства Н _ℝ (с обычным вещественнозначным скалярным произведением , определяемым ), то есть реальная коразмерность 1 в котором имеется реальные коразмерность 1 в H _ℝ , и (т.е. перпендикулярна относительно ).${\displaystyle M_{\mathbb {R} }:=(\operatorname {Re} \varphi )^{-1}\left(0\right)=\varphi ^{-1}\left(i\mathbb {R} \right)}$${\displaystyle f_{\varphi }\not \in M_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\left\|\varphi \right\|^{2}\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {ker} \varphi }$${\displaystyle M_{\mathbb {R} }.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {Re} \left\langle x,y\right\rangle }$${\displaystyle \operatorname {ker} \varphi }$${\displaystyle M_{\mathbb {R} },}$${\displaystyle M_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \left\langle f_{\varphi },M_{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0}$${\displaystyle f_{\varphi }}$${\displaystyle M_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle _{\mathbb {R} }}$
  • В теореме и конструкции выше, если мы заменим с вещественном гильбертовом пространстве аналог H _ℝ , и если мы заменим φ с Re ф , то это означает , что мы получим точно такой же вектор с помощью ( H _ℝ , ⟨⋅, ⋅⟩ _ℝ ) и действительный линейный функционал Re φ, как мы сделали с исходным комплексным гильбертовым пространством ( H , ⟨⋅, ⋅⟩) и исходным комплексным линейным функционалом φ (также с одинаковыми значениями нормы).${\displaystyle H}$${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\operatorname {Re} \varphi },}$${\displaystyle f_{\varphi }}$
• Для любого непрерывного линейного функционала соответствующий элемент может быть однозначно построен по формуле ${\displaystyle \varphi \in H^{*},}$${\displaystyle f_{\varphi }\in H}$

  ${\displaystyle f_{\varphi }=\varphi (e_{1})e_{1}+\varphi (e_{2})e_{2}+...,}$

  где это ортонормированный базис из Н , а величина не зависит от выбора базиса. Таким образом, если тогда ${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle f_{\varphi }}$${\displaystyle y\in H,y=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...,}$

  ${\displaystyle \varphi (y)=a_{1}\varphi (e_{1})+a_{2}\varphi (e_{2})+...=\langle f_{\varphi },y\rangle .}$

Каноническая инъекция из гильбертова пространства в его двойственное и анти-дуальное [ править ]

Для каждого внутреннего произведения можно использовать для определения двух непрерывных (т. Е. Ограниченных) канонических отображений:${\displaystyle y\in H,}$${\displaystyle H}$

• Карта, определенная путем помещения в антилинейную координату внутреннего продукта и разрешения переменной изменяться по линейной координате, приводит к линейному функционалу на H :${\displaystyle y}$${\displaystyle h\in H}$

  φ _у = ⟨ у | •⟩ = ⟨•, у ⟩: H → 𝔽       определяется ч ↦ ⟨ у | ч ⟩ = ⟨ ч , у ⟩     

  Эта карта является элементом , который является непрерывным двойственным пространством The канонического отображения из в свой двойной ^[1] представляет собой анти~d линейного оператора${\displaystyle H^{*},}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$

  ${\displaystyle \Phi :=\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~:~H\to H^{*}}$      определяется формулой y ↦ φ _y = ⟨• | у ⟩ = ⟨ у , •⟩     

  что также является инъективной изометрией . ^[1] Теорема Рисса о представлении утверждает, что это отображение сюръективно (и, следовательно, биективно ). Следовательно, каждый непрерывный линейный функционал на может быть записан (однозначно) в этом виде. ^[1]${\displaystyle H}$
• Карта, определенная путем помещения в линейную координату внутреннего продукта и разрешения переменной изменяться по антилинейной координате, приводит к антилинейному функционалу :${\displaystyle y}$${\displaystyle h\in H}$

  ⟨• | у ⟩ = ⟨ у , •⟩: H → 𝔽       определяется ч ↦ ⟨ ч | у ⟩ = ⟨ у , ч ⟩ ,     

  Эта карта является элементом , который является непрерывным анти-сопряженное пространство из The канонического отображения из в его анти-двойной ^[1] является линейным оператором${\displaystyle {\overline {H}}^{*},}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{*}}$

  ${\displaystyle \operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}~:~H\to {\overline {H}}^{*}}$      определяется формулой y ↦ ⟨• | у ⟩ = ⟨ у , •⟩     

  что также является инъективной изометрией . ^[1] Основная теорема гильбертовых пространств , которая связана с теоремой Рисса о представлении, утверждает, что это отображение сюръективно (и, следовательно, биективно ). Следовательно, любой антилинейный функционал на можно (однозначно) записать в этом виде. ^[1]${\displaystyle H}$

Если каноническое анти линейный биективен изометрия , что было определено выше, то имеет место равенство:${\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}$ ${\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cong} ~\circ ~\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}.}$

Примыкает и транспонирует [ править ]

Пусть будет непрерывный линейный оператор между гильбертовыми пространствами и , как и прежде, пусть и сопряженным из является линейным оператором определяется условием: ${\displaystyle A:H\to Z}$ ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$${\displaystyle \left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).}$${\displaystyle \langle y|x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}}$${\displaystyle \langle y|x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.}$${\displaystyle A:H\to Z}$${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$

${\displaystyle \left\langle z|Ah\right\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z|h\right\rangle _{H},}$     для всех и всех${\displaystyle h\in H}$${\displaystyle z\in Z.}$

Кроме того , можно определить транспонирование из которых является карта определяется путем направления линейного непрерывного функционала в ${\displaystyle A:H\to Z,}$${\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}$${\displaystyle \psi \in Z^{*}}$

${\displaystyle {}^{t}A(\psi ):=\psi \circ A}$

Сопряженное на самом деле просто для транспонирования, когда теорема о представлении Рисса используется для отождествления с и с. Чтобы сделать это явным, позвольте и быть биективными антилинейными изометриями, определенными соответственно формулой ${\displaystyle A^{*}:Z\to H}$${\displaystyle {}^{t}A:Z^{*}\to H^{*}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z^{*}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H^{*}.}$${\displaystyle \Phi _{H}~:~H\to H^{*}}$${\displaystyle \Phi _{Z}~:~Z\to Z^{*}}$

г ↦ ⟨ г | •⟩ _Н = ⟨•, г ⟩ _Н      и г ↦ ⟨ г | •⟩ _Z = ⟨•, г ⟩ _Z    

так что по определению

${\displaystyle (\Phi _{H}g)h=\langle g|h\rangle _{H}=\langle h,g\rangle _{H}}$для всех и для всех${\displaystyle g,h\in H}$          ${\displaystyle (\Phi _{Z}z)y=\langle z|y\rangle _{Z}=\langle y,z\rangle _{Z}}$${\displaystyle y,z\in Z.}$

Отношение между присоединенным и транспонированным может быть показано (см. Сноску для доказательства) ^{[примечание 3]} следующим образом:

${\displaystyle {}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}}$

который можно переписать как:

${\displaystyle A^{*}~=~\Phi _{H}^{-1}~\circ ~{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}}$      и      ${\displaystyle {}^{t}A~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}~\circ ~\Phi _{Z}^{-1}.}$

Распространение обозначения бюстгальтера на бюстгальтеры и кеты [ править ]

Пусть гильбертово пространство и , как и раньше, пусть Пусть будет биективная антилинейным изометрия определяется ${\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)}$${\displaystyle \langle y|x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.}$${\displaystyle \Phi ~:~H\to H^{*}}$

г ↦ ⟨ г | •⟩ _Н = ⟨•, г ⟩ _Н

так что по определению

${\displaystyle (\Phi h)g=\langle h|g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}}$      для всех ${\displaystyle g,h\in H.}$

Бюстгальтеры

Для данного вектора пусть обозначает непрерывный линейный функционал ; то есть, результатом включения некоторых данных в функционал является скаляр, где - обозначение, которое используется вместо или . Назначение - это просто изометрический антилинейный изоморфизм, поэтому выполняется для всех и всех скаляров.${\displaystyle h\in H,}$${\displaystyle \langle h|}$${\displaystyle \Phi h}$${\displaystyle \langle h|~:=~\Phi h.}$${\displaystyle g\in H}$${\displaystyle \langle h|}$${\displaystyle \langle h|g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},}$${\displaystyle \langle h|g\rangle }$${\displaystyle \langle h|(g)}$${\displaystyle \langle h|g.}$${\displaystyle h\mapsto \langle h|}$${\displaystyle \Phi ~:~H\to H^{*}}$${\displaystyle ~\langle cg+h|~=~{\overline {c}}\langle g|~+~\langle h|~}$${\displaystyle g,h\in H}$${\displaystyle c.}$

Учитывая непрерывный линейный функционал Пусть обозначаться вектор ; то есть определяющим условием вектора является технически правильное, но некрасивое равенство${\displaystyle \psi \in H^{*},}$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle \Phi ^{-1}\psi }$${\displaystyle \langle \psi |~:=~\Phi ^{-1}\psi .}$${\displaystyle \langle \psi |\in H}$

${\displaystyle \left\langle \,\langle \psi |\,|g\right\rangle _{H}~=~\psi g}$      для всех ${\displaystyle g\in H,}$

поэтому вместо определяющего условия используется обозначение.${\displaystyle \left\langle \psi |g\right\rangle }$${\displaystyle \left\langle \,\langle \psi |\,|g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi |\,\right\rangle _{H}.}$

${\displaystyle \left\langle \psi |g\right\rangle ~=~\psi g}$      для всех ${\displaystyle g\in H.}$

Назначение - это просто изометрический антилинейный изоморфизм, поэтому справедливо для всех и всех скаляров.${\displaystyle \psi \mapsto \langle \psi |}$${\displaystyle \Phi ^{-1}~:~H^{*}\to H}$${\displaystyle ~\langle c\psi +\phi |~=~{\overline {c}}\langle \psi |~+~\langle \phi |~}$${\displaystyle \phi ,\psi \in H^{*}}$${\displaystyle c.}$

Кеты

Для любого данного вектора обозначение используется для обозначения ; то есть обозначения и используются вместо и соответственно. Как и ожидалось, и на самом деле это просто скаляр${\displaystyle g\in H,}$${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle g}$${\displaystyle |g\rangle :=g.}$${\displaystyle \langle h|g\rangle }$${\displaystyle \langle \psi |g\rangle }$${\displaystyle \left\langle h|\,|g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \,|g\rangle ,h\right\rangle _{H}}$${\displaystyle \left\langle \psi |\,|g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi |\,\right\rangle _{H},}$${\displaystyle ~\langle \psi |g\rangle ~=~\psi g~}$${\displaystyle ~\langle h|g\rangle ~}$${\displaystyle ~\langle h|g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.}$

Свойства индуцированной антилинейной карты [ править ]

Отображение : H → H *, определяемое выражением =, является изометрическим антилинейным изоморфизмом, что означает, что:${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \varphi _{x}}$

• ${\displaystyle \Phi }$является биективен .
• В нормах о и согласны:${\displaystyle x}$${\displaystyle \varphi _{x}}$${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \Phi (x)\Vert .}$
  • Используя этот факт, это отображение может быть использовано для получения эквивалентного определения канонической двойственной нормы . Каноническое внутреннее произведение на можно определить аналогично.${\displaystyle H^{*}.}$${\displaystyle H^{*}}$
• ${\displaystyle \Phi }$является добавка :${\displaystyle \Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2}).}$
• Если базовое поле есть, то для всех действительных чисел λ.${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x)}$
• Если основное поле , то для всех комплексных чисел X, где обозначает комплексное сопряжение из${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x)}$${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda .}$

Обратное отображение из может быть описана следующим образом . Учитывая ненулевой элемент из Н * , в ортогональном дополнении в ядре в этом одномерное подпространство H . Возьмем ненулевой элемент z в этом подпространстве и положим Then =${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x={\overline {\varphi (z)}}\cdot z/{\left\Vert z\right\Vert }^{2}.}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \varphi .}$

В качестве альтернативы, назначение можно рассматривать как биективную линейную изометрию в анти-сопряженное пространство из ^[1] , который является комплексно сопряженными векторным пространством , из непрерывного двойного пространства H * . ${\displaystyle x\mapsto \varphi _{x}}$${\displaystyle H\to {\overline {H}}^{*}}$${\displaystyle H,}$

Исторически сложилось так, что теорема часто приписывается одновременно Риссу и Фреше в 1907 году (см. Ссылки).

При математическом рассмотрении квантовой механики эту теорему можно рассматривать как оправдание популярных обозначений на скобках . Теорема гласит, что каждому бюстгальтеру соответствует кет, и последний единственный.${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle |\psi \rangle ,}$

См. Также [ править ]

• Основная теорема гильбертовых пространств

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фреше, М. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires" . Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 144 : 1414–1416.
• Теория меры П. Халмоса , Д. ван Ностранд и Ко, 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book , Springer, New York 1982 (задача 3 содержит версию для векторных пространств с системами координат) .
• Рис, Ф. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 144 : 1409–1411.
• Рис, Ф. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 149 : 974–977.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Уолтер Рудин, Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6 . 
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .