Комплексификация

В математике , то комплексификация из векторного пространства $V$ над полем действительных чисел ( «реальное векторным пространство») дает векторное пространство $V ℂ$ над комплексным числом полем , полученного путем формального расширения масштабирования векторов действительных числами , чтобы включить их масштабирование («умножение») комплексными числами. Любой базис для $V$ (пространство над действительными числами) также может служить базисом для $V ℂ$ над комплексными числами.

Формальное определение [ править ]

Пусть $V$ - вещественное векторное пространство. Комплексификацией из $V$ определяется взяв тензорное произведение из $V$ с комплексными числами (мысль о том, как 2 dim (V) - мерное векторное пространство над полем действительных чисел):

{\ Displaystyle V ^ {\ mathbb {C}} = V \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ ,.}

Нижний индекс в тензорном произведении указывает на то, что тензорное произведение берется по действительным числам (поскольку $V$ является вещественным векторным пространством, в любом случае это единственный разумный вариант, поэтому нижний индекс можно безопасно опустить). В настоящее время $V$ $ℂ$ - это только реальное векторное пространство. Однако мы можем превратить $V$ $ℂ$ в комплексное векторное пространство, определив комплексное умножение следующим образом: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

\alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \,.

В более общем смысле комплексификация - это пример расширения скаляров - здесь скаляры расширяются от действительных чисел до комплексных чисел - что может быть сделано для любого расширения поля или даже для любого морфизма колец.

Формально комплексификация - это функтор Vect _$ℝ$ → Vect _$ℂ$ из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств. Это сопряженный функтор - а именно левый сопряженный - к забывшему функтору Vect _$ℂ$ → Vect _$ℝ,$ забывающий комплексную структуру.

Это забвение сложной структуры комплексного векторного пространства называется декомплексированием (или иногда «реализацией»). Декомплексирование комплексного векторного пространства с базисом устраняет возможность комплексного умножения скаляров, в результате чего получается вещественное векторное пространство с базой в два раза большей размерности . ^[1] $V$ $V$ $e_{\mu }$ $W_{\mathbb {R} }$ $\{e_{\mu },ie_{\mu }\}$

Основные свойства [ править ]

По характеру тензорного произведения каждый вектор $v$ в $V ℂ$ однозначно записывается в виде

v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i

где $V 1$ и $V 2$ являются векторами в $V$ . Обычной практикой является опустить символ произведения тензора и просто написать

v=v_{1}+iv_{2}.\,

Умножение на комплексное число $a + ib$ затем дается обычным правилом

(a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,

Тогда мы можем рассматривать $V ℂ$ как прямую сумму двух копий $V$ :

V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV

с приведенным выше правилом умножения на комплексные числа.

Существует естественное вложение $V$ в $V ℂ$ :

v\mapsto v\otimes 1.

Векторное пространство $V$ можно тогда рассматривать как вещественное подпространство в $V ℂ$ . Если $V$ имеет базис ${е я}$ (над полем $ℝ$ ) , то соответствующее основание для $V ℂ$ задается ${е я \otimes 1}$ над полем $ℂ$ . Комплексное измерение из $V ℂ$ , следовательно , равен реальному размеру $V$ :

\dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.

В качестве альтернативы, вместо использования тензорных произведений, можно использовать эту прямую сумму как определение комплексификации:

V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,

где задается линейная комплексная структура оператором $J,$ определенным как где $J$ кодирует операцию «умножения на $i$ ». В матричной форме $J$ определяется как: $V^{\mathbb {C} }$ $J(v,w):=(-w,v),$

J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.

Это дает идентичное пространство - реальное векторное пространство с линейной сложной структурой - это данные, идентичные сложному векторному пространству, хотя оно строит пространство по-разному. Соответственно, можно записать или отождествить $V$ с первым прямым слагаемым. Этот подход более конкретен и имеет то преимущество, что позволяет избежать использования технически сложного тензорного произведения, но является специальным. $V^{\mathbb {C} }$ $V\oplus JV$ $V\oplus iV,$

Примеры [ править ]

Комплексификация реального координатного пространства $ℝ n$ - это комплексное координатное пространство $ℂ n$ .
Аналогично, если $V$ состоит из матриц размера $m \times n$ с действительными элементами, $V$ $ℂ$ будет состоять из матриц размера $m$ $\times$ $n$ с комплексными элементами.

Удвоение Диксона [ править ]

Процесс усложнению путем перехода от $ℝ$ к $ℂ$ был отведенной математики двадцатого века , в том числе Леонарда Диксона . Один начинается с использованием тождественного отображения $х * = х$ как тривиальная инволюция на $ℝ$ . Следующие две копии используются для формирования $z = (a, b)$ с комплексным сопряжением, введенным как инволюция $z * = (a, - b)$ . Два элемента $w$ и $z$ в удвоенном наборе умножаются на

wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).

Наконец, удвоенному множеству дается норма $N (z) = z * z$ . При запуске из $ℝ$ с инволюцией идентичности, удвоенный набор $ℂ$ с нормой $2$ $+$ $Ь$ $2$ . Если $удвоить ℂ$ и использовать сопряжение ( a, b ) * = ( a *, - b ), конструкция дает кватернионы . При удвоении снова образуются октонионы , также называемые числами Кэли. Именно в этот момент Диксон в 1919 году внес свой вклад в раскрытие алгебраической структуры.

Процесс также можно $запустить$ с $помощью$ и тривиальной инволюции $z * = z$ . Произведенная норма - это просто $z 2$ , в отличие от порождения $ℂ$ удвоением $ℝ$ . Когда это $ℂ$ удваивается, это дает бикомплексные числа , а удвоение дает бикватернионы , а удвоение снова приводит к биоктонионам . Когда базовая алгебра ассоциативна, алгебра, полученная с помощью этой конструкции Кэли-Диксона, называется композиционной алгеброй, поскольку можно показать, что она обладает свойством

N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.

Комплексное спряжение [ править ]

Комплексное векторное пространство $V ℂ$ имеет большую структуру, чем обычное комплексное векторное пространство. Он поставляется с канонической картой комплексного сопряжения :

\chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}

определяется

\chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.

Отображение $χ$ может быть либо рассматривать как сопряженно-линейное отображение из $V ℂ$ к себе или в виде сложного линейного изоморфизма от $V ℂ$ к его комплексно сопряженное . ${\overline {V^{\mathbb {C} }}}$

Наоборот, дано комплексное векторное пространство $W$ с комплексным сопряжением $χ$ , $W$ изоморфно как комплексное векторное пространство комплексификации $V ℂ$ вещественного подпространства

V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.

Другими словами, все комплексные векторные пространства с комплексным сопряжением являются комплексификацией реального векторного пространства.

Например, когда $W = ℂ n$ со стандартным комплексным сопряжением

\chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})

инвариантное подпространство $V$ - это просто вещественное подпространство $ℝ n$ .

Линейные преобразования [ править ]

Для действительного линейного преобразования $f : V \to W$ между двумя действительными векторными пространствами существует естественное комплексное линейное преобразование

f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }

дано

f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.

Карта называется комплексификацией из е . Комплексификация линейных преобразований удовлетворяет следующим свойствам $f^{\mathbb {C} }$

$(\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}$
$(f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }$
$(f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }$
$(af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R}$

На языке теории категорий говорят, что комплексификация определяет ( аддитивный ) функтор из категории вещественных векторных пространств в категорию комплексных векторных пространств.

Отображение $f ℂ$ коммутирует со сопряжением и, таким образом, отображает вещественное подпространство V ^ℂ в вещественное подпространство $W ℂ$ (через отображение $f$ ). Более того, комплексное линейное отображение $g : V ℂ \to W ℂ$ является комплексификацией вещественного линейного отображения тогда и только тогда, когда оно коммутирует со сопряжением.

В качестве примера рассмотрим линейное преобразование из $ℝ п$ к $ℝ м$ мысли как $м \times п$ матрицы . Комплексификация этой трансформации точно такая же матрица, но теперь рассматривать как линейное отображение из $ℂ п$ до $ℂ м$ .

Двойственные пространства и тензорные произведения [ править ]

Двойного вещественного векторного пространства $V$ пространство $V *$ всех действительных линейных отображений из $V$ в $ℝ$ . Комплексификация $V *$ естественно можно рассматривать как пространство всех вещественных линейных отображений из $V$ в $ℂ$ (обозначается $Hom ℝ (V, ℂ)$ ). Это,

(V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).

Изоморфизм задается формулой

(\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}

где $φ 1$ и $φ 2$ - элементы $V *$ . Комплексное сопряжение тогда дается обычной операцией

{\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}

Для действительного линейного отображения $φ: V \to ℂ$ мы можем продолжить по линейности, чтобы получить комплексное линейное отображение $φ: V ℂ \to ℂ$ . Это,

\varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).

Это расширение дает изоморфизм $Hom ℝ (V, ℂ)$ в $Hom ℂ (V ℂ, ℂ)$ . Последнее является просто комплексным двойственным пространством к $V ℂ$ , поэтому мы имеем естественный изоморфизм :

(V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.

В более общем смысле, для данных вещественных векторных пространств $V$ и $W$ существует естественный изоморфизм

\mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).

Комплексификация также коммутирует с операциями взятия тензорных произведений , внешних степеней и симметричных степеней . Например, если $V$ и $W$ - вещественные векторные пространства, существует естественный изоморфизм

(V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.

Обратите внимание, что левое тензорное произведение берется по действительным числам, а правое - по комплексам. То же самое и в целом. Например, есть

(\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).

Во всех случаях изоморфизмы являются «очевидными».

См. Также [ править ]

Расширение скаляров - общий процесс
Линейная сложная структура
Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Ссылки [ править ]

↑ Кострикин, Алексей I .; Манин Ю. И. (14 июля 1989 г.). Линейная алгебра и геометрия . CRC Press. п. 75. ISBN 978-2881246838.

Халмос, Пол (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Springer. стр. 41 и §77 Комплексификация, стр. 150–153. ISBN 0-387-90093-4.

Шоу, Рональд (1982). Линейная алгебра и представления групп . Vol. I: Линейная алгебра и введение в представления групп. Академическая пресса. п. 196 . ISBN 0-12-639201-3. |volume= has extra text (help)

Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 135 (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-24766-1.

[1] Кострикин, Алексей I .; Манин Ю. И. (14 июля 1989 г.). Линейная алгебра и геометрия . CRC Press. п. 75. ISBN 978-2881246838.

[1]