Бикватернион

В абстрактной алгебре , то бикватернионы являются числами ш + х я + у J + г к , где ш , х , у и г являются комплексными числами , или их варианты, а также элементов { 1 , я , J , K } умножаются, как в группе кватернионов, и коммутируют со своими коэффициентами. Существует три типа бикватернионов, соответствующих комплексным числам и их вариациям:

• Бикватернионы, когда коэффициенты - комплексные числа .
• Сплит-бикватернионы, когда коэффициенты являются расщепленными комплексными числами .
• Двойные кватернионы, когда коэффициенты - двойные числа .

Эта статья об обычных бикватернионах, названных Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1844 году (см. Труды Королевской ирландской академии 1844 и 1850 годов, стр. 388 ^[1] ). Некоторые из наиболее известных сторонников этих бикватернионов включают Александра Макфарлейна , Артура В. Конвея , Людвика Зильберштейна и Корнелиуса Ланцоса . Как будет показано ниже, единичная квазисфера бикватернионов представляет собой группу Лоренца , которая является основой специальной теории относительности .

Алгебра бикватернионов можно рассматривать как тензорное произведение ℂ ⊗ ℍ (берется по реалов) , где ℂ является полем комплексных чисел и ℍ является алгеброй с делением (вещественных) кватернионов . Другими словами, бикватернионы - это просто комплексификация кватернионов. Рассматриваемые как комплексная алгебра, бикватернионы изоморфны алгебре 2 × 2 комплексных матриц M ₂ (ℂ) . Они также изоморфны нескольким алгебрам Клиффорда, включая ℍ (ℂ) = Cℓ ⁰ ₃ (ℂ) = Cℓ ₂(ℂ) = Cℓ _1,2 (ℝ) , ^{[2] : 112113} Паули алгебра Cℓ _3,0 (ℝ) , ^{[2] : 112 [3] : 404} , и даже часть Cℓ ⁰ _1,3 (ℝ) = Cℓ ⁰ _3,1 (ℝ) в пространственно - временной алгебре . ^{[3] : 386}

Определение [ править ]

Пусть { 1 , i , j , k } будет базисом для (действительных) кватернионов ℍ , и пусть u , v , w , x будут комплексными числами, тогда

${\ Displaystyle д = и \ mathbf {1} + v \ mathbf {я} + ш \ mathbf {j} + х \ mathbf {k}}$

это бикватернион . ^{[4] : 639} Чтобы различать квадратные корни из минус единицы в бикватернионах, Гамильтон ^{[4] : 730 [5]} и Артур В. Конвей использовали соглашение о представлении квадратного корня из минус единицы в скалярном поле через h, чтобы избежать путаница с i в группе кватернионов . Предполагается коммутативность скалярного поля с группой кватернионов:

${\displaystyle h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.}$

Гамильтон ввел термины бивектор , двусопряженный, битенсор и биверсор, чтобы расширить понятия, используемые с действительными кватернионами ℍ .

Основное изложение бикватернионов Гамильтоном было сделано в 1853 году в его « Лекциях по кватернионам» . Издания Elements of Quaternions в 1866 году Уильямом Эдвином Гамильтоном (сыном Роуэна) и в 1899, 1901 годах Чарльзом Джаспером Джоли сократили покрытие бикватернионов в пользу реальных кватернионов.

Этот набор с учетом операций покомпонентного сложения и умножения в соответствии с группой кватернионов образует 4-мерную алгебру над комплексными числами ℂ. Алгебра бикватернионов ассоциативна , но не коммутативна . Бикватернион - это либо единица, либо делитель нуля . Алгебра бикватернионов образует композиционную алгебру и может быть построена из бикомплексных чисел . См. § Как композиционную алгебру ниже.

Место в теории колец [ править ]

Линейное представление [ править ]

Обратите внимание на матричное произведение

${\displaystyle {\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}}$.

Поскольку h - мнимая единица , каждый из этих трех массивов имеет квадрат, равный отрицательному значению единичной матрицы . Когда это матричное произведение интерпретируется как ij = k, то получается подгруппа матриц, изоморфная группе кватернионов . Как следствие,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{pmatrix}}}$

представляет собой бикватернион q = u 1 + v i + w j + x k. Для любой комплексной матрицы 2 × 2 существуют комплексные значения u , v , w и x, чтобы преобразовать ее в такую ​​форму, чтобы кольцо матриц M (2, C) было изоморфно ^[6] кольцу бикватернионов .

Подалгебры [ править ]

Учитывая бикватернион алгебру над скалярным полем действительных чисел ℝ , множество

${\displaystyle \{\mathbf {1} ,h,\mathbf {i} ,h\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,h\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,h\mathbf {k} \}}$

образует основу, поэтому алгебра имеет восемь реальных измерений . Квадраты элементов h i , h j и h k все положительные, например, ( h i ) ² = h ² i ² = (- 1 ) (- 1 ) = + 1 .

Подалгебра задается

${\displaystyle \lbrace x+y(h\mathbf {i} ):x,y\in \mathbb {R} \rbrace }$

является кольцом, изоморфным плоскости расщепленных комплексных чисел , алгебраическая структура которой построена на единичной гиперболе . Элементы h j и h k также определяют такие подалгебры.

Более того,

${\displaystyle \lbrace x+y\mathbf {j} :x,y\in \mathbb {C} \rbrace }$

является подалгеброй, изоморфной тессаринам .

Третья подалгебра, называемая кокватернионами , порождается h j и h k . Видно , что ( ч J ) ( ч к ) = (- 1 ) я , и что квадрат этого элемента - 1 . Эти элементы образуют двугранную группу квадрата. Таким образом, линейное подпространство с базой { 1 , i , h j , h k } замкнуто относительно умножения и образует алгебру кокватернионов.

В контексте квантовой механики и спинорной алгебры бикватернионы h i , h j и h k (или их негативы), рассматриваемые в представлении M ₂ (ℂ) , называются матрицами Паули .

Алгебраические свойства [ править ]

Бикватернионы имеют два спряжения :

• бисопряженный или biscalar минус бивектор является и${\displaystyle q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,}$
• комплексное сопряжение коэффициентов бикватерниона${\displaystyle q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }\mathbf {i} +y^{\star }\mathbf {j} +z^{\star }\mathbf {k} }$

где когда${\displaystyle z^{\star }=a-bh}$${\displaystyle z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle (pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}.}$

Ясно, что если тогда q - делитель нуля. В противном случае определяется над комплексными числами. Далее легко проверяется. Это позволяет определить обратное как${\displaystyle qq^{*}=0}$${\displaystyle \lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }}$${\displaystyle qq^{*}=q^{*}q}$

• ${\displaystyle q^{-\mathbf {1} }=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }}$, если ${\displaystyle qq^{*}\neq 0.}$

Связь с преобразованиями Лоренца [ править ]

Рассмотрим теперь линейное подпространство ^[7]

${\displaystyle M=\lbrace q:q^{*}=q^{\star }\rbrace =\lbrace t+x(h\mathbf {i} )+y(h\mathbf {j} )+z(h\mathbf {k} ):t,x,y,z\in \mathbb {R} \rbrace .}$

M не является подалгеброй, поскольку она не замкнута относительно произведений ; например. В самом деле, M не может образовать алгебру, если это даже не магма .${\displaystyle (h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.}$

Предложение: если q принадлежит M , то${\displaystyle qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Доказательство: из определений,

${\displaystyle {\begin{aligned}qq^{*}&=(t+xh\mathbf {i} +yh\mathbf {j} +zh\mathbf {k} )(t-xh\mathbf {i} -yh\mathbf {j} -zh\mathbf {k} )\\&=t^{2}-x^{2}(h\mathbf {i} )^{2}-y^{2}(h\mathbf {j} )^{2}-z^{2}(h\mathbf {k} )^{2}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$

Определение: Пусть бикватернион g удовлетворяет Тогда преобразование Лоренца, ассоциированное с g, имеет вид${\displaystyle gg^{*}=\mathbf {1} .}$

${\displaystyle T(q)=g^{*}qg^{\star }.}$

Предложение: Если Q в M , то Т ( д ) также находится в М .

Доказательство: ${\displaystyle (g^{*}qg^{\star })^{*}=(g^{\star })^{*}q^{*}g=(g^{*})^{\star }q^{\star }g=(g^{*}qg^{\star })^{\star }.}$

Предложение: ${\displaystyle \quad T(q)(T(q))^{*}=qq^{*}}$

Доказательство: сначала обратите внимание, что gg * = 1 означает, что сумма квадратов его четырех комплексных компонентов равна единице. Тогда сумма квадратов комплексно сопряженных этих компонент также равна единице. Поэтому сейчас${\displaystyle g^{\star }(g^{\star })^{*}=\mathbf {1} .}$

${\displaystyle (g^{*}qg^{\star })(g^{*}qg^{\star })^{*}=g^{*}qg^{\star }(g^{\star })^{*}q^{*}g=g^{*}qq^{*}g=qq^{*}.}$

Связанная терминология [ править ]

Поскольку бикватернионы были неотъемлемой частью линейной алгебры с самого начала математической физики , существует множество концепций, которые иллюстрируются или представлены алгеброй бикватернионов. Группа преобразований состоит из двух частей, и Первая часть характеризуется  ; тогда преобразование Лоренца, соответствующее g , задается формулой, поскольку такое преобразование является вращением путем умножения кватернионов , и их совокупность равна O (3) Но эта подгруппа группы G не является нормальной подгруппой , поэтому фактор-группа не может быть сформирована.${\displaystyle G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace }$${\displaystyle G\cap H}$${\displaystyle G\cap M.}$${\displaystyle g=g^{\star }}$${\displaystyle T(q)=g^{-1}qg}$${\displaystyle g^{*}=g^{-1}.}$ ${\displaystyle \cong G\cap H.}$

Для просмотра необходимо показать структуру подалгебры в бикватернионах. Пусть г представляет собой элемент сферы квадратного корня из минус единицы в реальных кватернионах подалгебры ℍ . Тогда ( hr ) ² = +1 и плоскость бикватернионов, заданная как, является коммутативной подалгеброй, изоморфной плоскости расщепляемых комплексных чисел . Так же , как обычная комплексная плоскость имеет единичный круг, имеет единичную гиперболу , данную${\displaystyle G\cap M}$${\displaystyle D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace }$${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle \exp(ahr)=\cosh(a)+hr\ \sinh(a),\quad a\in R.}$

Так же, как единичная окружность поворачивается умножением на один из ее элементов, так и гипербола поворачивается, потому что эти алгебраические операторы на гиперболе называются гиперболическими версорами . Единичная окружность в ℂ и единица гипербола в D _г являются примерами групп однопараметрических . Для каждого квадратного корня г минуса один в ℍ , есть группа однопараметрической в бикватернионах заданных${\displaystyle \exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).}$${\displaystyle G\cap D_{r}.}$

Пространство бикватернионов имеет естественную топологию через евклидову метрику на 8- пространстве. В отношении этой топологии G - топологическая группа . Кроме того, она имеет аналитическую структуру, что делает ее шестипараметрической группой Ли . Рассмотрим подпространство бивекторов . Тогда экспоненциальное отображение принимает вещественные векторы и з -векторы к При оснащении коммутатора , образует алгебру Ли в G . Таким образом, это исследование шестимерного пространства${\displaystyle A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace }$${\displaystyle \exp :A\to G}$${\displaystyle G\cap H}$${\displaystyle G\cap M.}$служит для введения общих понятий теории Ли . При рассмотрении в матричном представлении G называется специальной линейной группой SL (2, C) в M ₂ (ℂ) .

Многие концепции специальной теории относительности проиллюстрированы с помощью представленных структур бикватернионов. Подпространство M соответствует пространству Минковского с четырьмя координатами, определяющими временные и пространственные положения событий в неподвижной системе отсчета . Любой гиперболический вариант exp ( ahr ) соответствует скорости в направлении r скорости c tanh a, где c - скорость света . Инерциальную систему отсчета этой скорости можно сделать системой покоя, применив усиление Лоренца Tдается как g = exp (0,5 ahr ) с тех пор, так что, естественно, гиперболоид, который представляет диапазон скоростей для субсветового движения, представляет физический интерес. Там была большая работа ассоциируя это «пространство скоростей» с гиперболоида модели из гиперболической геометрии . В специальной теории относительности параметр гиперболического угла гиперболического версора называется быстротой . Таким образом, мы видим, что группа бикватернионов G обеспечивает групповое представление для группы Лоренца .${\displaystyle g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}}$${\displaystyle T(\exp(ahr))=1.}$ ${\displaystyle G\cap M,}$

После введения спинорной теории, особенно в руках Вольфганга Паули и Эли Картана , бикватернионное представление группы Лоренца было вытеснено. Новые методы были основаны на базисных векторах в наборе

${\displaystyle \lbrace q\ :\ qq^{*}=0\rbrace =\lbrace w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \ :\ w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\rbrace }$

который называется сложным световым конусом . Приведенное выше представление группы Лоренца совпадает с тем, что физики называют четырехвекторами . Помимо четырехвекторов, стандартная модель физики элементарных частиц также включает другие лоренцевские представления, известные как скаляры , и (1, 0) ⊕ (0, 1) -представление, связанное, например, с тензором электромагнитного поля . Кроме того, физики частиц используют SL (2, ℂ) представление (или проективные представления группы Лоренца) , известные как лево- и правые спиноры Вейля , майорановские спиноры иСпиноры Дирака . Известно, что каждое из этих семи представлений может быть построено как инвариантное подпространство внутри бикватернионов. ^[8]

Как композиционная алгебра [ править ]

Хотя В. Р. Гамильтон ввел бикватернионы в XIX веке, его математическая структура как особый тип алгебры над полем была определена в XX веке: бикватернионы могут быть сгенерированы из бикомплексных чисел так же, как Адриан Альберт произвел действительные кватернионы комплексных чисел в так называемой конструкции Кэли – Диксона . В этой конструкции бикомплексное число ( w, z ) сопряжено ( w, z ) * = ( w , - z ).

Бикватернион тогда представляет собой пару бикомплексных чисел ( a, b ), где произведение со вторым бикватернионом ( c, d ) равно

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}$

Если тогда двусопряженное${\displaystyle a=(u,v),b=(w,z),}$ ${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).}$

Когда ( a, b ) * записывается как 4-вектор обычных комплексных чисел,

${\displaystyle (u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).}$

Бикватернионы образуют пример алгебры кватернионов , и он имеет норму

${\displaystyle N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.}$

Два бикватерниона p и q удовлетворяют указанию, что N - квадратичная форма, допускающая композицию, так что бикватернионы образуют композиционную алгебру .${\displaystyle N(pq)=N(p)N(q)}$

См. Также [ править ]

• Бикватернионная алгебра
• Номер гиперкомплекса
• Использование Макфарлейна
• Факторное кольцо

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

В Викиучебнике по алгебре ассоциативной композиции есть страница по теме: Бикватернионы

• Артур Буххайм (1885) «Воспоминания о бикватернионах» , Американский журнал математики 7 (4): 293–326 из раннего содержания Jstor .
• Конвей, Артур В. (1911), «О применении кватернионов к некоторым недавним достижениям в теории электричества», Proceedings of the Royal Irish Academy , 29A : 1–9.
• Фьюри, К. (2012). «Единая теория идеалов». Phys. Rev. D . 86 (2): 025024. arXiv : 1002.1497 . Bibcode : 2012PhRvD..86b5024F . DOI : 10.1103 / PhysRevD.86.025024 . S2CID  118458623 .
• Гамильтон (1866) Элементы Quaternions University of Dublin Press. Отредактировал Уильям Эдвин Гамильтон, сын покойного автора.
• Гамильтон (1899) Элементы кватернионов, том I, (1901), том II. Отредактированный Чарльзом Джаспером Джоли ; опубликованные Longmans, Green & Co. .
• Кравченко, Владислав (2003), Прикладной кватернионный анализ , Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8 . 
• Зильберштейн, Людвик (1912), "Кватернионная форма относительности" , Философский Журнал , Серия 6, 23 (137): 790-809, DOI : 10,1080 / 14786440508637276.
• Зильберштейн, Людвик (1914), Теория относительности.
• Synge, JL (1972), "Кватернионы, преобразования Лоренца и матрицы Конвея-Дирака-Эддингтона", Сообщения Дублинского института перспективных исследований , серия A, 21.
• Жирар, PR (1984), «Группа кватернионов и современная физика», European Journal of Physics , 5 (1): 25–32, Bibcode : 1984EJPh .... 5 ... 25G , doi : 10.1088 / 0143-0807 / 5/1/007.
• Килмистер, CW (1994), Эддингтонский поиск фундаментальной теории , Cambridge University Press, стр. 121, 122, 179, 180, ISBN 978-0-521-37165-0.
• Sangwine, Стивен Дж .; Ell, Todd A .; Ле Бихан, Николас (2010), «Фундаментальные представления и алгебраические свойства бикватернионов или комплексифицированных кватернионов», Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда , 21 (3): 1–30, arXiv : 1001.0240 , doi : 10.1007 / s00006-010-0263- 3 , S2CID  54729224.
• Sangwine, Стивен Дж .; Альфсманн, Даниэль (2010), «Определение бикватернионных делителей нуля, включая идемпотенты и нильпотенты», Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда , 20 (2): 401–410, arXiv : 0812.1102 , Bibcode : 2008arXiv0812.1102S , doi : 10.1007 / s00006-010-0202-3 , S2CID  14246706.
• Tanişli, M. (2006), "Калибровочное преобразование и электромагнетизм с бикватернионов", Europhysics Letters , 74 (4): 569, Bibcode : 2006EL ..... 74..569T , DOI : 10,1209 / EPL / i2005-10571- 6.