В математике , то тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R является также R - алгебра. Это дает тензорное произведение алгебр . Когда кольцо является полем , наиболее частым применением таких произведений является описание произведения представлений алгебры .
Определение
Пусть R - коммутативное кольцо, а A и B - R -алгебры . Поскольку A и B можно рассматривать как R -модули , их тензорное произведение
также является R -модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на элементах вида a ⊗ b согласно [1] [2]
а затем расширение по линейности на все ⊗ R B . Это кольцо представляет собой R - алгебра, ассоциативно и унитальная с единицей , заданной 1 ⊗ 1 B . [3] , где 1 и 1 Б являются элементами идентичности из A и B . Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.
Тензорное произведение превращает категорию в R -алгебр в симметричную моноидальную категорию . [ необходима цитата ]
Другие свойства
Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в A ⊗ R B, заданные формулой [4]
Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R -алгебр . Тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R -алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр . Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:
где [-, -] обозначает коммутатор . Естественный изоморфизм даются определения морфизма в левой части с парой морфизмов с правой стороны, где и аналогично .
Приложения
Тензорное произведение коммутативных алгебр часто используется в алгебраической геометрии . Для аффинных схем X , Y , Z с морфизмами из X и Z в Y , поэтому X = Spec ( A ), Y = Spec ( B ) и Z = Spec ( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , Схема расслоенного произведения - это аффинная схема, соответствующая тензорному произведению алгебр:
В более общем смысле, волокнистый продукт схем определяется путем склеивания вместе аффинных волоконных продуктов этой формы.
Примеры
- Тензорное произведение можно использовать как средство пересечения двух подсхем в схеме : рассмотрим-алгебры , , то их тензорное произведение равно , Который описывает пересечение алгебраических кривых ф = 0 и г = 0 в аффинной плоскости над C .
- Тензорные произведения можно использовать как средство изменения коэффициентов. Например, а также .
- Тензорные произведения также могут использоваться для переноса произведений аффинных схем над полем. Например,является изоморфной алгебре что соответствует аффинной поверхности в если f и g не равны нулю.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Кассель, Кристиан (1995), квантовые группы , выпускные тексты по математике, 155 , Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
- Ланг, Серж (2002) [впервые опубликовано в 1993 году]. Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 21 . Springer. ISBN 0-387-95385-X.