В математике тензорное произведение представлений - это тензорное произведение векторных пространств, лежащих в основе представлений, вместе с факторным действием группы на произведение. Эта конструкция вместе с процедурой Клебша – Гордана может быть использована для генерации дополнительных неприводимых представлений, если некоторые уже известны.
Определение
Представительства группы
Если являются линейными представлениями группы, то их тензорное произведение есть тензорное произведение векторных пространств с линейным действием однозначно определяется условием, что
для всех а также . Хотя не каждый элемент выражается в форме , универсальность операции тензорного произведения гарантирует, что это действие корректно определено.
На языке гомоморфизмов, если действия на а также задаются гомоморфизмами а также , то представление тензорного произведения задается гомоморфизмом дано
- ,
где - тензорное произведение линейных отображений . [3]
Понятие тензорных произведений можно распространить на любое конечное число представлений. Если V - линейное представление группы G , то с указанным выше линейным действием тензорная алгебра является алгебраическим представлением группы G ; т. е. каждый элемент группы G действует как автоморфизм алгебры .
Представления алгебры Ли
Если а также являются представлениями алгебры Ли , то тензорное произведение этих представлений задается отображением дано [4]
- .
Мотивация для этого определения исходит из случая, когда а также происходят из представлений а также группы Ли . В этом случае простое вычисление показывает, что представление алгебры Ли, связанное сдается предыдущей формулой. [5]
Действие на линейных картах
Если а также являются представлениями группы , позволять обозначим пространство всех линейных отображений из к . потом можно дать структуру представления, определив
для всех . Теперь существует естественный изоморфизм
как векторные пространства; [2] этот изоморфизм векторных пространств фактически является изоморфизмом представлений. [6]
Тривиальное подпредставление состоит из G -линейных отображений ; т.е.
Позволять обозначим алгебру эндоморфизмов V и пусть A обозначает подалгебрусостоящий из симметричных тензоров. Основная теорема инвариантных теории состояний, является полупрост , когда характеристика основного поля равна нулю.
Теория Клебша – Гордана
Общая проблема
Тензорное произведение двух неприводимых представлений группы или алгебры Ли обычно неприводима. Поэтому представляет интерес попытка разложитьна несократимые части. Эта проблема декомпозиции известна как проблема Клебша – Гордана.
Случай SU (2)
Пример прототипа этой проблемы является случай группы вращений SO (3) -OR его двойной крышкой, в специальной унитарной группы SU (2) . Неприводимые представления SU (2) описываются параметром, возможные значения которого
(Размерность представления тогда .) Возьмем два параметра а также с участием . Тогда представление тензорного произведениязатем разлагается следующим образом: [7]
Рассмотрим, например, тензорное произведение четырехмерного представления и трехмерное представление . Представление тензорного произведения имеет размерность 12 и разлагается как
- ,
где представления в правой части имеют размерность 6, 4 и 2 соответственно. Мы можем резюмировать этот результат арифметически как.
Случай SU (3)
В случае группы SU (3) все неприводимые представления могут быть сгенерированы из стандартного трехмерного представления и его двойственного следующим образом. Чтобы сгенерировать представление с меткой, берется тензорное произведение копии типового представления и копии двойственного стандартного представления, а затем берет инвариантное подпространство, порожденное тензорным произведением векторов старшего веса. [8]
В отличие от ситуации для SU (2), в разложении Клебша – Гордана для SU (3) заданное неприводимое представление может встречаться более одного раза при разложении .
Тензорная мощность
Как и в случае с векторными пространствами, можно определить k- ю тензорную степень представления V как векторное пространство с действием, указанным выше.
Симметричный и чередующийся квадрат
Над полем нулевой характеристики симметричный и чередующийся квадраты являются подпредставлениями второй тензорной степени. Они могут быть использованы для определения показателя Фробениуса-Шура , который указывает , является ли данный неприводимый характер является реальным , сложным или кватернионно- . Они являются примерами функторов Шура . Они определяются следующим образом.
Пусть V - векторное пространство . Определим эндоморфизм (само-карту) Т из следующим образом:
Она является инволюция (это его собственное обратное), и поэтому является автоморфизм (само- изоморфизм ) из.
Определим два подмножества второго тензора мощности из V ,
Это симметричный квадрат V ,, и знакопеременный квадрат V ,, соответственно. [10] Симметричные и чередующиеся квадраты также известны как симметричная и антисимметричная части тензорного произведения. [11]
Характеристики
Вторая тензорная степень линейного представления V группы G разлагается как прямая сумма симметричных и чередующихся квадратов:
как представления. В частности, оба являются подпредставлениями второй тензорной степени. На языке модулей над групповым кольцом симметричный и знакопеременный квадраты имеют вид- подмодуль из. [12]
Если V имеет основу, то симметричный квадрат имеет базис и знакопеременный квадрат имеет основу . Соответственно,
- [13] [10]
Позволять быть характер из. Тогда мы можем вычислить характеры симметричных и чередующихся квадратов следующим образом: для всех g в G ,
- [14]
Симметричные и внешние силы
Как и в полилинейной алгебре , над полем нулевой характеристики в более общем случае можно определить k- ю симметрическую степень и k- я внешняя мощность , которые являются подпространствами k- й тензорной степени (подробнее об этой конструкции см. на этих страницах). Они также являются подпредставлениями, но более высокие тензорные степени больше не разлагаются как их прямая сумма.
Двойственность Шура-Вейля вычисляет неприводимые представления , возникающие в тензорных степеней представлений общей линейной группы . Именно как-модуль
где
- неприводимое представление симметрической группы соответствующий разделу из n (в порядке убывания),
- - образ симметризатора Юнга .
Отображение - функтор, называемый функтором Шура . Он обобщает конструкции симметричных и внешних степеней:
В частности, как G -модуль, вышеизложенное упрощается до
где . Кроме того, кратностьможет быть вычислен по формуле Фробениуса (или формуле длины крючка ). Например, возьмем. Тогда есть ровно три раздела: и, как выясняется, . Следовательно,
Тензорные произведения с участием функторов Шура
Позволять обозначим функтор Шура, определенный согласно разбиению. Тогда есть следующее разложение: [15]
где кратности даются правилом Литтлвуда – Ричардсона .
Учитывая конечномерен векторные пространства V , W , то функторы Шура S λ дают разложение
Левая часть может быть отождествлена с кольцом k [Hom ( V , W )] = k [ V * ⊗ W ] полиномиальных функций на Hom ( V , W ), поэтому приведенное выше также дает разложение k [Hom ( V , W )].
Представления тензорных продуктов как представления групп товаров
Пусть G , H - две группы и пусть а также - представления групп G и H соответственно. Тогда мы можем позволить прямой группе продуктов действовать в пространстве тензорного произведения по формуле
Даже если , мы все еще можем выполнить эту конструкцию, так что тензорное произведение двух представлений может, в качестве альтернативы, рассматриваться как представление а не представление . Поэтому важно выяснить, может ли тензорное произведение двух представлений рассматривается как представление или как представление .
В отличие от проблемы Клебша – Гордана, рассмотренной выше, тензорное произведение двух неприводимых представлений неприводимо, если рассматривать его как представление группы продуктов .
Смотрите также
- Двойное представление
- Эрмитовская взаимность
- Коэффициенты Клебша – Гордана
- Представление группы Ли
- Представление алгебры Ли
- Кронекер продукт
Заметки
- Перейти ↑ Serre 1977 , p. 8.
- ^ а б Фултон и Харрис 1991 , стр. 4.
- ^ Холл 2015 Раздел 4.3.2
- ^ Холл 2015 Определение 4,19
- ^ Холл 2015 Предложение 4.18
- ↑ Холл, 2015, с. 433–434.
- ^ Холл 2015 Теорема C.1
- ^ Холл 2015 Доказательство предложения 6.17
- ^ Точно, мы имеем, которая является билинейной и, следовательно, спускается к линейному отображению
- ^ а б Серр 1977 , стр. 9.
- ^ Джеймс 2001 , стр. 196.
- ^ Джеймс 2001 , Предложение 19.12.
- ^ Джеймс 2001 , Предложение 19.13.
- ^ Джеймс 2001 , Предложение 19.14.
- ^ Фултон – Харрис , § 6.1. сразу после Королла 6.6.
Рекомендации
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту 1153249 . OCLC 246650103 .
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
- Джеймс, Гордон Дуглас (2001). Представления и персонажи групп . Либек, Martin W . (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521003926. OCLC 52220683 .
- Клаудио Прочези (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Springer, ISBN 9780387260402 .
- Серр, Жан-Пьер (1977). Линейные представления конечных групп . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9. OCLC 2202385 .