В математике модуль — это обобщение понятия векторного пространства , в котором поле скаляров заменено кольцом . Понятие модуля обобщает также понятие абелевой группы , поскольку абелевы группы — это в точности модули над кольцом целых чисел .
Как и векторное пространство, модуль является аддитивной абелевой группой, а скалярное умножение является дистрибутивным над операцией сложения между элементами кольца или модуля и совместимо с кольцевым умножением.
Модули очень тесно связаны с теорией представлений групп . Они также являются одним из центральных понятий коммутативной алгебры и гомологической алгебры и широко используются в алгебраической геометрии и алгебраической топологии .
В векторном пространстве набор скаляров представляет собой поле и действует на векторы путем скалярного умножения с учетом определенных аксиом, таких как дистрибутивный закон . В модуле скаляры должны быть только кольцом , поэтому концепция модуля представляет собой значительное обобщение. В коммутативной алгебре и идеалы , и фактор-кольца являются модулями, поэтому многие аргументы об идеалах или фактор-кольцах могут быть объединены в один аргумент о модулях. В некоммутативной алгебре различие между левыми идеалами, идеалами и модулями становится более явным, хотя некоторые теоретико-кольцевые условия могут быть выражены либо для левых идеалов, либо для левых модулей.
Большая часть теории модулей состоит в распространении как можно большего количества желательных свойств векторных пространств на область модулей над « хорошим » кольцом, таким как область главных идеалов . Однако модули могут быть немного сложнее, чем векторные пространства; например, не все модули имеют базис , и даже те, которые имеют, свободные модули , не обязательно должны иметь уникальный ранг , если основное кольцо не удовлетворяет условию инвариантного базисного числа , в отличие от векторных пространств, которые всегда имеют (возможно, бесконечный) базис, мощность которого тогда единственна. (Два последних утверждения требуют аксиомы выборавообще, но не в случае конечномерных пространств или некоторых благопристойных бесконечномерных пространств, таких как Lp - пространства .)
Предположим, что R — кольцо , а 1 — его мультипликативная единица. Левый R - модуль M состоит из абелевой группы ( M , +) и операции · : R × M → M такой, что для всех r , s в R и x , y в M выполняется