Реальное представление

В математической области теории представлений вещественное представление обычно представляет собой представление в вещественном векторном пространстве U , но оно также может означать представление в комплексном векторном пространстве V с инвариантной вещественной структурой , т. Е. Антилинейное эквивариантное отображение

${\ displaystyle j \ двоеточие с V \ на V}$

что удовлетворяет

${\ displaystyle j ^ {2} = + 1.}$

Две точки зрения эквивалентны, потому что если U - вещественное векторное пространство, на которое действует группа G (скажем), то V = U ⊗ C - представление на комплексном векторном пространстве с антилинейным эквивариантным отображением, заданным комплексным сопряжением . И наоборот, если V такое комплексное представление, то U может быть восстановлен в качестве неподвижной точки множества из J (в собственном пространстве с собственным значением 1).

В физике , где представления часто рассматриваются конкретно в терминах матриц, реальное представление - это такое, в котором элементы матриц, представляющих элементы группы, являются действительными числами. Эти матрицы могут действовать как на действительные, так и на комплексные векторы-столбцы.

Вещественное представление в комплексном векторном пространстве изоморфно своему комплексно сопряженному представлению , но обратное неверно: представление, которое изоморфно своему комплексно сопряженному, но не действительное, называется псевдореальным представлением . Неприводимое псевдореальное представление V обязательно является кватернионным представлением : оно допускает инвариантную кватернионную структуру , т. Е. Антилинейное эквивариантное отображение

${\ displaystyle j \ двоеточие с V \ на V}$

что удовлетворяет

${\ displaystyle j ^ {2} = - 1.}$

Прямая сумма реальных и кватернионных представления не является ни реальной , ни кватернионно- в целом.

Представление в комплексном векторном пространстве также может быть изоморфно двойственному представлению его комплексно сопряженного. Это происходит именно тогда, когда представление допускает невырожденную инвариантную полуторалинейную форму , например эрмитову форму . Такие представления иногда называют сложными или (псевдо) эрмитовыми.

Индикатор Фробениуса-Шура [ править ]

Критерий (для компактных групп G ) реальности неприводимых представлений в терминах теории характеров основан на индикаторе Фробениуса-Шура, определяемом формулой

${\ Displaystyle \ int _ {г \ в G} \ чи (г ^ {2}) \, д \ му}$

где χ - характер представления, а μ - мера Хаара с μ ( G ) = 1. Для конечной группы это определяется выражением

${\ displaystyle {1 \ over | G |} \ sum _ {g \ in G} \ chi (g ^ {2}).}$

Индикатор может принимать значения 1, 0 или -1. Если показатель равен 1, то представление реальное. Если индикатор равен нулю, представление является комплексным (эрмитовым), ^[1], а если индикатор равен -1, представление является кватернионным.

Примеры [ править ]

Все представления симметрических групп действительны (и фактически рациональны), поскольку мы можем построить полный набор неприводимых представлений, используя таблицы Юнга .

Все представления групп вращений на нечетномерных пространствах действительны, поскольку все они появляются как подпредставления тензорных произведений копий фундаментального представления, которое является действительным.

Другими примерами реальных представлений являются спинорные представления спинорных групп в размерностях 8 k −1, 8 k и 8 k +1 для k = 1, 2, 3 ... Эта периодичность по модулю 8 известна в математике не только в теория алгебр Клиффорда , но также в алгебраической топологии , в KO-теории ; см. представление вращения .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 ..
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9.