Кватернионное представление

В математической области теории представлений кватернионное представление - это представление в комплексном векторном пространстве V с инвариантной кватернионной структурой , т. Е. Антилинейным эквивариантным отображением

${\ displaystyle j \ двоеточие с V \ на V}$

что удовлетворяет

${\ displaystyle j ^ {2} = - 1.}$

Вместе с мнимой единицей я и антилинейной картой к  : =  Ij , J оснащает V со структурой в кватернионном векторном пространстве (т.е., V становится модулем над алгеброй с делением на кватернионах ). С этой точки зрения кватернионное представление группы G - это гомоморфизм группы φ : G → GL ( V ,  H ), группа обратимых кватернионно-линейных преобразований группы V. В частности, кватернионное матричное представление g назначает квадратную матрицу кватернионов ρ (g) каждому элементу g группы G , так что ρ (e) является единичной матрицей и

${\ Displaystyle \ rho (gh) = \ rho (g) \ rho (h) {\ text {для всех}} g, h \ in G.}$

Аналогичным образом можно определить кватернионные представления ассоциативных алгебр и алгебр Ли .

Свойства и связанные понятия [ править ]

Если V - унитарное представление, а кватернионная структура j - унитарный оператор, то V допускает инвариантную комплексную симплектическую форму ω и, следовательно, является симплектическим представлением . Это всегда верно, если V - представление компактной группы (например, конечной группы ), и в этом случае кватернионные представления также известны как симплектические представления. Такие представления среди неприводимых представлений можно выделить с помощью индикатора Фробениуса-Шура .

Кватернионные представления похожи на реальные представления в том, что они изоморфны своему комплексно сопряженному представлению . Здесь под вещественным представлением понимается комплексное представление с инвариантной вещественной структурой , т. Е. Антилинейное эквивариантное отображение

${\ displaystyle j \ двоеточие с V \ на V}$

что удовлетворяет

${\ displaystyle j ^ {2} = + 1.}$

Представление, которое изоморфно своему комплексно сопряженному, но не является действительным представлением, иногда называют псевдореальным представлением .

Реальные и псевдореальные представления группы G можно понять, рассматривая их как представления вещественной групповой алгебры R [ G ]. Такое представление будет прямой суммой центральных простых R -алгебр, которые, согласно теореме Артина-Веддерберна , должны быть матричными алгебрами над действительными числами или кватернионами. Таким образом, действительное или псевдореальное представление представляет собой прямую сумму неприводимых вещественных представлений и неприводимых кватернионных представлений. Это реально, если в разложении не встречаются кватернионные представления.

Примеры [ править ]

Типичный пример включает кватернионное представление вращений в трех измерениях. Каждое (собственное) вращение представлено кватернионом с единичной нормой . Существует очевидное одномерное кватернионное векторное пространство, а именно пространство H самих кватернионов при левом умножении. Ограничивая это единичными кватернионами, мы получаем кватернионное представление спинорной группы Spin (3).

Это представление ρ : Spin (3) → GL (1, H ) также оказывается унитарным кватернионным представлением, поскольку

${\ Displaystyle \ rho (g) ^ {\ dagger} \ rho (g) = \ mathbf {1}}$

для всех g в Spin (3).

Другой унитарный пример - спиновое представление Spin (5). Примером неунитарного кватернионного представления может быть двумерное неприводимое представление Spin (5,1).

В более общем смысле, спиновые представления Spin ( d ) являются кватернионными, когда d равно 3 + 8 k , 4 + 8 k и 5 + 8 k измерениям, где k - целое число. В физике часто встречаются спиноры Spin ( d , 1). Эти представления имеют тот же тип реальной или кватернионной структуры, что и спиноры Spin ( d  - 1).

Среди компактных вещественных форм простых групп Ли неприводимые кватернионные представления существуют только для групп Ли типа A _{4 k +1} , B _{4 k +1} , B _{4 k +2} , C _k , D _{4 k +2} и Е ₇ .

Ссылки [ править ]

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 ..
• Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9.

См. Также [ править ]

• Симплектическое векторное пространство