Реальная структура

Было предложено объединить эту статью со структурой реальности . ( Обсудить ) Предлагается с ноября 2020 года.

В математике , реальная структура на комплексном векторном пространстве является способом разложить комплексное векторное пространство в прямой сумме два реальных векторных пространств. Прототипом такой структуры является поле комплексных чисел самого по себе, рассматривается как комплексное векторное пространство над самими собой и с сопряжением карты , с , что дает «каноническую» реальную структуру на , то есть . ${\ displaystyle \ sigma: {\ mathbb {C}} \ to {\ mathbb {C}} \,}$${\ displaystyle \ sigma (z) = {\ bar {z}}}$${\ Displaystyle {\ mathbb {C}} \,}$${\ Displaystyle {\ mathbb {C}} = {\ mathbb {R}} \ oplus я {\ mathbb {R}} \,}$

Карта сопряжения антилинейна : и .${\ Displaystyle \ сигма (\ лямбда г) = {\ бар {\ лямбда}} \ сигма (г) \,}$${\ Displaystyle \ sigma (z_ {1} + z_ {2}) = \ sigma (z_ {1}) + \ sigma (z_ {2}) \,}$

Векторное пространство [ править ]

Реальная структура на комплексном векторном пространстве V является антилинейный инволюции . Реальная структура определяет реальное подпространство , его фиксированное геометрическое место и естественное отображение${\ displaystyle \ sigma: V \ to V}$${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}} \ подмножество V}$

${\ displaystyle V _ {\ mathbb {R}} \ otimes _ {\ mathbb {R}} {\ mathbb {C}} \ to V}$

является изоморфизмом. И наоборот, любое векторное пространство, которое является комплексификацией реального векторного пространства, имеет естественную вещественную структуру.

Прежде всего следует отметить, что каждое комплексное пространство V имеет реализацию, полученную путем взятия тех же векторов, что и в исходном наборе, и ограничения скаляров действительностью. Если и то векторы и являются линейно независимыми в овеществлении V . Следовательно:${\ Displaystyle т \ в В \,}$${\ Displaystyle т \ neq 0}$${\ Displaystyle т \,}$${\ displaystyle it \,}$

${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {R}} V = 2 \ dim _ {\ mathbb {C}} V}$

Естественно, можно было бы представить V как прямую сумму двух вещественных векторных пространств, «действительной и мнимой частей V ». Там нет никакого канонического способа сделать это: такое расщеплением является дополнительной вещественной структурой в V . Его можно ввести следующим образом. ^[1] Пусть быть антилинейным отображение таким образом, что , то есть антилинейные инволюции комплексного пространства V . Можно написать любой вектор , где и .${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$${\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}$${\displaystyle v\in V\,}$${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$

Таким образом, получается прямая сумма векторных пространств, где:${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}$и .${\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}$

Оба множества и являются действительными векторными пространствами . Линейное отображение , где , - изоморфизм вещественных векторных пространств, откуда:${\displaystyle V^{+}\,}$${\displaystyle V^{-}\,}$${\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}$${\displaystyle K(t)=it\,}$

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}$.

Первый множитель также обозначается и остается неизменным через , то есть . Второй фактор обычно обозначается как . Прямая сумма теперь читается как:${\displaystyle V^{+}\,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle V^{-}\,}$${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$,

т.е. как прямая сумма «реальной» и «мнимой» часть V . Эта конструкция сильно зависит от выбора в антилинейного инволюции комплексного векторного пространства V . Комплексификацией вещественного векторного пространства , т.е. допускает естественную вещественную структуру и , следовательно , канонически изоморфно прямой сумме двух экземпляров :${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$ ${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$.

Он следует естественному линейному изоморфизму между комплексными векторными пространствами с заданной действительной структурой.${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}$

Реальная структура на комплексный векторном пространстве V , то есть антилинейные инволюции , может быть эквивалентно описано в терминах линейной карты от векторного пространства на комплексно сопряженное векторном пространство , определяемом${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}$${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle {\bar {V}}\,}$

${\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}$. ^[2]

Алгебраическое разнообразие [ править ]

Для алгебраического многообразия , определенного над подполом из действительных чисел , реальная структура является комплексным сопряжением , действующим на точках многообразия в комплексных проективном или аффинном пространстве. Его фиксированное геометрическое место - это пространство вещественных точек многообразия (которое может быть пустым).

Схема [ править ]

Для схемы , определенной над подполом действительных чисел, комплексное сопряжение естественным образом член группы Галуа в алгебраическом замыкании на basefield. Реальная структура - это действие Галуа этого сопряжения на расширении схемы над алгебраическим замыканием базового поля. Реальные точки - это точки, поле вычетов которых фиксировано (которое может быть пустым).

См. Также [ править ]

• Антилинейная карта
• Линейная карта
• Каноническая карта комплексного сопряжения
• Комплексное сопряжение
• Комплексно сопряженное векторное пространство
• Комплексификация
• Линейная сложная структура
• Полуторалинейная форма
• Спинорное исчисление

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хорн и Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press, 1985. ISBN  0-521-38632-2 . (антилинейные карты обсуждаются в разделе 4.6).
• Будинич П., Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (антилинейные карты обсуждаются в разделе 3.3).