Структура реальности

Было предложено объединить эту статью со структурой Real . ( Обсудить ) Предлагается с ноября 2020 года.

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А реальность структура на комплексном векторном пространстве V является разложение V на два вещественных подпространств, называемых реальные и мнимые части из V :

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

Здесь V _R - действительное подпространство V , то есть подпространство V, рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами . Если V имеет комплексную размерность n (действительная размерность 2 n ), то V _R должна иметь действительную размерность n .

Стандартная структура реальности на векторном пространстве является разложение${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}$

При наличии структуры реальности каждый вектор в V имеет действительную и мнимую части, каждая из которых является вектором в V _R :

${\displaystyle v=\operatorname {Re} \{v\}+i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

В этом случае комплексное сопряжение вектора v определяется следующим образом:

${\displaystyle {\overline {v}}=\operatorname {Re} \{v\}-i\,\operatorname {Im} \{v\}}$

Это отображение является антилинейной инволюцией , т. Е.${\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}$

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}$

И наоборот, учитывая антилинейную инволюцию на комплексном векторном пространстве V , можно определить структуру реальности на V следующим образом. Позволять${\displaystyle v\mapsto c(v)}$

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}$

и определить

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

потом

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

На самом деле это разложение V как собственных подпространств действительного линейного оператора c . Собственные значения c равны +1 и -1 с собственными подпространствами V _R и V _R соответственно. Как правило, оператор с самой, а не разложение подпространством это влечет за собой, упоминается как структура реальности на V .${\displaystyle i}$ 

См. Также [ править ]

• Линейная сложная структура
• Комплексификация

Ссылки [ править ]

• Пенроуз, Роджер ; Риндлер, Вольфганг (1986), Спиноры и пространство-время. Vol. 2 , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-25267-6, Руководство по ремонту  0838301