В математике , А комплексная структура на действительном векторном пространстве V является автоморфизм из V , что квадраты до минус идентичности , -I . Такая структура на V позволяет определять умножение на комплексные скаляры каноническим способом, чтобы рассматривать V как комплексное векторное пространство.
Каждое комплексное векторное пространство может быть оснащено совместимой сложной структурой, однако в целом канонической такой структуры не существует. Сложные структуры имеют приложения в теории представлений, а также в сложной геометрии, где они играют существенную роль в определении почти сложных многообразий , в отличие от комплексных многообразий . Термин «сложная структура» часто относится к этой структуре на коллекторах; когда он вместо этого относится к структуре в векторных пространствах, его можно назвать линейной сложной структурой .
Определение и свойства [ править ]
Комплексная структура на действительном векторном пространстве V является реальным линейное преобразование
такой, что
Здесь J 2 означает J состоит сам с собой и Id V является тождественным отображением на V . То есть эффект от двойного применения J такой же, как от умножения на -1 . Это напоминает умножение на мнимую единицу, я . Сложная структура позволяет наделить V структурой сложного векторного пространства . Комплексное скалярное умножение можно определить как
для всех действительных чисел х , у и все векторы V в V . Можно проверить , что это, по сути, дают V структуру комплексного векторного пространства , которое мы обозначим V J .
Переход в другом направлении, если один начинается с комплексным векторным пространством W , то можно определить комплексную структуру на нижележащем реальном пространстве, определяя JW = IW для всех ш ∈ W .
Более формально, линейная комплексная структура на вещественном векторном пространстве является алгебра представления о комплексных числах C , мыслятся как ассоциативная алгебра над вещественными числами . Эта алгебра конкретно реализуется как
что соответствует i 2 = −1 . Тогда представление C - это вещественное векторное пространство V вместе с действием C на V (отображение C → End ( V ) ). Конкретно, это просто действие I , так как это порождает алгебру, и оператор , представляющий I (образ I в End ( V ) ) точно J .
Если V J имеет комплексную размерность n, то V должна иметь действительную размерность 2 n . То есть конечномерное пространство V допускает сложную структуру, только если оно четномерно. Нетрудно увидеть, что каждое четномерное векторное пространство допускает сложную структуру. Можно определить J на пары е , е из базисных векторов по Je = F и Jf = - е , а затем распространяются по линейности на все V . Если ( v 1 ,…, vп )является основой для комплексного векторного пространства V J затем( V 1 , Jv 1 , ..., V н , Jv п )является основой для лежащегооснове реального пространства V .
Вещественное линейное преобразование A : V → V является комплексным линейным преобразованием соответствующего комплексного пространства V J тогда и только тогда, когда A коммутирует с J , т. Е. Тогда и только тогда, когда
Аналогично, вещественное подпространство U в V является комплексным подпространством в V J тогда и только тогда, когда J сохраняет U , т. Е. Тогда и только тогда, когда
Примеры [ править ]
C n [ править ]
Фундаментальный пример линейного комплексного структуры является структура на R 2 н исходя из комплексной структуры на C н . То есть комплексное n -мерное пространство C n также является реальным 2 n -мерным пространством - с использованием того же векторного сложения и действительного скалярного умножения - в то время как умножение на комплексное число i - это не только комплексное линейное преобразование пространства, как считалось как комплексное векторное пространство, но также и реальное линейное преобразование пространства, рассматриваемое как реальное векторное пространство. Конкретно это потому, что скалярное умножение на iкоммутирует со скалярным умножением на действительные числа и распределяет по векторному сложению. Как комплексная матрица размера n × n , это просто скалярная матрица с i на диагонали. Соответствующие реальным 2 п × 2 п матрица обозначается J .
Учитывая основу для комплексного пространства, это множество, вместе с этими векторами , умноженных на I, а именно образует основу для реального пространства. Существует два естественных способа упорядочить этот базис, в зависимости от того, записывается ли тензорное произведение как или вместо него
Если упорядочить базис как, тогда матрица для J примет блочно-диагональную форму (нижние индексы добавлены для указания размера):
Этот порядок имеет то преимущество, что он учитывает прямые суммы сложных векторных пространств, что означает, что здесь основа такая же, как и для
С другой стороны, если упорядочить базис так, то матрица для J является блочно-антидиагональной:
Этот порядок более естественен, если рассматривать сложное пространство как прямую сумму реальных пространств, как обсуждается ниже.
Данные реального векторного пространства и матрицы J точно такие же, как данные комплексного векторного пространства, поскольку матрица J позволяет определять комплексное умножение. На уровне алгебр Ли и групп Ли это соответствует включению gl ( n , C ) в gl (2 n , R ) (алгебры Ли - матрицы, не обязательно обратимые) и GL ( n , C ) в GL ( 2 п , Р ):
- gl ( n , C ) <gl ( 2n , R ) и GL ( n , C ) <GL ( 2n , R ).
Включение соответствует забыванию комплексной структуры (и сохранению только действительного), в то время как подгруппа GL ( n , C ) может быть охарактеризована (задана в уравнениях) как матрицы, которые коммутируют с J:
- GL ( n , C ) =
Соответствующее утверждение об алгебрах Ли состоит в том, что подалгебра gl ( n , C ) комплексных матриц - это те, у которых скобка Ли с J равна нулю, то есть, другими словами, как ядро отображения скобок с J,
Обратите внимание , что определяющие уравнения для этих утверждений являются такими же, как и та же, что то же самое , как если бы смысл скобки Ли исчезающей менее немедленным геометрически чем смысл коммутирующих.
Прямая сумма [ править ]
Если V любое вещественное векторное пространство существует каноническая комплексная структура на прямую сумму V ⊕ V задается
Блок - матрица , форма J является
где тождественное отображение на V . Это соответствует сложной структуре на тензорном произведении
Совместимость с другими структурами [ править ]
Если B - билинейная форма на V, то мы говорим, что J сохраняет B, если
для всех ¯u , V ∈ V . Эквивалентная характеристика является то , что J является косым сопряженный по отношению к B :
Если g - скалярное произведение на V, то J сохраняет g тогда и только тогда, когда J - ортогональное преобразование . Точно так же, J сохраняет невырожденную , кососимметрического форма Q , тогда и только тогда , когда J представляет собой симплектическое преобразование (то есть, если со ( Ju , Jv ) = ω ( ¯u , v )) . Для симплектических форм ω обычно добавляется ограничение совместимости между Jи ω , а именно
для всех ненулевых U в V . Если это условие выполняется, то говорят, что J укрощает ω .
Для симплектической формы ω и линейной комплексной структуры J можно определить ассоциированную симметричную билинейную форму g J на V J
- .
Поскольку симплектическая форма невырождена, ассоциированная билинейная форма также. Более того, ассоциированная форма сохраняется J тогда и только тогда, когда симплектическая форма есть, и если ω приручена J, то ассоциированная форма положительно определена . Таким образом, в этом случае ассоциированная форма является эрмитовой формой, а V J - внутренним пространством произведения .
Отношение к сложностям [ править ]
Для любого вещественного векторного пространства V мы можем определить ее комплексификацию путем расширения скаляров :
Это комплексное векторное пространство, комплексная размерность которого равна реальному размеру V . Он имеет каноническое комплексное сопряжение, определяемое формулой
Если J - комплексная структура на V , мы можем расширить J по линейности до V C :
Так как С является алгебраически замкнутым , J гарантированно имеет собственные значения , которые удовлетворяют условию Х 2 = -1, а именно λ = ± я . Таким образом, мы можем написать
где V + и V - являются собственные подпространства в + I и - I , соответственно. Комплексное сопряжение меняет местами V + и V - . Отображения проекций на V ± собственные подпространства имеют вид
Так что
Существует естественный комплекс линейный изоморфизм между V J и V + , так что эти векторные пространства можно считать то же самое, в то время как V - можно рассматривать как комплексно сопряженное с V J .
Обратите внимание, что если V J имеет комплексную размерность n, то и V +, и V - имеют комплексную размерность n, а V C имеет комплексную размерность 2 n .
Абстрактно, если начать с комплексного векторного пространства W и взять комплексификацию лежащего в основе реального пространства, то получится пространство, изоморфное прямой сумме W и его сопряженного:
[ править ]
Пусть V вещественное векторное пространство с комплексной структурой J . Сопряженное пространство V * имеет естественную комплексную структуру J * задается двумя (или транспонирование ) из J . Таким образом, комплексификация сопряженного пространства ( V *) C имеет естественное разложение
в собственные подпространства ± i J *. При естественном отождествлении ( V *) C с ( V C ) * можно охарактеризовать ( V *) + как те комплексные линейные функционалы, которые обращаются в нуль на V - . Аналогично ( V *) - состоит из тех комплексных линейных функционалов, которые обращаются в нуль на V + .
(Комплексные) тензорные , симметрические и внешние алгебры над V C также допускают разложения. Внешняя алгебра, пожалуй, самое важное применение этого разложения. В общем случае, если векторное пространство U допускает разложение U = S ⊕ T, то внешние степени U можно разложить следующим образом:
Следовательно, комплексная структура J на V индуцирует разложение
куда
Все внешние силы взяты на комплексные числа. Итак, если V J имеет комплексную размерность n (действительная размерность 2 n ), то
Размеры складываются правильно благодаря личности Вандермонда .
Пространство ( p , q ) -форм Λ p , q V J * - это пространство (комплексных) полилинейных форм на V C, которые обращаются в нуль на однородных элементах, если p не из V +, а q из V - . Также можно рассматривать Λ p , q V J * как пространство действительных полилинейных отображений из V J в C, которые являются комплексными линейными в p- членах и сопряженно-линейнымив q единицах.
См. Комплексную дифференциальную форму и почти комплексное многообразие для приложений этих идей.
См. Также [ править ]
- Почти комплексное многообразие
- Комплексное многообразие
- Комплексная дифференциальная форма
- Комплексно сопряженное векторное пространство
- Эрмитова структура
- Реальная структура
Ссылки [ править ]
- Кобаяси С. и Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии , John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7 . (сложные структуры обсуждаются в томе II, главе IX, разделе 1).
- Будинич, П. и Траутман, А. Spinorial Chessboard , Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (сложные конструкции обсуждаются в разделе 3.1).
- Гольдберг С.И., Кривизна и гомология , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X . (сложные структуры и почти комплексные многообразия обсуждаются в разделе 5.2).