Обобщенная сложная структура

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В области математики, известной как дифференциальная геометрия , обобщенная комплексная структура - это свойство дифференциального многообразия, которое включает в себя в качестве частных случаев комплексную структуру и симплектическую структуру . Обобщенные сложные структуры были введены Найджелом Хитчином в 2002 году и в дальнейшем развиты его учениками Марко Гуальтьери и Джилом Кавальканти .

Эти структуры впервые возникли в программе Хитчина по описанию геометрических структур через функционалы от дифференциальных форм , связи, которая легла в основу предложения Роберта Дейкграфа , Сергея Гукова , Эндрю Нейтцке и Кумруна Вафы 2004 года о том, что теории топологических струн являются частными случаями топологической M -теория . Сегодня обобщенные сложные структуры также играют ведущую роль в физической теории струн в качестве суперсимметричных потоковых компактификаций., которые связывают 10-мерную физику с 4-мерными мирами, такими как наш, требуют (возможно, искаженных) обобщенных сложных структур.

Определение [ править ]

Обобщенное касательное расслоение [ править ]

Рассмотрим ' N -многообразием M . Касательное расслоение на М , которую будет обозначать Т , является векторным расслоением над M , слои состоят из всех касательных векторов к М . Секция из Т является векторным полем на M . Кокасательное расслоение на М , будет обозначать Т ^* , является векторным расслоением над M , чьи секции один-форма на М .

В комплексной геометрии рассматриваются структуры на касательных расслоениях многообразий. В симплектической геометрии один вместо этого заинтересовано в внешних степенях кокасательного расслоения. Обобщенная геометрия объединяет эти два поля, рассматривая сечения обобщенного касательного расслоения , которое представляет собой прямую сумму касательного и кокасательного расслоений, которые являются формальными суммами векторного поля и одной формы.${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$

Волокна снабжены натуральным внутренним продуктом с подписью ( N ,  N ). Если X и Y - векторные поля, а ξ и η - одноформы, то скалярное произведение X + ξ и Y + η определяется как

${\ displaystyle \ langle X + \ xi, Y + \ eta \ rangle = {\ frac {1} {2}} (\ xi (Y) + \ eta (X)).}$

Обобщен почти комплексная структура является лишь почти комплексная структура обобщенного касательного расслоения, сохраняющий естественный внутренний продукт:

${\ displaystyle {\ mathcal {J}}: \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*} \ to \ mathbf {T} \ oplus \ mathbf {T} ^ {*}}$

такой, что и ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} ^ {2} = - {\ rm {Id}},}$

${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {J}} (X + \ xi), {\ mathcal {J}} (Y + \ eta) \ rangle = \ langle X + \ xi, Y + \ eta \ rangle.}$

Как и в случае обычной почти комплексной структуры , обобщенная почти комплексная структура однозначно определяется своим - собственным расслоением , т. Е. Подрасслоением комплексифицированного обобщенного касательного расслоения, заданного формулой${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}$

Такое подрасслоение L удовлетворяет следующим свойствам:

(i) пересечение с его комплексно сопряженным элементом является нулевым сечением :;${\displaystyle L\cap {\overline {L}}=0}$

(II) L является максимальным изотропным , то есть комплекс его ранга равна N , и для всех${\displaystyle \langle \ell ,\ell '\rangle =0}$${\displaystyle \ell ,\ell '\in L.}$

Наоборот, любое подрасслоение L, удовлетворяющее (i), (ii), является -собственным расслоением единственной обобщенной почти комплексной структуры, так что свойства (i), (ii) можно рассматривать как альтернативное определение обобщенной почти комплексной структуры.${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

Кронштейн Куранта [ править ]

В обычной сложной геометрии, почти комплексная структура является интегрируемой с комплексной структурой тогда и только тогда , когда скобка Ли два секций голоморфного подрасслоения еще один раздел голоморфного подрасслоения.

В обобщенной комплексной геометрии человека интересуют не векторные поля, а формальные суммы векторных полей и одноформ. Своеобразная скобка Ли для таких формальных сумм была введена в 1990 г. и называется скобкой Куранта , определяемой формулой

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(i(X)\eta -i(Y)\xi )}$

где - производная Ли вдоль векторного поля X , d - внешняя производная, а i - внутреннее произведение .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

Определение [ править ]

Обобщенная комплексная структура представляет собой обобщенную почти комплексную структуру таким образом, что пространство гладких сечений L замкнуто относительно Курантовского кронштейна.

Максимальные изотропные подгруппы [ править ]

Классификация [ править ]

Существует взаимно-однозначное соответствие между максимальным изотропным подрасслоением из и пара , где Е представляет собой подрасслоение Т и является 2-формой. Это соответствие прямо распространяется на сложный случай.${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$

По паре можно построить максимально изотропное подрасслоение из следующим образом . Элементами подрасслоения являются формальные суммы, где векторное поле X является сечением E, а одна-форма ξ, ограниченная двойственным пространством , равна одно-форме${\displaystyle (\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$ ${\displaystyle X+\xi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$${\displaystyle \varepsilon (X).}$

Для того, чтобы увидеть , что является изотропным, обратите внимание , что если Y является раздел Е и ограничивается является то , как часть ортогональна аннулирует Y . Таким образом, если и являются разделами тогда${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$${\displaystyle \varepsilon (X)}$${\displaystyle \xi (Y)=\varepsilon (X,Y),}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mathbf {E} ^{*}}$${\displaystyle X+\xi }$${\displaystyle Y+\eta }$${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\varepsilon (Y,X)+\varepsilon (X,Y))=0}$

и поэтому изотропен. Кроме того, является максимальным , потому что есть (комплексные) размеры для выбора и ничем не ограничены на комплементе из который имеет (комплексные) размерности Таким образом, общее (комплекс) размерность в п . Гуальтьери доказал, что все максимальные изотропные подрасслоения имеют форму для некоторых и${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \dim(\mathbf {E} )}$${\displaystyle \mathbf {E} ,}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbf {E} ^{*},}$${\displaystyle n-\dim(\mathbf {E} ).}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \varepsilon .}$

Тип [ редактировать ]

Тип максимального изотропного подрасслоении реальный размер подрасслоении уничтожающая E . Эквивалентно это 2 Н минус реальный размер проекции на на касательное расслоение Т . Другими словами, типом максимального изотропного подрасслоения является коразмерность его проекции на касательное расслоение. В сложном случае используется сложное измерение, и тип иногда называют сложным типом . Хотя тип подгруппы в принципе может быть любым целым числом от 0 до 2 N , обобщенные почти сложные структуры не могут иметь тип больше N${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$${\displaystyle L(\mathbf {E} ,\varepsilon )}$ потому что сумма подрасслоения и его комплексно сопряженного элемента должна быть ${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

Типа максимального изотропного подрасслоения является инвариантным при диффеоморфизмах , а также под сдвигами B-поля , которые являются изометриями из формы${\displaystyle \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}$

${\displaystyle X+\xi \longrightarrow X+\xi +i_{X}B}$

где B - произвольная замкнутая 2-форма, называемая B-полем в литературе по теории струн .

Тип обобщенной почти сложной структуры, как правило, непостоянен, он может переходить на любое четное число . Однако он полунепрерывен сверху , что означает, что каждая точка имеет открытую окрестность, в которой тип не увеличивается. На практике это означает, что на подмногообразиях положительной коразмерности встречаются подмножества большего типа, чем объемлющий .

Реальный индекс [ править ]

Реальный показатель г максимального изотропного подпространства L является комплексной размерностью пересечения с L с комплексно сопряженным. Максимальное изотропное подпространство в является обобщенной почти комплексной структурой тогда и только тогда, когда r = 0.${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Канонический комплект [ править ]

Как и в случае с обычной сложной геометрией, существует соответствие между обобщенными почти сложными структурами и сложными линейными расслоениями . Комплексное линейное расслоение, соответствующее конкретной обобщенной почти комплексной структуре, часто называют каноническим расслоением , поскольку оно обобщает каноническое расслоение в обычном случае. Иногда его также называют чистым спинорным пучком , поскольку его участки являются чистыми спинорами .

Обобщенные почти сложные структуры [ править ]

Каноническое расслоение является один комплекс одномерного подрасслоения расслоения комплексных дифференциальных форм на М . Напомним, что гамма-матрицы определяют изоморфизм между дифференциальными формами и спинорами. В частности, четные и нечетные формы отображаются в две киральности спиноров Вейля . Векторы действуют на дифференциальные формы, создаваемые продуктом интерьера. Единые формы действуют на формы, заданные продуктом клина. Таким образом, секции пучка действуют на дифференциальные формы. Это действие является представлением действия алгебры Клиффорда на спинорах.${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Спинор называется чистым спинором, если он аннигилирован половиной набора образующих алгебры Клиффорда. Спиноры разделы нашего расслоения и образующих алгебры Клиффорд являются волокном нашего другого пучка Таким образом, данная чистая спинор аннулируемого половинной размерности подрасслоения Е в Таких подрасслоений всегда изотропны, поэтому определить почти комплексную структуру одного сусло только наложить, что сумма E и его комплексно сопряженного элемента равна всем. Это верно всякий раз, когда произведение клина чистого спинора и его комплексно сопряженного элемента содержит компонент верхней размерности. Такие чистые спиноры определяют обобщенно-почти сложные структуры.${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} ,}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

Учитывая обобщенную почти комплексную структуру, можно также определить чистый спинор с точностью до умножения на произвольную комплексную функцию . Эти выборы чистых спиноров определяются как сечения канонического расслоения.

Интегрируемость и другие структуры [ править ]

Если чистый спинор, который определяет конкретную сложную структуру, является замкнутым , или, в более общем смысле, если его внешняя производная равна действию гамма-матрицы на себя, то почти комплексная структура интегрируема, и поэтому такие чистые спиноры соответствуют обобщенным комплексным структурам.

Если дополнительно наложить, что каноническое расслоение голоморфно тривиально, имея в виду, что это глобальные сечения, которые являются замкнутыми формами, то оно определяет обобщенную структуру Калаби-Яу, а M называется обобщенным многообразием Калаби-Яу .

Местная классификация [ править ]

Канонический комплект [ править ]

Локально все чистые спиноры могут быть записаны в одной и той же форме, в зависимости от целого числа k , B-полевой 2-формы B , невырожденной симплектической формы ω и k-формы Ω. В локальной окрестности любой точки чистый спинор Φ, порождающий каноническое расслоение, всегда можно представить в виде

${\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }$

где Ω разложимо как клиновидное произведение одноформ.

Обычная точка [ править ]

Определим подрасслоение E комплексного касательного расслоения как проекцию голоморфного подрасслоения L из в. В определении обобщенной почти комплексной структуры мы наложили, что пересечение L и его сопряженного содержит только начало координат, иначе они не смогли бы охватить всю совокупность Однако пересечение их проекций не обязательно должно быть тривиальным. Обычно это пересечение имеет вид${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbf {T} \otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$

${\displaystyle E\cap {\overline {E}}=\Delta \otimes \mathbb {C} }$

для некоторого подрасслоения Δ. Точка, имеющая открытую окрестность, в которой размерность слоев Δ постоянна, называется регулярной точкой .

Теорема Дарбу [ править ]

Каждая регулярная точка в обобщенном комплексном многообразии имеет открытую окрестность , которая, после того, как диффеоморфизм и сдвиг B-поле, имеет ту же самую обобщенную сложную структуру , как декартово произведение из комплексного векторного пространства и стандартное симплектического пространство со стандартной симплектической формой , которая представляет собой прямую сумму двух недиагональных матриц с элементами 1 и −1.${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n-2k}}$

Локальная голоморфность [ править ]

Вблизи нерегулярных точек приведенная выше классификационная теорема неприменима. Однако в любой точке обобщенное комплексное многообразие с точностью до диффеоморфизма и B-поля является произведением симплектического многообразия на обобщенное комплексное многообразие, которое имеет комплексный тип в этой точке, во многом подобно теореме Вайнштейна для локальной структуры Пуассона. коллекторы . Остается вопрос о локальной структуре: как выглядит обобщенная сложная структура около точки сложного типа? Фактически, он будет индуцирован голоморфной пуассоновой структурой .

Примеры [ править ]

Комплексные многообразия [ править ]

Пространство комплексных дифференциальных форм имеет операцию комплексного сопряжения, задаваемую комплексным сопряжением в. Это позволяет определять голоморфные и антиголоморфные одно-формы и ( m , n ) -формы, которые являются однородными многочленами от этих одноформ с m голоморфными множителями и n антиголоморфные факторы. В частности, все ( n , 0) -формы связаны локально посредством умножения на комплексную функцию и, таким образом, образуют комплексное линейное расслоение.${\displaystyle \mathbf {\Lambda } ^{*}\mathbf {T} \otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

( n , 0) -формы являются чистыми спинорами, поскольку они аннулируются антиголоморфными касательными векторами и голоморфными одноформами. Таким образом, это линейное расслоение можно использовать как каноническое расслоение для определения обобщенной сложной структуры. Ограничивая аннулятор от комплексного касательного расслоения, мы получаем подпространство антиголоморфных векторных полей. Следовательно, эта обобщенная комплексная структура на определяет обычную комплексную структуру на касательном расслоении.${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

Как только половина базиса векторных полей голоморфна, эти сложные структуры типа N . Фактически комплексные многообразия и многообразия, полученные умножением чистого спинорного расслоения, определяющего комплексное многообразие, на комплексную -замкнутую (2,0) -форму, являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа N.${\displaystyle \partial }$

Симплектические многообразия [ править ]

Чистое спинорное расслоение, порожденное

${\displaystyle \phi =e^{i\omega }}$

для невырожденной двухформы ω задает симплектическую структуру на касательном пространстве. Таким образом, симплектические многообразия также являются обобщенными комплексными многообразиями.

Вышеупомянутый чистый спинор определен глобально, поэтому каноническое расслоение тривиально. Это означает, что симплектические многообразия - это не только обобщенные комплексные многообразия, но и обобщенные многообразия Калаби-Яу.

Чистый спинор связан с чистым спинором, который представляет собой просто число, посредством мнимого сдвига B-поля, который является сдвигом кэлеровой формы . Следовательно, эти обобщенные комплексные структуры того же типа, что и соответствующие скалярному чистому спинору. Скаляр аннулируется всем касательным пространством, поэтому эти структуры имеют тип 0 .${\displaystyle \phi }$

Вплоть до сдвига B-поля, который соответствует умножению чистого спинора на экспоненту замкнутой вещественной 2-формы, симплектические многообразия являются единственными обобщенными комплексными многообразиями типа 0. Многообразия, симплектические с точностью до сдвига B-поля, иногда называют B-симплектическими .

Отношение к G-структурам [ править ]

Некоторые из почти структур в обобщенной сложной геометрии могут быть перефразированы на языке G-структур . Слово «почти» удаляется, если структура интегрируема.

Связка с указанным выше внутренним продуктом представляет собой структуру O (2 n , 2 n ). Обобщенная почти сложная структура - это сведение этой структуры к структуре U ( n ,  n ). Следовательно, пространство обобщенных комплексных структур является смежным классом${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.}$

Обобщенная почти эрмитова структурой является парой , коммутирующими обобщены сложными структуры , такими , что минус произведение соответствующих тензоров положительно определенная метрика на Обобщенных кэлеровых структуры сокращение структурной группы к Обобщенным келеровым многообразию и их скрученных аналогам, эквивалентны в bihermitian коллекторы , обнаруженных Сильвестра Джеймс Гейтс , Крис Халл и Мартин Росок в контексте 2-мерных суперсимметричных квантовые теории поля в 1984 году.${\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} .}$${\displaystyle U(n)\times U(n).}$

Наконец, обобщенная почти метрическая структура Калаби-Яу представляет собой дальнейшее сведение структурной группы к ${\displaystyle SU(n)\times SU(n).}$

Калаби против метрики Калаби-Яу [ править ]

Обратите внимание, что обобщенная метрическая структура Калаби, введенная Марко Гуальтьери, является более сильным условием, чем обобщенная структура Калаби – Яу, введенная Найджелом Хитчином . В частности, обобщенная метрическая структура Калаби – Яу подразумевает существование двух коммутирующих обобщенных почти комплексных структур.

Ссылки [ править ]

• Хитчин, Найджел (2003). «Обобщенные многообразия Калаби-Яу». Ежеквартальный математический журнал . 54 (3): 281–308. DOI : 10.1093 / qmath / hag025 .
• Гуальтьери, Марко (2004). Обобщенная комплексная геометрия (кандидатская диссертация). arXiv : math.DG / 0401221 .
• Гуальтьери, Марко (2011). «Обобщенная сложная геометрия» . Анналы математики . (2). 174 (1): 75–123. DOI : 10.4007 / annals.2011.174.1.3 .
• Гранья, Мариана (2006). «Компактификации потоков в теории струн: всесторонний обзор». Phys. Rep . 423 : 91–158. arXiv : hep-th / 0509003 .
• Дейкграаф, Робберт ; Гуков, Сергей ; Neitzke, Эндрю; Вафа, Джумран (2005). «Топологическая М-теория как объединение форм теорий гравитации» . Успехи теоретической и математической физики . 9 (4): 603–665. DOI : 10.4310 / ATMP.2005.v9.n4.a5 .