В линейной алгебре , А диагональная матрица представляет собой матрицу , в которой элементы вне главной диагонали равны нулю; термин обычно относится к квадратным матрицам . Примером диагональной матрицы 2 × 2 является, а пример диагональной матрицы 3 × 3 -. Единичная матрица любого размера, или любой кратной ей (в матрице скалярной ), является диагональной матрицей.
Диагональную матрицу иногда называют матрицей масштабирования , поскольку умножение на нее матрицы приводит к изменению масштаба (размера). Его определитель является произведением диагональных значений.
Определение
Как указано выше, диагональная матрица - это матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. То есть матрица D = ( d i , j ) с n столбцами и n строками диагональна, если
Однако вход по главной диагонали неограничен.
Термин диагональная матрица иногда может относиться кпрямоугольная диагональная матрица , которая представляет собойматрицуразмеромm наn, вкоторой все элементы не имеют формыd i , i равны нулю. Например:
- или же
Однако чаще диагональная матрица относится к квадратным матрицам, которые можно явно указать какквадратная диагональная матрица . Квадратная диагональная матрица - этосимметричная матрица, поэтому ее также можно назватьсимметричная диагональная матрица .
Следующая матрица представляет собой квадратную диагональную матрицу:
Если записи являются действительными числами или комплексными числами , то это также нормальная матрица .
В оставшейся части этой статьи мы будем рассматривать только квадратные диагональные матрицы и будем называть их просто «диагональными матрицами».
Скалярная матрица
Диагональная матрица с равными диагональными элементами является скалярной матрицей ; то есть скалярное кратное λ из единичной матрицы I . Его влияние на вектор - это скалярное умножение на λ . Например, скалярная матрица 3 × 3 имеет вид:
Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть они в точности матрицы, которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами того же размера. [a] Напротив, над полем (как и действительные числа) диагональная матрица со всеми диагональными элементами, отличными друг от друга, коммутирует только с диагональными матрицами (ее централизатор - это набор диагональных матриц). Это потому, что если диагональная матрица имеет затем дана матрица с участием в Срок действия продуктов: а также а также (так как можно разделить на ), поэтому они не коммутируют, если недиагональные члены не равны нулю. [b] Диагональные матрицы, в которых диагональные элементы не все равны или все различны, имеют централизаторы, промежуточные между всем пространством и только диагональными матрицами. [1]
Для абстрактного векторного пространства V (а не конкретного векторного пространства) аналогом скалярных матриц являются скалярные преобразования . В более общем смысле это верно для модуля M над кольцом R , где алгебра эндоморфизмов End ( M ) (алгебра линейных операторов на M ) заменяет алгебру матриц. Формально скалярное умножение - это линейное отображение, порождающее отображение(от скалярного Х к соответствующему скалярному преобразованию, умножение на Л ) , про вл End ( М ) в качестве R - алгебры . Для векторных пространств скалярные преобразования - это в точности центр алгебры эндоморфизмов, и аналогично обратимые преобразования являются центром общей линейной группы GL ( V ). Первое - это, в основном, бесплатные модули. , для которых алгебра эндоморфизмов изоморфна матричной алгебре.
Векторные операции
При умножении вектора на диагональную матрицу каждый член умножается на соответствующий диагональный элемент. Учитывая диагональную матрицу и вектор , товар:
Это можно выразить более компактно, используя вектор вместо диагональной матрицы, , и взяв произведение Адамара векторов (начальное произведение), обозначенное:
Это математически эквивалентно, но позволяет избежать хранения всех нулевых членов этой разреженной матрицы . Этот продукт , таким образом , используется в машинном обучении , такие как вычислительные продукты производных в обратном распространении или умножения веса IDF в TF-IDF , [2] , так как некоторые BLAS каркасы, которые многократно матрицы эффективны, не включают в себя способность продукта Адамар непосредственно. [3]
Матричные операции
Операции сложения матриц и умножения матриц особенно просты для диагональных матриц. Написать диаг ( 1 , ..., п ) для диагональной матрицы, диагональные элементы , начинающиеся в верхнем левом углу находятся 1 , ..., н . Тогда для сложения имеем
- diag ( a 1 , ..., a n ) + diag ( b 1 , ..., b n ) = diag ( a 1 + b 1 , ..., a n + b n )
и для умножения матриц ,
- diag ( a 1 , ..., a n ) diag ( b 1 , ..., b n ) = diag ( a 1 b 1 , ..., a n b n ) .
Диагональная матрица диаг ( 1 , ..., п ) является обратимым тогда и только тогда , когда запись 1 , ..., п являются всеми ненулевым. В этом случае мы имеем
- diag ( a 1 , ..., a n ) −1 = diag ( a 1 −1 , ..., a n −1 ) .
В частности, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца из всех N матрицы с размерностью п матриц.
Умножения в н матрицу с размерностью п матрицы А из влево с DIAG ( 1 , ..., п ) составляет умножения I - й строки из A с помощью в I для всех I ; умножения матрицы А от права с DIAG ( 1 , ..., п ) составляет умножая I - й столбец из А на В I для всех I .
Операторная матрица в собственном базисе
Как объяснялось при определении коэффициентов операторной матрицы , существует специальный базис, e 1 ,…, e n , для которого матрицапринимает диагональный вид. Следовательно, в определяющем уравнении, все коэффициенты с i ≠ j равны нулю, оставляя только один член на сумму. Сохранившиеся диагональные элементы,, называются собственными значениями и обозначаются в уравнении, которое сводится к . Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений [4] и используется для получения характеристического полинома и, кроме того, собственных значений и собственных векторов .
Другими словами, собственные из DIAG ( Л 1 , ..., λ п ) являются λ 1 , ..., λ п с соответствующими собственными векторами по электронной 1 , ..., е п .
Характеристики
- Определитель из DIAG ( 1 , ..., п ) является произведением 1 ⋯ н .
- Adjugate диагональной матрицы снова по диагонали.
- Где все матрицы квадратные,
- Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она треугольная и нормальная .
- Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она имеет одновременно верхнюю и нижнюю треугольную форму .
- Диагональная матрица симметрична .
- Единичная матрица I п и нулевая матрица диагональные.
- Матрица 1 × 1 всегда диагональна.
Приложения
Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простого описания матричной операции и собственных значений / собственных векторов, приведенных выше, обычно желательно представить данную матрицу или линейную карту диагональной матрицей.
На самом деле, данный п матрица с размерностью п матрицей является аналогичен диагональной матрицей ( это означает , что существует матрица X такое , что Х -1 АХ диагональна) тогда и только тогда , когда она имеет п линейно независимые собственные векторы. Такие матрицы называются диагонализуемыми .
Над полем из реальных или комплексных чисел, более верно. Спектральная теорема говорит , что каждая нормальная матрица является унитарно похожа на диагональную матрицу (если АА * = * то существует унитарную матрица U таких , что СХ * диагонален). Кроме того, из разложения по сингулярным числам следует, что для любой матрицы A существуют унитарные матрицы U и V такие, что UAV ∗ диагонален с положительными элементами.
Теория операторов
В теории операторов , особенно при изучении УЧП , операторы особенно легко понять, а УЧП легко решить, если оператор диагонален по отношению к базису, с которым он работает; это соответствует разделимому уравнению в частных производных . Таким образом, ключевой методом для понимания операторов является изменением координат в языке операторов, интегральное преобразование -Какого изменяет базис к базису из собственных функций : что делает уравнение разделяемым. Важным примером этого является преобразование Фурье , которое диагонализует операторы дифференцирования с постоянными коэффициентами (или, в более общем смысле, инвариантные операторы сдвига), такие как оператор Лапласа, скажем, в уравнении теплопроводности .
Особенно просты операторы умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированной функции - значения функции в каждой точке соответствуют диагональным элементам матрицы.
Смотрите также
- Антидиагональная матрица
- Ленточная матрица
- Двдиагональная матрица
- Диагонально доминирующая матрица
- Диагонализуемая матрица
- Нормальная форма Джордана
- Оператор умножения
- Трехдиагональная матрица
- Матрица Теплица
- Торальная алгебра Ли
- Циркулянтная матрица
Заметки
- ^ Доказательство: с учетом элементарной матрицы , матрица только с i-й строкой матрицы M и- квадратная матрица только с M j -м столбцом, поэтому недиагональные элементы должны быть равны нулю, а i- й диагональный элемент во многом равен j- му диагональному элементу.
- ^ Для более общих колец это неверно, потому что нельзя всегда делить.
Рекомендации
- ^ "Всегда ли диагональные матрицы коммутируют?" . Обмен стеками. 15 марта 2016 . Проверено 4 августа 2018 года .
- ^ Сахами, Мехран (15.06.2009). Text Mining: классификация, кластеризация и приложения . CRC Press. п. 14. ISBN 9781420059458.
- ^ "Поэлементное умножение вектора на вектор в BLAS?" . stackoverflow.com . 2011-10-01 . Проверено 30 августа 2020 .
- ^ Неаринг, Джеймс (2010). «Глава 7.9: Собственные значения и собственные векторы» (PDF) . Математические инструменты для физики . ISBN 048648212X. Проверено 1 января 2012 года .
Источники
- Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройал (1985), матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6